TjT = COS'J -^ H

H K| ' \n p — nj

1. Les projections d*un point sur trois axes rectangulaires sont animées de mouvements uniformément variés : déterminer la trajectoire du mobile dans l'espace et la condition pour que son mouvement soit uniformément varié.

La trajectoire, généralement parabolique, est rectiligne dans le dernier cas.

2. Un point M se mouvant dans un plan, soient r le rayon vecteur issu d'un point O, p la distance du pôle à la tangente iMT à la trajectoire, p le rayon de courbure en M, u le produit joç» : montrer que, si l'on décompose l'accélération totale en deux autres. Tune Y dirigée suivant MO, l'autre y*' suivant MT, on a

, u^r „ udu P^? P^ ^^

Écrivant que les projections de y' et de y" sur la tangente et sur

dv v^ la normale ont pour sommes -=- et — > on en conclut d'abord

'^ at p

* p sin [JL • dt p

p dp dans Y*) on remplacera p par — — et l'on achèvera facilement.

3. Étant donné un point A qui parcourt une droite OX avec une vitesse constante c, un mobile M se meut dans un plan passant par OX de manière que la droite MA conserve une longueur constante a et que la vitesse soit toujours dirigée suivant cette droite : déterminer la trajectoire du mobile, sa vitesse, son accélération, le rayon de courbure de la trajectoire.

La trajectoire est une tractrice définie par Téquation

dx = -^ y/a^—y^: v= -Ja^—y^, Y = — 7-? p = — i/aî — r*;

la développée de la tractrice est une chaînette.

4. Problème analogue au précédent, si ce n'est qu'on suppose la vitesse du point M égale à une constante — tandis que la distance MA est variable.

La trajectoire de M est ici la courbe du chien : si m^i,

~ 'i{m~k-\)h'^ 'i{m — i)^"*"*' ^~~msin=^a'

a étant l'angle de la vitesse de M avec OX.

5. Un point décrit une hyperbole suivant une loi telle que l'accélération passe toujours par l'un des foyers : déterminer la grandeur de l'accélération, la position du mobile à un instant quelconque, le lieu des extrémités des droites issues de l'origine et représentant la vitesse à chaque instant.

- G vitesse aréolaire; a, b demi-axes, e excentricité : en posant

on a

aC» e, , Gf

enfin le lieu demandé (courbe hodographe) est un cercle.