ON', -^, I

OB', o, -, i;

p désigne le rayon de courbure, r le rayon de torsion.

Considérons à l'époque t l'accélération d'ordre [x, y^^j et ses projections sur la tangente, la normale et la binormale que nous désignerons par y^L^f, yjj.^^, '^^^b] à l'époque t-i-dtj cette tangente et ces normales ont changé de direction, <;omme l'indique le tableau, et les projections de l'accélération sur ces nouvelles droites sont y^^t -i- dy^^tj ... ; on en conclut les projections de cette accélération sur les pre-

SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. I Sg

mlers axes, et, en divisant par dt les accroissements subis par ces projections dans le temps dt^ on trouve

__ d-^xhj I ds ^^^'^'-'dT'^pdi^^^'''

I ds df^^n I ds

__ I ds dyfjj,

On a pour l'accélération ordinaire

di> p2

ou en déduira successivement, à l'aide des formules précédentes, les composantes de Y2, ya, ...; seulement, quand on aura à différentier par rapport au temps une fonction de p et de r, il conviendra de prendre la dérivée par rapport à s, qui sera un élément géométrique, et de la multiplier par -1- ou if. Les composantes de ^^ seront exprimées

.„r . j di> d^v do d^-^o dr

entonctionde ^, -r.» •••> -7-77; p, -r» •••>-¥ — 7 ; r, -=-» •••>

^ dt dt^' ^^ ds dsV--^ ' ' ds

^^ : on trouve d'abord

^''""" p^Zf ~^ ^' T«'^=-rp^''

L-a valeur de y^^^ peut être transformée et donner lieu à ^elques remarques. L'enveloppe des plans normaux à la ^^^jectoire est une développable appelée surface polaire,

la parabole. On a donc

apcosa c' sin(cp — «) I âp

sin2(cp — a) coscpcosa coscpcosce ~\ c'costp

■'^'■''- -^y -dT^ - ~ jj^p

v/ac'p coscp p y/cc'

Composition des vitesses.

100. On se rend compte du mouvement d'un point M en observant, à différentes époques, sa position par rapport à un système de points de repère S supposé fixe ; mais, si le système S se déplace lui-même, le mouvement de M qu'on a observé n'est plus qu'un mouvement relatif. Connaissant ce mouvement relatif et le mouvement d'entraînement ou la loi des positions successives de S par rapport à un système fixe 84, on peut en déduire le mouvement absolu de S : c'est le problème de la composition des mouvements.

On établit aisément un théorème d'une extrême importance : la vitesse absolue esta chaque instant la résultante ou la somme géométrique de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire de la vitesse d'un point lié invariablement à S, mais coïncidant avec le point M à l'instant considéré. Et l'on sait comment se généralise le théorème quand il y a plus de deux mouvements à composer.

Si l'on connaît le mouvement de M dans Sj et le mouvement de S par rapport au même système de comparaison, il est aisé d'obtenir le mouvement apparent de M par rapport à S : il suffît, en conservant à chaque instant les positions de S et de M par rapport à 84, d'attribuer à ce dernier système un mouvement tel que S soit réduit au repos absolu; le mouvement résultant pour M est le mouvement cherché. La vitesse relative est la résultante de la

SUR LA MÉCÀKIQUE RATIONNELLE. l63

vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement, prise en signe contraire.

Je vais donner quelques applications de ces théorèmes sur la vitesse et de la méthode de Roberval, qui s'y rattache intimement.

101. Étant donné un courant animé d'une vitesse a dans le sens de OX, un nageur, qui se meut dans le courant avec une vitesse relative égale à i, part d'un point P pour traverser le courant. On demande :

1® Quelle doit être la direction de sa vitesse relative par rapport au courant pour que sa trajectoire absolue soit la droite PO*

2** Quelle sera sa trajectoire absolue si sa vitesse relative est constamment dirigée vers le point O, c'està-dire s'il essaye toujours de nager vers ce point.

Pour résoudre la première question, menons PA égale et parallèle à la vitesse d'entraînement a; la résultante de celte vitesse et de la vitesse relative doit être dirigée suivant PO ; il s^ agit donc de construire un triangle, connaissant le côté PA , l'angle APO et la longueur b du côté opposé. Du point A comme centre avec b pour rayon, on

j64 recueil d'exercices

décrit un arc de cercle qui coupe PO en un point B, et AB est la direction demandée, celle dans laquelle le nageur doit tendre à s'avancer. Il peut y avoir deux solutions : la discussion revient à celle d'un cas bien connu de la résolution des triangles.

Pour résoudre la seconde question, prenons comme axes coordonnés OX et une perpendiculaire menée par le point O, et soit M une des positions du mobile. La vitesse absolue MT étant la résultante de MG égale à a, parallèle à OX, et de MD égale à 6 et dirigée suivant MO, on a pour ses projections sur les axes

, ^ dx hx dv h y (l) 7/7 =« TT^^L-^i-i-f -Jr = , '

L'élimination de dt donne l'équation de la trajectoire

dx a \/x^ -H v^ X

dy~ b y ~^ y'

Si nous posons x = zy ei a = mb^ il viendra

dz , dz dy

y, = — /ni/i-î-^*, , =z—m^^;

-^ dy ^ /i-^-s' ^

intégrant, et désignant par c une constante, en prenant les inverses, on a

ou

, SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. iG^

La première équation définit la trajectoire; c se détermine en exprimant que l'équation (2) est satisfaite par les coordonnées du point de départ P. La trajectoire ne passe à l'origine et le nageur n'atteint ce but que si m est << 1 ou a<C b : la tangente à l'origine est la droite OX. Quand et ^ b, l'ordonnée y du mobile tend vers zéro et x vers ^ l'infini; enfin, pour a = 6, la trajectoire est une parabole dont l'axe est OX, mais le mobile n'atteint cette droite qu'au bout d'un temps infini.

La loi du mouvement est donnée par les secondes équations (i) et (3) :

et l'intégration s'effectue sans difficulté.