Un observateur, parcourant un cercle avec une

'altesse constante v, reçoit de la lumière qui arrive d^une étoile très éloignée dans une direction fixe et avec une '^^tcsse V : déterminer y pour une position quelconque M ^^ l'observateur, la direction apparente des rayons lu- ^^irieux en négligeant les termes de V ordre det^^z étant ^ f^ apport de V àY ,

Soient O le centre du cercle, SO la direction suivant ^^ quelle arrive la lumière, OA la projection de OS sur le plan P du cercle, SOA = X, M0A=9; par le point M, tenons des axes de direction fixe, MX parallèle à OA, ^^rVf perpendiculaire à MX et située dans le plan P, MZ perpendiculaire à ce plan. La vitesse relative de la lumière, ^Sale à la différence géométrique entre sa vitesse absolue ^^ la vitesse de l'observateur, a pour composantes

— VcosX -H VesinÔ, — Vecosô, — VsinX;

^^s cosinus directeurs sont donnés par les équations

cosX — ssinô ecosO sinX y^i — 2e sinO cosX -1-

En prenant le signe + et négligeant les termes en e^^ nous remplacerons la dernière fraction par i+esinOcosX et nous aurons

a = cosX — ssinOsin'X, p = £cos0, Y = sinX -f- e sin6 sinX cosX.

Sur une sphère décrite du point M comme centre avec l'unité pour rayon, la position apparente de l'étoile, indiquée par la direction de sa vitesse relative, parcourt une ellipse dont le centre est sur OS : un des axes, parallèle au plan P, est égal à ae, l'autre à ae sinX. C'est le phénomène de l'aberration de la lumière.

103. Déterminer la tangente à la strophoïde par la méthode de Roberçal.

Étant donnés un point O, une droite AB et une droite OA perpendiculaire sur AB, si l'on joint le point O à un point variable G de AB et si l'on prolonge la sécante OG

d'une longueur GM = GA, le lieu du point M est une strophoïde.

Le mouvement de G peut être obtenu en supposant qu'il glisse sur la droite OM pendant que celle-ci tourne autour de O avec une vitesse angulaire w; la vitesse d'entraîné-

ment est coOG perpendiculaire à OC; la vitesse relative

parallèle à OC est — ^ — ; la vitesse résultante est ' >

dirigée suivant AB; mais le triangle formé par ces trois vitesses est semblable à OAG comme ayant les mêmes angles. Avec une unité de temps convenable, on aurait

ta.OG = OA, ^^-5=AG,

dt

Regardons aussi le mouvement de M comme résultant d'une vitesse de glissement et d'une vitesse d'entraînement; celle-ci est w.OM, ou, avec notre unité de temps et par saîte d'une proportion évidente, OP; la vitesse de glissement est

d,OU d,OC d.kÇ.

dt

= AG-t-OG = OM;

si donc on mène la droite OV égale à OP et perpendiculaire sur OM, le segment de droite VM représentera la vitesse du point M et sa direction sera précisément celle de la tangente à la strophoïde.

10 i. Déterminer la tangente en un point M d'une "J^perbole dont on donne un foyer F et la directrice ^or-respondante PQ.

Fig. 12.

Joignons MF et abaissons MP perpendiculaire sur la di- ^^cirice.

^uand le point M se meut sur l'hyperbole, les projec-

l68 RECUEIL d'exercices

lions i^' et ç'^ de sa vitesse sur FM et sur PM sont respeclîvement égales a , et a , ; mais on a

i dMF ï d.MP

MF = cMP, îî-ï? — ; — = tff: — t — ; ' MF é/i MP û?i

• d MF

on peut. choisir l'unité de temps de manière que — ^ — soit

égal à MF ; ç' sera représenté par MF et, d'après ce qui précède, i^" le sera par MP. Si donc on élève au point F une perpendiculaire sur MF et au point P une perpendiculaire sur MP, ces droites se rencontreront en un point Q tel que le segment rectiligneMQ représentera la vitesse du" point M; sa direction sera celle de la tangente à l'hyperbole et l'on aura

cosQMF M F cosQMP "" MP ~" ^'

Imaginons une lentille plan convexe engendrée par la rotation du segment hyperbolique AMB autour de son axe et dont l'indice de réfraction soit égal à ^ : si des rayons lumineux parallèles à l'axe tombent sur la face plane, ils pénétreront sans être déviés, mais celui qui se présentera pour sortir en M, par exemple, sous un angle d'incidence égal à 90° — QMP, sera réfracté à la sortie ; le sinus de l'angle de réfraction sera égal à e cosQMP ou à cosQMF; le rayon réfracté suivra la direction MF et tous les rayons reçus par la lentille iront rigoureusement converger au foyer F.

105. Méthode de M, Mannheim pour déterminer le point de contact de certaines droites mobiles avec leur enveloppe ; centre de courbure d 'une épicycloïde allongée ou raccourcie.

Considérons une droite qui tourne autour du pôle O dars un p]an, et qui fasse avec l'axe fixe un angle 0. Soient sur

celte droite trois points M, M', M" décrivant des courbes C, C, C"; la perpendiculaire menée au point O sur OM est rencontrée en N, N', N'' par les normales à C, G', C aux points M, M', M''. On a, d'après une formule de Géométrie,

d.OM" di ' d'où

dMM' ~ d.M'm"'

Supposons les courbes G, G', G'' telles que MM' et M'M" aient un rapport constant)^; il en sera de même de leurs différentielles, et par suite de NN' et N'N''; si donc on savait mener les normales en M, M', M'', et qu'on voulût trouver le point O autour duquel tourne la droite MM'M^', ou auquel elle rencontre sa position infiniment voisine, quand elle ne tourne pas autour d'un point fixe, il n'j aurait qu'à chercher une perpendiculaire à MM'M'', telle que les segments déterminés sur cette droite par les normales connues soient dans un rapport donné X.

Soit (^^. i3) un cercle de rayon Gi A r=R|, qui roule sur

Fig. i3.

un cercle fixe dont le centre est G et le rayon R ; un point M lié au cercle Ci engendre une épicycloïde. Gherchons la

I no RECUEIL D EXERCICES

tangente en M par la méthode de Roberval : le mouvement du cercle C< peut s'obtenir en supposant que son centre tourne autour de C avec une vitesse w.GGi, tandis que le cercle tourne autour d'axes de direction fixe, menés par C|

avec une vitesse anerulaire w-„--» La vitesse relative de M

sera perpendiculaire à MCi et égale à ta-^^MCi] la vitesse d'entraînement est w.CCi perpendiculaire sur AC< ; l,e triangle formé par ces vitesses et leur résultante est semblable à MCiAet les côtés homologues sont perpendiculaires; la droite MA est perpendiculaire sur la vitesse résultante; c'est donc la normale à l'épicycloïde.

La normale MA se meut dans des conditions où la méthode de M. Mannheim donne le point O où elle touche son enveloppe; en effet, menons CM' parallèle à MCi jus- (|u'à la rencontre de MA. On a