TG

) égaux à TpTTj sont égaux entre eux et Ton conclut de

JP' -&— - TU cette égalité

IP ~ IG.lGj

RRi ~ R

Une fois le point F connu, la construction de Savary, adaptée à l'hypothèse où le centre de courbure C de la base est à l'infini, détermine le centre de courbure du lieu décrit par un point M de la figure mobile; mais on peut lui faire subir une généralisation dont nous tirerons parti. Le cercle U, décrit sur IF comme diamètre, coupe IM en 1 et en un point P tel que IP = rtcos<j). D'autre part, si Fon fait pi = o dans Féquation (i) et si l'on a égard à l'équation (2), il vient

p — n acoscp

ÎP

Cela posé, menons {fig- i4 bis) une droite IT, de lon-

Fig. 14 bis.

gueur arbitraire, normale à IM, et soit H le point de rencontre de la droite MI avec la perpendiculaire abaissée du

De S.-G. — Rec. I a

point F sur MI : la parallèle à IH menée par le point T rencontrera MI au centre de courbure cherché X. En efiet la //^. i4 bis y analogue à Isi /ig- i4) donne

et il suffît de comparer cette égalité à l'équation (3) pou voir que IX est égal à p — n, MX à p. L'équation (3) donne aussi

. ^ n^ MÎ\

^^^ ^ /i — acos^ MP '

p est une troisième proportionnelle à MP et à MI; il devient infini lorsque n est égal à acoso, ou que le point M est sur le cercle U : dans cette position, M est généralement un point d'inflexion sur la ligne qu'il décrit et c'est ce qui a fait donner au cercle U le nom de cercle des inflexions. Quand le point M est extérieur ou intérieur à ce cercle, n est^acoscp, p^o» la trajectoire du point tourne sa concavité ou sa convexité vers le point 1.

L'enveloppe d'une droite quelconque entraînée avec la figure mobile a son centre de courbure sur la circonférence U', symétrique de U par rapport au centre instantané I : cela résulte de ce qu'en faisant pi infini dans Téquation (i)

on en tire

p = /i-f. acoscp.

Si la droite considérée touche son enveloppe en un point de U', le rayon de courbure de l'enveloppe est nul en ce point qui, en général, est un point de rebroussement : la circonférence U' prend le nom de circonférence des rebroussement s.

Dans le mouvement d'une figure plane, on ne connaît pas toujours la base et la roulante, ni surtout leur courbure : si l'on veut trouver la courbure des lignes décrites

pair les points de la figure mobile, on est conduit à cherclier la position des points I, V à l'aide des données : ce qui précède permet souvent de Tobtenir. 11 est généralement facile de trouver le point I; quand on le connaît, on peut essayer de déterminer le cercle U: onsait, par exemple, qia'ii passe par tout point dont la trajectoire a une courl3ure nulle, que son symétrique U' passe par tout point de l'enveloppe d'une droite où la courbure est infinie. Si Ton connaît le centre de courbure X de la trajectoire d'un point M, il suffit (4) de construire une troisième proportionnelle MP à MX et à MI pour avoir un point P du cercle U ou de faire, en sens inverse, la construction de la ^g, i4 bis pour avoir une droite PH qui passe par le point T. Il suffit de connaître les centres de courbure des trajectoires de deux points pour déterminer les centres I et F.

107. Théorème de Bobillier. — Quand un triangle à<t forme invariable ABC {Jig* \^) se meut de manière

que deux de ses côtés AB, AC restent tangents à deux cercles^ V enveloppe du troisième côté est aussi un cercle. 'Soient E, F les centres des deux cercles donnés, H, G les points de contact avec AB, AC; les côtés AB, AC du triangle touchant leurs enveloppes aux points H et G, les normales E£j^ FG à ces enveloppées vont se rencontrer au

centre instantané I. L'angle EIF est constant, tî — A, en sorte que le lieu S de I dans le plan est un segment capable de TT — A décrit sur EF. Traçons tout le cercle dont il fait partie, abaissons la perpendiculaire IP sur BC : ce sera une normale à l'enveloppe de 13C, et elle rencontre le cercle EIF en un point O; mais Tare EO est constant, comme mesurant deux fois l'angle EIO égal à B. Toutes les normales à l'enveloppe cherchée passent en un même point O ; cette enveloppe est un cercle dont O est le centre.

Le cercle S, passant par les points E, F, O, n'est autre que le cercle des rebroussements. Pour trouver la roulante S| qui doit rouler sur cette base, menons par E et F des parallèles à AB et à AC : elles forment avec ABC une figure invariable et se coupent au point F de S qui est diamétralement opposé à I, puisqu'elles sont perpendiculaires sur El et sur FI; le centre instantané I est à une distance constante du point F lié invariablement au triangle donné; S| est donc un cercle dont le rayon est double de celui de^ S et qui roule sur S en l'englobant. Un point quelconque de la figure mobile, A par exemple, décrit une conchoïdi du cercle S, le rayon FA passant, comme on sait, par ui point fixe sur la circonférence S.