Etudier le mouvement (Tun point qui décrit une
h. ^ lice sur un cylindre vertical dont la base est une
e £ iipse horizontale : le point se déplace de telle sorte
cfzx^e sa projection horizontale ait une vitesse aréolaire
constante autour du centre de la base.
Prenons pour axes des x et des y les axes de l'ellipse, pour axe des z l'axe du cylindre; on peut représenter Vx et \y du mobile par
l'aire élémentaire décrite par la projection du rayon vecteur, - [xdy — ydx), ou - ab do, étant proportionnelle à dt^ on doit avoir tp = wf, w étant constant. Alors
dr. . a dr h
dt ^ b -^ clt ^ a
Soient M la position du mobile, m sa projection sur le plan ^, p la distance du centre de Tellipse «i la tangente en in\ la projection horizontale de la vitesse est
\/ri)"*ri)"="'V^>i==^-
Comme la trajectoire doit couper les génératrices sous un angle constant i, on a
dz ahtù (ihui
-— = cot/ et p — -
dt p p sin /
z ne peut s'exprimer en fonction du temps qu'à l'aide d'une intégrale elliptique, ce qui était évident a priori.
De S.-G. — Rec, lO
l46 RECUEIL d'eXEUCICES
Les projections de raccélération sur les axes sont
dr dt^ '^ dl^ a}h'
Taccélération rencontre Taxe du cylindre, et sa projection horizontale est proportionnelle à la distance du mobile à l'axe. Soient a, (3, i les angles de la tangente avec les axes, i, |ui, V ceux de la normale principale 5 on a
d^,v dv <»' ^ d^r dv ^ «•'
- — = -— cosa H ces A, -rV = -r cosS H cosix, ....
dO dt p ' dO dt ^ ^ ^
Or
privai pT.?\x\i dv ptù^ià* — b^)^y
COSa = --r- > 008 6=::: > -r- = -j—: — : *
b^ ^ cû dt a^b^^ini
On peut tirer des équations précédentes
cos> 1 I d^.T dv \ p*xsin^i
— ' cos ce] =1 —
dt^ dt I a*b
cosa /7*rsin*/ cosv
d'où
a'^b^ ^ p.T py
ù-= , . ,.» C0S^ = — =^-9 C0Spt=— ~-> cosv = o.
En supposant z = -> la trajectoire devient l'ellipse de
base, dont on trouve ainsi le rayon de courbure 5 il a avec le rayon de courbure de Thélice une relation analogue à celle qui lie le rayon d'un cercle au rayon de courbure d'une hélice qui se projette suivant ce cercle. La normale principale de l'hélice elliptique est parallèle à la normale correspondante de l'ellipse de base.
92. Démontrer qu'on peut régler la loi du mouvement d'un point sur une hyperbole de manière que V accéléra--
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. * l^J
tion totale soit la résultante de deux accélérations dirigées suivant les rayons vecteurs et inversement proportionnelles aux carrés de ces rayons; étudier le mouvement.
Soit r hyperbole donnée
en différen liant par rapport au temps, on a deux relations entre les composantes de la vitesse et de Faccélération suivant les axes :
xx' yy' a?'* y'^ xx" yy"
Supposons que le mobile soit sur la branche de droite, el nommons e l'excentricité de l'hyperbole, /', r< les rayons vecteurs ; on a
r ^=. ex — a, r^ =■ ex -\' a\ on doit avoir aussi, par hypothèse.
X — ae X -\- ae
(ex — a)3 ^(ex-hay
y'' = —u. ^ UL ^
•^ ^ {ex — ay ^{ex-ha)'^
U faut que ces équations soient compatibles avec l'équation (i) et avec ses conséquences (2); or, si, dans la seconde équation (2), on remplace y et y par leurs valeurs déduites de (i), puis x'^ ei y" par leurs valeurs (3), on trouve
a/' x^x'^ \LX fa? — ae x-^ae 1
ô»" "~ a*(a72 — a«) "" ^ l(ex — ay {ex-^ayj
i48 ascuEiL d'exercices
ou
Cette équation doit être compatible avec la première du groupe (3) : on s'en assure en la différentiant par rapport au temps, et divisant ensuite les deux membres par iix' : on retombe sur l'expression (3) de x",
La loi des positions du mobile sur la courbe sera donnée par l'équation (4),
. ^etx.r{x^ — a}) x'^:= ^ 1.
On en conclut
4ffAfg^— i).r»
Au sommet, la vitesse est iK ~, — ^ — ,* en sorte qu'un
V a\é^ — ij ^
point animé de cette vitesse initiale et soumis à des forces produisant l'accélération donnée décrira Thyperbole. La valeur de t s'obtient à l'aide d'une quadrature
Lîtégraut -- '^z:. par parties et réduisant, on trouve
^ . /^ l~i—. 71 ,^'—3 C'' dx
3 V P G\Uiu Ja slxix'^—a^)
On a une intégrale elliptique de première espèce, mais elle disparaît pour e = \ji -, alors
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. l^g
93. Etudier le mouvement d^un point qui décrit as?ec une vitesse constante une loxodrome, c'est-à-dire une courbe tracée sur une sphère et coupant tous les méridiens sous un angle constant X.
Cherchons Téquation de la trajectoire en coordonnées polaires. Soient a le rayon de la sphère, M, M' deux points infiniment voisins sur la loxodrome, P le point de rencontre du parallèle de M avec le méridien de M'; MPM' peut être assimilé à un triangle rectiligne rectangle ; or M'P = a rf6, MP = a sinO rftj;, MM'= rf^, angle MM'P = X; on a donc
. MP sinOéf^ rf8 . ^.
tangX = ^ = -^jj-, = cotXrf^
Intégrant et désignant par a la valeur de 9 pour tj; = o, on a pour la loxodrome
taDg-6 = tang-ae<l'cot>.
L^ courbe forme sur la sphère une infinité de spires qui s approchent indéfiniment du pôle A et du point diamétralement opposé. On a, dans le triangle rectangle M M'P, ds cosX = arfO; il en résulte que la courbe est rectifiable, et sa longueur d'un point asymptote à l'autre est finie et
égale à "**
cosX Les composantes de la vitesse sont
rfG ___ pcosX . ^rft]/ psinX dt a dt a
Si Ton se reporte aux valeurs des composantes de l'accélération rappelées au commencement de ce Chapitre, on trouve qu'elles sont ici
Yr = > Y/»== cotôsin'X, Ym = — cot6 sinX cosX.
l50 RECUEIL d'exercices
Par le pôle A menons un arc de grand cercle perpendiculaire sur l'arc de méridien AM jusqu'à sa rencontre, en un point B, avec l'arc de grand cercle qui est normal à la loxodrome en M, et soit cp l'angle des deux rayons OM, OB. Dans le triangle rectangle MAB, on a
AMB = ^ X, MA = 0, cotO sinX = cot<p;
donc
Yrt= cotcpsinA, Y;,t = — cot 9 cos A, y= — ; — .
' a ' 'a * ' asincp
Comme l'accélération est exclusivement centripète, le rayon de courbure p de la trajectoire est égal à a sincp ou à la perpendiculaire MC abaissée du point M sur le rayon OB : mais le rayon de courbure doit être contenu dans le plan 0MB normal à la loxodrome et, d'après le théorème de Meusnier, faire avec MO un angle dont le cosinus est
^ = sincp; il est donc précisément dirigé suivant MC, et le
point C, que nous savons déterminer, est le centre de courbure de la loxodrome.
Accélération centrale.
94. Il arrive souvent que le mouvement d'un point M jouit d'une propriété remarquable : l'accélération totale est constamment dirigée vers un point fixe O. Je dis que, dans ce cas, la trajectoire est nécessairement comprise dans un plan passant par le point O et que l'aire décrite par le rayon vecteur OM croît proportionnellement au temps. Cet important théorème se démontre bien aisément par le calcul, mais on peut aussi l'établir d'une manière nette à l'aide de considérations géométriques.
Je dis d'abord que la trajectoire est située dans un plan qui passe en O. En effet, le plan osculateur en chacun de ses
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. l5l
points, contenant l'accélération correspondant à ce point, passe au centre O qui est ainsi un point commun à tous les plans osculateurs. Mais le point commun au pl<an osculaleur en M à une courbe à double courbure et aux deux plans osculateurs infiniment voisins a pour limite le point M : il en résulterait que tous les points de la trajectoire considérée seraient confondus avec le point O. Il n'en peut être autrement que si la trajectoire est située dans un plan qui passe par le point O et avec lequel se confondent tous les plans osculateurs.
J'ajoute que la vitesse aréolaire autour du point O est constante. On sait que cette vitesse a pour mesure, quand le mobile est en M, le produit de sa vitesse i^ par la moitié de la distance/? du centre O à la tangente à la trajectoire en M. Supposons que cette tangente coupe la tangente au point infiniment voisin M' en un point G et soient CA, CB les droites qui représentent les vitesses en M et M' : la direction de AB a pour limite la direction de l'accélération
Fig. 8.
totale ou de MO; les droites AB, GO sont infiniment près d'être parallèles et les angles 0GB, GBA d'être égaux.
Menons OP, OQ perpendiculaires sur les tangentes en M et M' : les points O, G, P, Q sont sur un cercle; les angles POQ et AGB, OPQ et 0GB sont égaux et le dernier diffère infiniment peu de GBA. Les triangles OPQ, GAB sont semblables parce que le rapport des angles homo-
l52 RECUEIL d'exercices
logues diffère infiniment peu de l'unité : on a donc, sans erreur à la limite,
('> S^^Sa' 0P.CA = 0Q.GB;
la vitesse aréolaire ne change pas d'un point à l'autre de la trajectoire.
La réciproque s'établit sans peine, Tégalité (i) entraînant la similitude des triangles OPQ, CAB et le parallélisme des droites OC, AB.
Soient C ou dz c^ le double de la vitesse aréolaire, [jl l'angle de la vitesse i^ avec le rayon vecteur r; il suffit ici de rappeler les formules suivantes, que l'on retrouverait bien vite :
^ .db dy dx
L'accélération se réduit à yrj mais nous la compterons positivement de M vers O : si l'on transforme l'expression de — Yr (n° 87) en prenant 0 pour variable indépendante et si, ensuite, on se reporte à la valeur précédente de ç^^, on a la double valeur de y
d\v^ dr
En supposant Y > o, la courbe est concave vers le point O, l'accélération centripète égale à ysinjA, et l'on a
La dernière égalité conduit immédiatement à l'exprès-
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l53
sion de p en coordonnées polaires; mais la première va nous fournir une formule souvent utile : on a
div^ V dv . p
'( = --dF-=--dF' ^•"1^ = ^ donc
I __ Y si'^ H^ P ^^ p ~~ v^ vr dr
mais, pç étant égal à C, on en déduit
dv ^ dp i __ dp V ' p p r dr
Si la courbe tourne sa convexité vers le pôle, on a
I dp p "" r dr
95. Un mobile parcourt une ellipse de manière que Vaire décrite par le rayon vecteur issu d^un point o croisse proportionnellement au temps : exprimer V accélération du mobile.
Considérons le cercle dont la projection est l'ellipse donnée; o est la projection d'un point O du cercle, la position m du mobile est la projection d'un point M du cercle. Soient M' le second point de rencontre du cercle
avec OM, DD' le diamètre parallèle à OM, ^C^ l'aire dé-
crite par OM dans l'unité de temps, F l'accélération de M; on trouve, a et 6 étant les demi-axes de l'ellipse,
C* 8C*a3 G* DD'
rVsin^jx ^'K^^^iJ^.'' 8 a*
aOM MM' "^ OM MM' Soient i l'angle de MM' avec sa projection /n/n', rfrf'la pro-
J^iction de DD', -c^ la vitesse aréolaire de m; on a
„ . dd' ont mm . G' a
Tf = rcos,, = = ^^=cos., -=^
l54 RECUEIL d'exercices
d'où
om mm'
Cette expression, donnée par M. Withworth {Cambridge and Dublin Messenger, 1871), se simplifie dans des cas particuliers. Prenons o au centre : dd! =mm' =iom^
c* Y = — Tz om.
Prenons o au fojcr et soit 9 l'angle de mm! avec l'axe focal : on a
^ ' om
Enfin, quand o est sur l'ellipse,
c* dd'
om.
96. Un point décrit la podaire, lieu des projections du centre d'une ellipse sur ses tangentes, de m,anière que la vitesse aréolaire par rapport au centre soit constante : exprimer pour chaque position du mobile la vitesse et V accélération en fonction du rayon vecteur : rayon de courbure de la podaire.
En prenant pour axe le grand axe de l'ellipse, l'équation de la podaire sera
r* = a' cos' 6 -T- 6* sin' 6.
L'expression du carré de la vitesse dans le cas où l'accélération est centrale donne
(a^cos^e-i-^^sin^e;»'
SUR LA MÉCANIQUE RATIOÎInNELLE. I 57
mais l'intégration ne peut s'effectuer que si n est égal à 2 divisé par un nombre entier.
Accélérations des divers ordres.
98. Si par un point fixe on mène des droites égales et parallèles à l'accélération d'un mobile aux époques t et ^ -f- A^, OA et OA', l'accélération du second ordre ou suraccélération est représentée en grandeur par la limite de
-— j et en direction par la direction limite de AA'. On passe
de la même manière aux accélérations des ordres suivants. 11 est aisé de démontrer que la projection de l'accélération d'un ordre quelconque sur un axe ou sur un plan est égale à l'accélération de même ordre dans le mouvement de la projection du mobile; d'autre part, il est visible que les accélérations successives dans un mouvement recliligne sont égales aux dérivées successives de l'espace par rapport au temps. Si donc on rapporte un mobile à trois axes coordonnés, l'accélération du n**-"™® ordre a pour composantes
d'^-^^x d^+\y d^-^^z dt'^-^^ ' ~dtf^^ dt'^-^ '
On en conclut par exemple que, dans le mouvement elliptique représenté par les équations
X = acosoitj y =^ b sintsit,
l'accélération d'ordre 2 [x — 1 , en un point M de l'ellipse, est dirigée suivant le rayon vecteur OM et égale à ztco^t^OM : l'accélération d'ordre 2[x, parallèle au demi-diamètre OM', conjugué de OM, est égale à ± (o2(a+* OM'.
Soit à calculer les projections de l'accélération d'ordre [jL, Yjx, sur la tangente à la trajectoire, sur sa normale principale et sur l'axe du plan osculateur ou binormale (de
\A.\J KAM,! X\^ \^J%.tJX \^i3JM\JMI. VI V^ K
a 0 = — — y 71 rfO = ^ a -
Intégrant,
/i(G — a) = arccos- — > r" =
Xr« Xcos/î(6 — a)
Ces courbes dérivent de la droite par une transformation spéciale due à M. Roberts : deux d'entre elles se coupent sous le même angle que les droites correspondantes. Si
Ton suppose /i = 2, -, > — i, on a une hyperbole
équilatère, une parabole, une cardioïde, un cercle passant au pôle ; l'accélération est proportionnelle respectivement aux puissances i, — 2, — 4j — 5 du rayon vecteur. Pour
/i = -♦ Y est constant, et la trajectoire est une courbe du
sixième ordre, avec trois asymptotes se coupant au pôle sous des angles de 120°.
Le cas de /i = o, la vitesse étant réciproque à r, donne une intégrale différente ; on a
La trajectoire est une spirale logarithmique, et Taccé ration réciproque au cube de la distance au pôle.
La position du mobile sur sa trajectoire est donnée * tous les cas par la formule
, r* û?6 r dr
dt =z
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. I Sg
miers axes, et, en divisant par dt les accroissements subis par ces projections dans le temps dt^ on trouve
d'jxj.j I ds
^ I ds ^y\J.,n I ds
On a pour l'accélération ordinaire
dv v^
on en déduira successivement, à l'aide des formules précédentes, les composantes de Y2) Y^j ••• î seulement, quand on aura à différentier par rapport au temps une fonction de p et de r, il conviendra de prendre la dérivée par rapport à Sj qui sera un élément géométrique, et de la multiplier par -Tz ou V. Les composantes de y^i seront exprimées « ^. j dv dV-v do d\^-^p dr
en fonction de P, ^^ . ...,^; p, - ^^ ; r, ^, .••,
, . , : on trouve d'abord
3 dv t>3 rfp
__ d^i> ç^ dv p* c?o
La valeur de y^^^ peut être transformée et donner lieu à quelques remarques. L'enveloppe des plans normaux à la trajectoire est une développable appelée sur/ace polaire,
l58 RECUEIL d'exercices
Saint-Venant). On y arrive à Taide des formules de M. Serret; mais nous allons employer une méthode géométrique dont le point de départ peut servir à résoudre d'autres questions sur les lignes à double courbure.
Menons en un point O d'une courbe la tangente OT, la normale principale ON et la binormale OB : prenons un arc infiniment petit OM = ds dans le sens de OT, et supposons que M soit par rapport au plan osculateur en O du côté opposé à OB.
Considérons la tangente, la normale principale et la binormale en M, et cherchons, à moins d'infiniment petits du second ordre, les cosinus des angles que ces droites font avec OT, ON, OB ; pour cela je leur mène en O les parallèles or, ON', OB'; si l'on prend OB = OB', BF sera dirigée dans le sens de la normale principale. En négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut regarder OT' comme situé dans le plan TON, et il est facile de déduire de la figure le tableau des neuf cosinus :
