OM.O'M

Le lieu de M est une lemniscate de Bernoulli, dont O, O' sont les foyers.

OA, O'B sont respectivement normales aux lieux de A et de B; leur point de concours I est le centre instantané. Il est évident que AI = O'I ; donc

01 — 0'I = a, BI — AI = a.

Le lieu du point I dans le plan est une hyperbole ayant O, O' pour foyers; le lieu par rapport à AB est une hyperbole égale, ayant A, B pour foyers, et, comme la distance focale est égale à la différence des rayons vecteurs multipliée par

y/2, ces hyperboles sont équilatères.

Pour trouver le ravon de courbure de la lemniscate en M, nous nous servirons du cercle des inflexions ; soit Pie point où il coupe lA : le point A décrit un cercle dont le centre

est sur le prolongement de lA et le rayon — — (106);

le point P se trouve entre A et O, et Ton a

l84 RECUEIL d'exercices

On détermine P comme troisième proportionnelle ; et puisque le diamètre du cercle des inflexions est «ur la normale à l'hjperbole, bissectrice extérieure de l'angle 010', il suffit d'élever PF perpendiculaire à AP jusqu'à la rencontre de cette normale pour avoir le rayon de roulement IF; la construction de Savary , modifiée pour le mouvement cycloïdal, donne le centre de courbure de la lemniscate en M.

Supposons que la droite OA tourne avec une vitesse donnée o) autour du point O : O'B tournera en sens contraire autour du point O' et, quand OA aura tourné de 180'' à partir de la direction 00', O'B aura également fait un demi-tour : si l'on a égard aux résultats précédents et à une formule connue de la théorie des bielles, on aura pour la vitesse angulaire de O'B dans une position quelconque

OC OB O'A.OB eo

^'G O'A Q,^2 3-2/-2COSAOO''

HO. Deux cercles G, C, de rayons R, R', tournent dans un même plan avec des vitesses to, to' autour de leur centre commun O; un cercle S, de centre A, engrène intérieurement avec G, extérieurement avec C! : déterminer la vitesse angulaire a de la droite OA, la vitesse [3 avec laquelle tourne la figure S et son centre instantané de rotation I. (Paris, 1884.)

Les points des cercles G et S qui sont en contact à un instant donné ont la même vitesse absolue; la vitesse du point qui appartient au cercle S résulte des rotations a, ^ et l'on a

Rw = a*H S;

égalant de même les vitesses des points par lesquels les

SUR LV MÉCANIQUE RATIONNELLE. l85

cercles C et S se touchent, on a

K'hi'--- a 3:

"^ ~ Ri K' ' ^ "■ R -lî'

Enfin le point I est un point de la droite AO tel que sa vitesse absolue soit nulle :

R-hR' ..^ .. rR--R^)(R co -MVaO a — AI p = o, AI z^ s.,--

111. Des roulettes. Quand une courbe S| roule sans glisser sur une base fixe S, S| est dite la roulante; le lieu engendré par un point M lié invariablement à S| s'appelle roulette. Le centre instantané est au point de contact I de Sel de S|, IM est normale à la roulette, et le centre de courbure s'obtient par la construction de Savary. Pour trouver l'équation de la roulette, désignons par ,v et s^ les arcs égaux, compris sur S et S| entre deux points A et A^ qui ont coïncidé à un moment donné et le point de contact actuel I : la valeur de s détermine les coordonnées x^^y^ du point I par rapport à des axes fixes et l'angle a de la tangente à S avec l'axe des x\ pour la même valeur de ^i, on connaît la longueur IM et l'angle [3 qu'elle fait avec la tangente à S| en I; les coordonnées de M sont

(i) a: = a7i-t-IMcos(a -h P), j =71--- IM sin(a -i- P).

11 n'y aura qu'à éliminer s cl s^ qui sont égaux, ou plus généralement les paramètres qui fixent la position de I sur S et S<. L'enveloppe d'une ligne entraînée par Si se trouverait de môme, sauf à remplacer IM par la normale IP à l'enveloppée.

Quand la base est une droite, on peut, sans rectifier la roulante, trouver l'équation difTérentielle de la roulette.

l84 RECUEIL d'exercices

On détermine P comme troisième proportionnelle ; et puisque le diamètre du cercle des inflexions est «ur la normale à l'hyperbole, bissectrice extérieure de l'angle 010', il suffit d'élever PI' perpendiculaire à AP jusqu'à la rencontre de cette normale pour avoir le rayon de roulement IF; la construction de Savary , modifiée pour le mouvement cycloïdal, donne le centre de courbure de la lemniscate en M.

Supposons que la droite OA tourne avec une vitesse donnée o) autour du point O : O'IÎ tournera en sens contraire autour du point O' et, quand OA aura tourné de 180'* à partir de la direction 00', O'K aura également fait un demi-tour : si l'on a égard aux résultats précédents et à une formule connue de la théorie des bielles, on aura pour la vitesse angulaire de O'B dans une position quelconque