Un point décrit une cardioïde r = a(i-hcos6) de manière

que 6 soit proportionnel au temps : vitesse et accélération du

mobile; tangente à la cardioïde, rayon de courbure.

Le rayon de courbure, égal à -a cos- 6, fait l'angle -6 avec le

rayon vecteur.

SUR LA MÉCA3ÎIQCE RATIONNELLE. I jS

T. Un point M parcourt un cercle d'un mouvement uniforme <5aiis le même temps que le cercle tournant avec une vitesse constante autour d'un de ses diamètres fait lui-même un tour; vitesse 'et accélération du mobile; tangente à la trajectoire, rayon de oo urbure.

]l.a trajectoire est la courbe de Viviani : on calcule les trois

composantes de y> ^^ si Ton retranche -j-r de y* on arrivera à la

.(I— sin»eV %-aleur a» , . ,^ pour p*.

S. Un point M se meut sur une circonférence avec une vitesse constante c : déterminer la loi suivant laquelle il faut faire tourner le plan du cercle autour d'un de ses diamètres pour que la vitesse absolue de M soit toujours égale à 2c; loi du mouvement absolu. (Gaen, 1884.)

La trajectoire est une loxodrome {voir n° 93).

9. Sur une courbe plane A, qui tourne autour d'un point fixe O, se meut un point M de telle sorte que la tangente à A au point où se trouve le mobile reste parallèle à une droite OX : montrer que la vitesse absolue de M est égale à la vitesse relative, par rapport à A, de la projection de O sur les normales à A aux points où passe M. (Gilbert.)

On a des deux côtés, p étant le rayon de courbure de A en M,

p«=(o*[Ôm'-t- pî — 2pcos(MOip)].

10. Mouvement apparent d'un point qui parcourt uniformé- •ûent une droite AB pour un observateur qui tourne uniformément autour d'une droite perpendiculaire sur AB; discussion.

H. Étant donnés trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, un point iM se meut sur le cercle a? = o, j^»-h «*= c', tandis qu'un observateur A, qui regarde constamment l'origine, parcourt d'un •nouvemept uniforme le cercle z = o, a?* -t- j^* = a* : pour cet observateur, le point M se trouve toujours dans un plan P dont la irace OH sur le plan des xy fait avec 0 A un angle constant X et dont l'angle avec OXY a une valeur constante a. Déterminer le niouvement absolu et le mouvement apparent de M : vitesse, accélération. (Rennes, ï885.)

Soient HOY = 90*»— X — w^, MOY = 6, MOH = cp : le triangle

sphérique MYH donne

A /^ .s tanffa

langô = cos(A -h bit) tanga, tango = -; — ^— ^^ •

^ ^ / b > oT sm(X -huit)

On cherche les composantes de (^ et de y suivant la tangente et la normale aux cercles décrits par M.

12. Appliquer la méthode de Roberval à la tangente à la spirale d'Archimcde, à la cissoïde, à la cycloïde, à la lemniscate.

13. Un point qui se meut suivant une chaînette passe au sommet de cette courbe avec une vitesse égale au paramétre a de la chaînette et le rapport de son accélération centripète à l'accélération tangentielle est constamment égal au rapport de a au double de Tare parcouru à partir du sommet. Déterminer la valeur de cet arc et Taccclération du mobile en fonction du temps. (Caen, i888.;

a V dv. dv a s ds o. s ds

is ds ' V ~ ap ~~ a^-\-s^'

o — vif LdUif (>• Y — „ •

14. Un point M parcourt une hélice d'un mouvement uniforme; on propose : i° de montrer que les plans normaux à la trajectoire aux points où elle rencontre un plan donné P passent par un incme point p de ce plan ; 2° de trouver le lieu de la projection m (le M sur une section droite du cylindre qui contient l'hélice, les projetâmes étant parallèles à l'une des tangentes à l'hélice; V dte trouver le lieu de l'extrémité c du segment me qui représenie l'accélération totale du point m. (Paris, iSSi.)

Le point p est sur une droite située dans le plan P et rencontrant orthogonalement l'axe de l'hélice; le lieu de m est une cycloïde, celui de c une cycloïde raccourcie.