OC OB O'A.OB
W = — W z-:rr^ ~ — tO -/^rr-r — — W
O' A 3 — 2 ^'1 cos AOO'
HO. Deux cercles C, C, de rayons R, R', tournent dans un même plan avec des vitesses (o, to' autour de leur centre coniniun O; un cercle S, de centre A, e/igrène intérieurement ai^ec C, extérieurement avec G: déterminer la vitesse angulaire a de la droite OA, la vitesse [3 avec laquelle tourne la figure S et son centre instantané de rotation I. (Paris, 1884.)
Les points des cercles C et S qui sont en contact à un instant donné ont la même vitesse absolue; la vitesse du point qui appartient au cercle S résulte des rotations a, â et l'on a
Ro) — a*H S;
égalant de même les vitesses des points par lesquels les
Comme 5= 5|, on a w = 6. On sait enfin que l'angle a de
IT avec AN est Comme CIT = CTI=-, les
points M, I, C sont en ligne droite. Les équations (1) deviennent
X = a{u — sinw) -h a{\ — cosa) cos (— u\
=z a{u — 2 sin a -h sin u cos m ), y = a(i — cosm) -\- a(i — cos w) sin ( u\ = a(i — cos w)'.
L'élimination de u donnerait un résultat compliqué, et il est plus simple de garder les deux équations et de faire varier u. On a
dx = — 2a(ï — cos m) cos m du, dy = 2a(i — cos w) sinu du,
dy ^=.-tang...
Quand u varie de zéro k -y x décroît de zéro à a ( - — 2
y croît de zéro à a ; la courbe part de A tangentiellement à AN et s'éloigne vers la gauche au-dessus de AN ; a allant
de - à TC, ;r croîtra jusqu'aux, jK jusqu'à ^a\ le reste de la
courbe est symétrique de la premièFC partie.
Si la cardioïde avait roulé intérieurement sur lacycloïde, le lieu du point M aurait été la droite AN. •
Pour trouver l'enveloppe de l'axe de la cardioïde, abaissons IP perpendiculaire à cet axe 5 on aura
IP=a(i — cosÔ)sin6 = a(r — cosM)sinM, PIT = -(7: — w).
Les coordonnées du point P seront
X — a[u — sin w-H (i — cos w) sin a cos2 w], ^ = a(i — cosm)(i — sinasin2M).
l8G RFXUEIL d'exercices
Prenons la droite S pour axe des x ; l'angle ^ est MIX : la nature de la roulante donne une relation entre cet angle ot TM = r : F(r, P) = o ; d'ailleurs \y de M est r sin p, et
l'angle de la tangente à la roulette avec OX est cp = ^ — - •
On a trois équations qui, par rélimination de r et P, donnent une relation difTérentielle entre j^ et <p. Pour l'enveloppe d'une ligne entraînée, la modification est la même que dans le cas général.
112. Une cardioXde représentée en coordonnées polairespar r = a{\ — cos9), roule extérieurement sur une eycLoïde dont le cercle générateur a pour rayon a, de manière que les points de rebroussement des deux courbes se correspondent ; roulette décrite par le pôle de la cardioïde, enveloppe de son axe.
Soient {Jig* i8) M le pôle de la cardioïde, MX, son
Fig. i8.
axe-, 9 est l'angle IMX,. On trouve que l'arc MI ou 5, e égal à 4a n — cos i 0 j , et que l'angle |3 de IM avec la lai
gente IT est tt; — - • Soient maintenant G le centre du cen générateur de la cycloïde correspondant au point I
ÏGN
;^; on a
AI = 5 = 4a(i-— cos- M j.
Comme 5 = 5j , on a u = ^. On sait enfin que Tangle a de
IT avec AN est Comme CIT = CTI=— , les
points M, I, G sont en ligne droite. Les équations (1) deviennent
jiT = a(u — sinw) -h a{i — cosu) cos l- uj
= a{u — 2 s'inu -h sinu cosw), jvr = a(i — cosa) -T- a{i — cos m) sin ( -^^ ii\ = a{i — cosu)^.
L'élimination de u donnerait un* résultat compliqué, et il est plus simple de garder les deux équations et de faire varier m. On a
cljc = — 2a(i — cos m) cos a du, cly — ia(i — cosu) ^\nu du,
dy
dj; "^
^^uand u varie de zéro k -9 x décroît de zéro ka ( - — 2 ) ,
V croît de zéro à a ; la courbe part de A tangenlicllcment ^ AN et s'éloigne vers la gauche au-dessus de AN ; u allant
a ^^>^ croîtra jusqu'à Tt a, K jusqu'à 4^? le reste de la
courbe est symétrique de la premièFC partie.
^* la cardioïde avait roulé intérieurement sur lacycloïde, *^ *ien du point M aurait été la droite AN. •
* our trouver l'enveloppe de l'axe de la cardioïde, abais- Qns ip perpendiculaire à cet axe-, on aura
-— a([ — cos6)sin6 = a(i — cosM)sinM, PIT = -(7: — u).
^^ Coordonnées du point P seront
X =■ a\u — siiiM -h (i — cosi*) sin u cos 2 a], yz=za(i — cosa)(i — sinMsin2M).
l88 RECUEIL d'exercices
Cherchons commenta et j' varient quand on fait croître // à partir de zéro ; on a
dx - : a sinu sin2u(4 cosm — 3) du^ dy — a sinM cos2i/(4 cosi/ — Z)du\
X et^' partent de zéro et commencent par croître jusqu'à ce que cos^/ = -, ; on a un point de rebroussemenl : x et
y diminuent ensuite, le premier jusqu'à m =^ -> le second
jusqu'à // =^ -t puis ils croissent, sauf^ quand u varie de
-- à tc: pour m = 7:, la courbe présente un nouveau rebrous-
sèment qui coïncide avec le sommet de la cjcloïde.
113. V enveloppe cVune droite L, entraînée par un cercle C< qui roule sans glisser sur un cercle fixe G, est une développante d^épicycloïde.
Soient I le point de contact de G et de G|, 0< A< h.' rayon de G| qui est parallèle à L, IP une perpendiculaire sur 0< A|, Aie point de la circonférence G qui a coïncidé avec A< ; on sait que P décrit une éi)icycloïde; car il se trouve sur le cercle ajant I0| pour diamètre, et l'arc IP est égal à AT, parce qft'il mesure le double de l'angle inscrit IO|A|, tandis que lAj mesure le même angle, mais dans un cercle de rayon double ; donc arc IP ^^^ IA| =z lA, et le
point P appartient à un cercle de rayon - R, roulant sui^
G. La développée du lieu de P est une épicycloïde intérieure au cercle G; or l'enveloppe de OiA^ et celle de 1^ ont les mêmes normales: ellesontdonc la même développée -
114. Une ellipse roule sans glisser sur une droite^ fixe: lieu décrit par un foyer, courbure de ce lieu, enveloppe dhine directrice .
vient, en supposant a décroissani,
ds a^ cosa ay i i i
CIT. y — a cos a y — a cos a r J p a
Si donc on fait tourner la roulette autour de OX, elle engendre une surface de révolution dont les rayons de courbure principaux sont p et FI ; la somme des courbures principales de cette surface est constante. (Delaunay.)
L'enveloppe de la directrice est le lieu du pied P de la perpendiculaire abaissée du centre instantané sur celte droite. L'angle INA de la normale à l'ellipse avec l'axe focal est le supplément de l'angle a que la tangente à l'enveloppe fait avec OX. SI l'on désigne par \ la distance du point I au petit axe de l'ellipse et si Ton suppose l'arc AI moindre que le quart de la conique, on a
tangINA = — tanga = — ^tt — ^
-^ a y a a^cosa
Ir = 5 = —
Mais, l'angle de IP avec O Y étant a, l'ordonnée du point Pest égale à IP cos a et l'on a, pour l'équation différentielle de l'enveloppe,
a cos a a2cos2a
/a* cos* a -\- b^ sin^a Pour avoir la variation de y^ je différentie :
( 2 6* 4- a* e* cos2 a )a cos a
(4) dy= —
, ri (2C>*-|- a'e' cos2a)a cosa"!
a siD a aa I — h — •
L^ ( à^ cos* 'x-\-b^ sin2 a )2 J
Comme l'angle analogue à IND est d'abord égal à zéro, a commence par avoir la valeur tc pour décroître conslaminent jusqu'à zéro quand le sommet A' est venu sur OX.
IQO IIKCUEIL d'exercices
le iTioment où le sommet du petit axe est sur OX, et la roulelte présente une inflexion. L'angle a revenant de ai à zéro, il faut prendre le radical avec le signe +, et, comme dcn << o, dy reste '^ o\ y croît de 6 à a(i -f- e); la moitié de Tcllipsea alors roulé sur OX, et le reste du Heu est symétrique de la première partie par rapport à l'ordonnée qui la termine.
La valeur de x peut s'obtenir sous forme d'intégrale elliptique
11 1 / I rt-cosa \ dx = dy cot a = — cos a aa ( a =! : ) ;
\ yja-cos^OL — hj
:r va toujours en croissant. L'arc ds est intégrable :
, dy . ri^ cos oidoL
{ x ) ds = -r= — = — a rfa =}z
Il faut faire attention au signe du radical; ainsi l'arc compris entre le point le plus bas et le point d'inflexion est
Si= / [—a-\- : Wa = ( - — ai )«:
Jo \ /aîcos^a— ^2/ \a /
du point d'inflexion jusqu'au point le plus haut, l'arc esl
donc S| 4- So = T.a : c'est la demi-circonférence de la po daire du fojer par rapport à l'ellipse.
L'équation (2) donne une propriété remarquable de 1 courbe : si l'on y remplace le radical par sa valeur (1)
y — a cos a, et si Ton nomme p Je rayon de courbure de la roulette,
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. ig3
de l'arc S| compris entre Forigine de l'arc et le point de rebroussement; on trouve d'ailleurs
a(i — e')sinao air — Xq — arc sin(e sinao)
oj = — — — Cl' — •
y/i — e'^ sin^ao ^
Si l'on remplace l'ellipse par une parabole, on obtient le lieu de F en remarquant que le pied de l'ordonnée est sur la tangente au sommet. Projetant cette ordonnée sur l'axe de la parabole avec lequel elle fait l'angle a, on a
<- = vcosa,
équation d'une chaînette dont le sommet est à la distance
^ au-dessus de OX. D'ailleurs, dans le cas de la parabole,
les points F et P sont symétriques par rapport à OX; l'enveloppe de la directrice est donc une chaînette.
H5. Théorèmes de Steiner. — Considérons une courbe convexe et fermée S, un point M de son plan, la roulette R engendrée par M quand S roule sur une droite fixe, la roulette Ri engendrée quand S roule sur une courbe égale et symétrique, enfin la podaire P de M par rapport à S : t" m/i arc de R est égal à Varc correspondant deV\ 2® Vaire de R, limitée par la base et les normales extrêmes, est double de Vaire de P et moitié de Vaire <ie R,.
i** Soient (yî^. 2o) lA, FA' deux tangentes successives de S, e l'angle de contingence, A A' l'arc de podaire; ou a AMA'=e, et, comme M, A, A', I sont sensiblement sur un cercle dont AI est le diamètre, arcAA' = eMI; mais que la courbe roule sur AI considéré comme fixe, M décrit un arc de cercle MM' égal à MFx MFM^^ sMI = AA'; donc, etc.
De S.-G. — Hec. l3
iga RECUEIL D EXERCICES
Pour savoir le signe de dy^ cberchons si la quantité entr crochets (4)? /(^)î peut s'annuler; on aurait, en rédui sant,
^* e* cos* a -I- a' e' 6* cos* a — 6^ = o.
On n'en tire pour cos^a qu'une valeur positive
cos«a = \ , ^ -^ ;
si cette quantité est <^ i , ou si l'on a
/(a) s'annule pour une valeur a^ de a, et il faut évidem ment prendre cosao<^o. Comme /(a) est >> o quan<
a<^ -' j il sera <; o pour a >> ao^ or — sinaâfaest toujour
posilif; donc, lorsque a varie de ?: à ao,,r diminue d'abord tandis que x croît, puisque dx = coioidy ; quand a passe par ao pour devenir moindre, dx et d^j^ changent désigne il y a rebroussement, puis x décroît, tandis quey augmente La courbe, d'abord au-dessous de OX, le coupe pou
a= - > puis passe au-dessus, et l'ordonnée devient a H-
pour 0L = o, puis vient une branche symétrique de la pr« cédente, et ainsi de suite.
• Au contraire, si e << --; , -j- ne change pas de sign-
y croît sans interruption dea — - k a -\ — ; x décroît d^
bord pour croître quand a << - et l'arc d'enveloppe q correspond à la moitié de l'ellipse est convexe. Sa lo ^ gueur a la valeur très simple — ; dans le cas où il y a t rebroussement, il faut ajouter à cette quantité le doul:>
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. ig3
de l'arc S| compris entre rorigine de l'arc et le point de re broussement ; on trouve d'ailleurs
a(i — e*)sinao itz — olq — arc sin(e sinoco)
Oj — — — Cl •
/i — e'^ sin^ao ^
Si Ton remplace l'ellipse par une parabole, on obtient le lieu de F en remarquant que le pied de l'ordonnée est SUT» la tangente au sommet. Projetant cette ordonnée sur l'axe de la parabole avec lequel elle fait l'angle a, on a
écjtiation d'une chaînette dont le sommet est à la distance
•^ au-dessus de OX. D'ailleurs, dans le cas de la parabole,
'^s points F et P sont symétriques par rapport à OX; l'enveloppe de la directrice est donc une chaînette.
1 15. Théorèmes de Steiner. — Considérons une courbe
^ortvexe et fermée S, un point M de son plan, la rou-
Cette R engendrée par M quand S roule sur une droite
^-^^G, la roulette Rj engendrée quand S roule sur une
^ottrbe égale et symétrique, enfin la podaire P de M
/^<3r/- rapport à S : t" m/i arc de R est égal à l'arc cor-
^^^^f>ondant deV\ 2® Vaire de R, limitée par la base et
^^s normales extrêmes, est double de Vaire de P et moitié
^e l'aire de"^,,
I ^ Soient {^fig' 2o) lA, FA' deux tangentes successives ^^ S, s l'angle de contingence, A A' l'arc de podaire; ou a -^IVlA'r^e, et, comme M, A, A', I sont sensiblement sur ^*^ cercle dont AI est le diamètre, arc AA' = sMI; mais que ^^ courbe roule sur AI considéré comme fixe, M décrit un ^^c de cercle MM' égal à MFx MFM^:^ sMI = AA'; ^^«^c,etc.
De S.-G. — hec. l3
igô RECUEIL d'exercices
Sans intégrer cette équation, on peut voir la forme de la courbe qu'elle représente : r ne peut varier qu'entre zéro et 2 a; si on le fait décroître à partir de 2 a, 9 croît d'abord jusqu'à ce que r atteigne la valeur a et le rajon vecteur correspondant est tangent à la courbe; /• continuant à décroître, 9 diminue jusqu'à — 00; le pôle est un point asjmptotique. Mais on reconnaît que la portion de roulette qu'il peut décrire s'étend seulement jusqu'à la distance a de chaque côté du point A.
Accélérations dans le mouvement épicycloïdal.
H7. Quand une figure se meut dans un plan, les accélérations des divers ordres de ses points sont soumises à quelques lois qu'on peut trouver à l'aide d'un changement de coordonnées. Soient x^^ y^ les coordonnées absolues d'un point M de la figure, x^ y les coordonnées relatives à deux axes rectangulaires faisant partie de la figure mobile, />, q les coordonnées absolues de l'origine mobile; on a
Xi = X coscp — j^sincp ■+-/?, fi = Xj sincp -^ y\ coscp -4- q^
OU, en posant coscp = a, sincp = 6,
Xi = ax — by +/?, yi= bx -^ ay -\- q.
Pour avoir les composantes de la vitesse ou des accélérations successives, on diflerentie par rapport au temps :
11 y a un point A dont les coordonnées relatives sont a,^ et ^n pour lequel ces deux composantes sont nulles; on le nomme centre des accélérations du {n — lyème ordre. Vdiisons
y — ?n= rn sin Ort, 6(«' = w„ sin X^ :
SUR L\ MKCAMQUE KATIONJNELLE. Iij5
rjuand le point de cantact se déplace de I en F, S tourne de 2£; Tare décrit par M est MM''= 2 MM', et la surface
]M jVnr est Mir+ sMI . Pour avoir l'aire intérieure à R,, il faut ajouter à la somme de ces éléments Taire de la base;
<iooc
surf.Ri = 2 surf.S-{- SeiMI — 2Surf.R.
CJle tte élégante démonstration est développée dans le Cours <"A? Calcul intégral de M. Bertrand.
116. Etant données la hase et la roulette, trouver la ^'o fêlante qui a engendré cette roulette; exemples.
JPar chaque point I de la base, on peut mener une nor- «Tiiale IN à la roulette, et Ton a une relation entre la lon- ^taeur r de IN et son angle [jl avec la tangente à la base : ï^ oxis regarderons le point M comme décrivant la roulette <it, nous le prendrons pour pôle dans le plan de la rou- *i^ràte : cette courbe étant tangente à la base en I, la rela- * lOB entre r et (x donne pour cliaque valeur du rayon vecteur son angle avec la tangente à la courbe cherchée; c'est ^J^rie équation différentielle de la roulante.
i*^ La base et la roulette sont deux droites faisant entre
^lles l'angle a; [jl est constant, égal à a. La roulante
^oupe tous ses rayons vecteurs sous un angle constant : <î'estune spirale logarithmique.
2° La roulette est une parabole dont l'axe est la base; la sous-normale de la parabole étant constante, rcos[JL =/?, les normales de la roulante sont à une distance constante "u pôle; cette courbe est une développante de cercle.
3° La base est un cercle de rayon a et la roulette une "'"oite qui touche le cercle en un point A : on trouve sans . peine
^ / • s ar d^ ,ft (a — r)dr
^ =^ a{i — sin(Ji)=a r rfô =
^dr^ H- r* rfO* r^iar — r*
Sans intégrer cette équation, on peut voir la forme de la courbe qu'elle représente : r ne peut varier qu'entre zéro et 2a; si on le fait décroître à partir de 2a, 6 croît d'abord jusqu'à ce que r atteigne la valeur a et le rayon vecteur correspondant est tangent à la courbe; /* continuant à décroître, 6 diminue jusqu'à — 00; le pôle est un point asympto tique. Mais on reconnaît que la portion de roulette qu'il peut décrire s'étend seulement jusqu'à la distance a de chaque côté du point A.
Accélérations dans le mouvement épicycloïdal.
H7. Quand une figure se meut dans un plan, les accélérations des divers ordres de ses points sont soumises à quelques lois qu'on peut trouver à Taide d'un changement de coordonnées. Soient x^^ y^ les coordonnées absolues d'un point M de la figure, x^ y les coordonnées relatives à deux axes rectangulaires faisant partie de la figure mobile, />, q les coordonnées absolues de Forigine mobile; on a
Xi = iFCOscp — j^sincp -hjf?, yi = Xx sincp h-jKi coscp -\- q,
ou, en posant coscp = a, sincp = 6,
Xi = ax — by -hp, yi= bx -\- ay -h q.
Pour avoir les composantes de la vitesse ou des accélérations successives, on diflTérentie par rapport au temps :
Il y a un point A dont les coordonnées relatives sont a,^ et (3,i pour lequel ces deux composantes sont nulles; on le nomme centre des accélérations du {n — i)'^'"^ ordre. Faisons
a? -- a;, = Trt cos Ôrt, a^"^ = tO;, cos X^, jr — Prt = rn sin 0«, b^r^' = to^ sin \n :
les composantes de l'accélération d'ordre n — i prennent la forme
L'accélération d'un point quelconque M est proportionnelle à sa distance au centre A des accélérations du même ordre; de plus, AM faisant avec 0X< l'angle 9n+ y fait avec l'accélération d'ordre n — i un angle constant et égal k\n — o, quel que soit le point M.
Soient donc A et B les centres des accélérations d'ordre n — I et/? — 1 par exemple, la vitesse comptant comme accélération d'ordre zéro dont le centre est le centre instantané de rotation. Les points pour lesquels y„i et y^i ont un rapport donné sont sur un cercle conjugué à A et B, car leurs distances à ces centres ont un rapport constant. Les points où les deux accélérations font un angle donné e sont sur deux segments capables des angles e±X„±'kp décrits sur AB comme corde.
Considérons les expressions
A„,p= <)^i^J-t-y,«y,'') = Y„iYp i cos(Y«-„ Yp-i), l^n.p=yryr-^rA'' = T«-iYp-i sin(Y«„ Yp-,).
M. Jordan remarque que ces binômes sont les premiers membres de l'équation d'un cercle passant par les centres de jn-i etdey^.^. On en conclut, outre les propositions précédentes, que le cercle est le lieu des points où A„^^,
B;, n, -r^-^ > • • • oiit une valeur donnée. Cherchons encore le
lieu des points M pour lesqu-els la projection de y,,< sur la direction de Yy?-i on sur une direction perpendiculaire ait une valeur "k :
Ya-iCos(Y«-i, 7p-i) = ^-^ = X, ou -^1^ = X.
fp-i Yp-i
igS RECUEIL d'exercices
Il existe un rapport constant entre la puissance du point M par rapport à un cercle qui passe au centre A de l'ordre p — 1 et la longueur MA. Soit B le second point où MA rencontre le cercle considéré : la puissance par rapport au cercle est MA x MB; il faut donc que MB soit constant; le lieu de M est une conchoïde du cercle AB, dont le point double est A. Tel est le lieu des points dont l'accélération tangentielle ou centripète a une valeur constante.
11 convient d'étudier directement l'accélération du premier ordre : prenons pour axes des x et desj^ la tangente IT et la normale IN communes, à l'instant t^ à la base et à la roulante qui correspondent au mouvement de la figure plane. Le point M, de coordonnées x^ y, est animé, à. t l'instant t, d'une vitesse dont les composantes sont
Cherchons les composantes de sa vitesse à l'époque ^ -r A. en négligeant les infiniment petits du second ordre : la fi gure tourne avec une vitesse w -+- Ato autour d'un point f^ situé sur IT à une distance Ao- du point I; les coordonnées du point M étant devenues x — ioy A^, y + (ùx A^, sa vitesse a pour composantes
Vjc — — ((OH- Aa>)(^ -+- (six A^), p^ = (oi -h A(ii)(ip — wj^ M — Ai). Il vient alors, pour les composantes de l'accélération,
L'angle dont la figure a tourné pendant le temps dt est égal à la somme des angles de contingence des arcs IR, IKi : si l'on compte les rotations positives de IT vers IN, on aura
, f d(5 d(j\ da d<j
remplaçant -7- par — {oa, --j- par w', on a pour les expressions dëfînitlves de y^: et de y^
Ces formules montrent que l'accélération du point M est la résultante de trois autres : to^ IM dirigée suivant MI, co'IM perpendiculaire sur MI, (ù^a parallèle à IN ; cette décomposition permet de trouver immédiatement l'accélération tangentielle et l'accélération centripète; si /• et 6 sont les coordonnées polaires du point M, on a
(aj Y^=r loV H- a)2acos6. -^^—to^r — co^asinG.
Le centre des accélérations A est sur la circonférence des inflexions; l'angle AIT est égal à 90" -j- (p, l'angle z>
ayant pour tangente — • L'accélération totale, égale à
AMy/co* H- (0^2, fait l'angle ç avec la direction MA.
118. Une figure plane F se meut sur un plan fixe P de telle sorte que le centre des accélérations occupe une position fixe A et que le centre instantané de rotation reste à une distance constante du point A : déterminer et étudier le mouK^enient de F. (Paris, 1884.)
Le lieu S du centre instantané I dans le plan est un cercle ajant A pour centre; à un instant quelconque, la droite lA est normale à S et l'angle cp, dont la tangente est en
général — > est nul ; donc t^l est nul et la vitesse de rotation
co constante; A coïncide avec le centre instantané du second ordre et lA est égal à a. Reste à trouver la ligne S, qui, en roulant sur S et entraînant F, détermine le mouvement de la figure : son rayon de courbure Ri en I se déduit de l'équation
R est, en valeur absolue, égal à a; mais Téquation (3) i été établie en supposant IC, ou R< dirigé dans le sens d< IF, IC ou R dirigé en sens contraire ; or, dans la figun actuelle, R coïncide avec IF; il faut donc le remplacer pai
— a dans l'équation (3) et celle-ci donne alors R4 = -
La roulante Si est donc un cercle de rayon - qui roule i
l'intérieur d'un cercle de rayon double et le mouvemeni de la figure qu'elle entraîne est bien connu.
Les équations (i) et (a), n° H7, où l'on suppose co' = o. font connaître l'accélération d'un point quelconque M. toujours dirigée suivant MA. Les points dont l'accélération centripète a, pour un instant donné, une valeur miùsont sur le limaçon r = a sin 9 -h m ; le lieu des points doni l'accélération tangentielle prend une valeur /xo^ est, pai
exception, une droite définie par l'équation cosô= — •
Mouvement d'un solide autour d'un point fixe.
H9. Quand un solide S pivote autour d'un point fix O, la vitesse de l'un quelconque de ses points M est même à chaque instant que si le solide tournait avec um: certaine vitesse w autour d'un axe instantané OL Soie : x, y, z les coordonnées de M par rapport à trois a^L rectangulaires OX, OY, OZ liés invariablement à S ; />, y , les composantes de w suivant les directions qu'ont les a:^ OX, QY, OZ à l'instant t : la vitesse du point M a pc^ composantes
(i) S^^qz — ry, Vy = rx—pz, \^=py^qx.
Soient encore «, 6, c; a', b\ c' \ a!', b" ^ d^ les co^ nus directeurs de OX, OY, OZ par rapport à des axi" fixes 0X<, 0Y<, OZi disposés comme les axes mobiles
oa a
„ da! ,, db' „ de' , da" ^,dh" , de"
^ dt dt dt dt dt dt '
une permutation tournante donnerait q, r et l'on aurait trois équations propres à déterminer les dérivées des neuf cosinus en fonction de />, q, r ; M. Darboux obtient plus vite leurs valeurs en égalant à zéro les projections sur OX, OY, OZ de la vitesse d'un point P pris sur l'un des axes fixes à la distance i de l'origine ; cette vitesse est la résultante de la vitesse relative à OXYZ et de la vitesse d'entraînement dont les équations (i) font connaître les projections; si P est sur OXi , ses coordonnées relatives sont û, a'y a" et l'on a, pour calculer leurs dérivées,
da ^ , da' - da' ,
2i + ^« — ^^ ^'-di '^^^ ~^^ "" ~dt -^P<^-9<^ = ^'
120. On peut donner à S son mouvement véritable en le supposant lié à un cône C qui roule sur un cône fixe G< : sur la génératrice commune à l'instant t et sur celles qui doivent venir en coïncidence au temps t + dt^ prenons des longueurs égales 01, OF, 01'^ et soient dv la longueur des arcs IF, IF,; R, Ri les rayons de courbure principaux finis pour les deux cônes au point I ; je suppose ces rayons dirigés en sens contraires. Dans le temps "^) S tourne d'un angle égal à la somme des angles de contirigence de C et de Ci, d'où une relation importante :
Sellent OP, OPi les axes des cônes droits osculateurs à
^^^ SI Ci le long de 01 : on peut obtenir le mouvement
élémentaire de S en le faisant tourner avec une vitesse a
autour de OP tandis que OP tourne lui-même avec une
Vitesse oc^ autour de OPi : lo est la résultante de a et de «j
et l'on a
a (Xi 0}
sinPiOI sinPOI sinPOPi
Dans son mouvement diurne, la Terre tourne autour de son axe de figure OP tandis que cette droite tourne autour de Taxe de Pécliptique 0P< ; Taxe de rotation 01 se déplace donc dans la Terre et fait avec l'axe de figure un angle déterminé par les formules précédentes : en prenant l'année tropique pour unité de temps, on a
a = 1 296000 X 366, 24> ^i = — 5o*,2, PiOI^'iS^a
. 5o,9. sin23°9.7'
sinPOI = —
le cône décrit par l'axe 01 est extrêmement aigu et découpe à la surface du globe un cercle de 0^,27 de rayon.
121 . E picycloïde sphérique engendrée par un point M sititf'^ sur la circonférence d\ui petit cercle C de rayon sphérique a qui roule dans un cercle G< de rayon ia,
La circonférence C passe toujours par Tun des pôles O du cercle Ci ; soient A le point de Ci avec lequel M a coïncidé à un certain instant, 1 le point de contact de C et de C< au temps t^ S le centre du cercle C à la nicme époque, w, u' les angles MSI, AOI : les arcs AI, MI sont égaux et l'on a
u^na — u sin2a, u =
2 cosa
Menons les arcs de grands cercles OM = 6, IM = n et soient P, Q les milieux de ces arcs, à l'angle MOA. Le triangle rectangle OSP donne
(i) sinOP = sinOS sinOSP, sio^O = sina cos J w ;
(2) cosOS = cotS cotO, cosa = tang^ M cot ( ^\.
\ 2 cos cl /
L'élimination de u donnerait l'équation de l'épicycloïde,
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 2o3^^
mais on n'a pas besoin de l'effectuer pour voir la forme du
lieu. Faisons croître w de o à tt : les équations (i) et (?.)
montrent que 6 décroît de 2a jusqu'à zéro, tandis que A
I — cosa ., 2 cosa «^
on déduit en effet de l'équation (2)
varie de o à tt : j'aioute qu'il croît constamment :
2 cosa -^ J J T
,, sin^asin^ —
du
% ces
a ( I — sin'-^ a cos^ — 1
L'épicycloïde part du point A tangentiellement à AO et se dirige vers le point O où sa normale fait avec OA
l'angle ; puis on a une partie symétrique par rap-
2 cos a
port à cette normale. 11 y a évidemment deux points d'inflexion sphérique; pour les trouver, prenons la formule de Savary pour les figures spliériques :
(3 ; [cot/i -h cot(p — /i)] coscp = cotR h- cet Ri ;
dans le cas de l'épicycloïde qui nous occupe, on fera R = a y Ri = — 2a, et le second membre de l'équation (3) se ré^
duità-: ; aux points d'inflexion, le rayon sphérique p
est égal à - et l'équation (3) devient
cos© I
sin/icos/i sin2a'
mais le triangle rectangle SQI montre que coscp ou cosSIQ est égal à tang— cota ; on doit donc avoir
cota T , n „ 72
> 2 cos^ cos- cos* a = o
„ n sia2a 2 2
2 cos* — oos/i
et l'on a, pour cos - » une seule valeur admissible, à laquelle correspondent deux points symétriques de l'épicycloïde.
122. Des accélérations. — Soient 01, 01' les axes re présentatifs de la rotation d'un solide S aux époques t e t-\-^t] ir est la vitesse angulaire acquise pendant 1< temps A^, et la limite vers laquelle tend un segment dirige
suivant IF et égal à — représente l'accélération angulaire
v^ du solide. Il n'y a qu'une différence infiniment petit< du second ordre entre les angles que 01' fait avec les axe; mobiles dans la position qu'ils occupent à l'époque t et \ l'époque t -\- dt\ on en conclut immédiatement que les pro
jections de yo, sur OX, OY, OZ sont égales à -^j ~T"* T
L'accélération y d'un point quelconque M du solide ea donnée par le théorème de Rivais : elle est la résultanl de deux autres : l'une est représentée par la vitesse qL donnerait au point M une rotation dont Taxe serait uk droite OA égale à l'accélération angulaire; l'autre, dirig- < suivant la perpendiculaire MP abaissée sur l'axe instai tané 01, est égale à to^MP. Cette dernière pouvant êlJ remplacée par la somme géométrique de deux autres w^MO, suivant MO, et w^OP dans la direction de OP, oi trouve, pour la projection de y sur OX,
dq dr
^^ =. z -J-— y — — ui^x -^ p{px -^ qy -^ r z )\
Y/ et Y^ s'en déduisent par simple permutation.
Mouvement le plus général d'un solide.
123. Le mouvement élémentaire le plus général d'ui solide S peut être regardé comme résultant d'une rotatioi w autour d'un axe 01 passant par un point O, choisi arbi
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 2o5
trairement dans S, et d'une translation dont la vitesse V© est celle du point O : Vo varie avec le point O ; (o est toujours le même. Soient /7, q^ r les composantes de co suivant trois axes OX, OY, OZ liés à S; w, (^, (V les projections de Vo sur les mêmes axes ; u! ^ v\ w^ les projections de l'accélération du point O : on a, pour les composantes de la vitesse et de l'accélération d'un point M (:r, /, z\
y^ = u-\-qz — ry, \y—v-{-rx—pz, y ^^ w -\- py — qx,
Yor = "'-+- -^-^ ~-^ 57 "■ ^'"^ "^P^P^ -^qy-^rz), Yr = • • • •
On peut reconnaître qu'il existe une infinité de points M dont la vitesse est parallèle à (o; il suffit qu'on ait
ii-\- qz — ry v -¥ rx — pz w -\- py — qx
ces points sont situés sur une droite CC appelée axe central de Mozzi ou axe de rotation et de glissement, dont les équations peuvent se mettre sous la forme
I / qw-rs^\ , / ru—pvi>\ i / pv - qu\
p^" -;^^) -qV ^^^^~) ~~r\ ^^^^~~)'
Le mouvement élémentaire de S est un mouvement hélicoïdal autour de l'axe central; la vitesse de glissement suivant cet axe est pu -i- qv -h tw ou Vo cos(Vo, w).
124. Formules simplifiées ; applications, — Choisissons les axes mobiles de telle sorte qu'à l'instant t OZ coïncide avec l'axe central : p^ q^ u^ i^ sont nuls et l'on a
formules qui mettent en évidence le mouvement hélicoïdal. Si les vitesses des deux points M, M' sont égales, elles seront également inclinées sur Taxe central et M, M' équidistants de cette droite ^ si les vitesses de M, M' sont
^o6 RECUEIL d'exercices
parallèles, elles seront égales, et la/droite MM' sera parallèle à l'axe central.
Après avoir choisi l'axe des z, particularisons la position de l'axe des x en supposant qu'il coïncide, à l'instant t, avec la perpendiculaire commune aux axes centraux de
l'époque t et de Tépoque t -\- dt : u' et -^ s'annuleront
■» , . dq dr , ,
aussi et, SI nous désignons -^» -7- par q ^ oj, nous aurons
Les équations (i) et (2) s'appliquent au cas où il y a ua. point fixe en y supposant kv^ v' et iv' nuls. Elles font alors connaître immédiatement le lieu des points dont Taccélération est perpendiculaire ou parallèle à l'axe instantané (Paris, 1880, 1884) ; le premier lieu est le plan des^s, le second une droite en chaque point de laquelle y^ et v^ s'annulent.
Revenons au cas d'un solide entièrement libre : les équations (2) montrent que, si q' est différent de zéro, il existe un point dont l'accélération est nulle ; les points dont l'accélération a une grandeur donnée sont situés sur un ellipsoïde qui dégénère en un cylindre droit quand q\ est nul; ceux dont l'accélération a une direction donnée sont situés sur une droite.
Pour les points dont l'accélération tangentielle est nulle, Y étant perpendiculaire à V, on a
le lieu est un hyperboloïde qui coupe le plan des œz suivant deux parallèles à OZ ; selon qu'elles sont réelles ou imaginaires, l'hyperboloïde est à une ou à deux nappes ; le plan des xy est un plan cyclique.
Enfin le lieu des points dont l'accélération totale est
parallèle à la vitesse est la courbe commune aux deux
surfaces
to*(ar2-f-j'«) — q* xz — v' y = o,
taq'x^-i- (wto' — i3i)w')x — wtù^y -f- ww' — o ;
ces deux quadriques ont une génératrice commune
X = o, (si^y — v' = o:
le reste de leur intersection est une cubique gauche qui, seule, appartient au lieu clierclié.
12S. Un cercle S roule avec une vitesse constante sur une droite fixe OX tandis que son plan tourne avec une vitesse également constante autour de OX : trouver le lieu des axes centîHiux dans l^ espace et relativement au cercle mobile. (Caen, 1887.)
Soit I le point où S touche OX à un instant donné : le mouvement élémentaire du cercle résulte de deux rotations, Tune a autour d'une droite lA normale au plan du cercle, l'autre p autour de IX ; leur résultante est une rotation y/a- -h p^ sans glissement; l'axe ÏC de cette rotation n'est autre que l'axe de Mozzi ; il fait un angle constant avec OX et le plan CIX est perpendiculaire à celui du cercle ; il en résulte que le lieu de CI par rapport au cercle est un hyperboloïde dont S est le cercle de gorge ; d'autre part, la droite IC, qui fait avec OX un angle constant, prend dans l'espace un mouvement hélicoïdal bien déterminé et décrit une surface de vis à filet triangulaire sur laquelle roule l'hjperboloïde.
i26. Des rotations conjuguées. — Les équations (1) du n® 124 conduisent à une série de propriétés du mouvement hélicoïdal : je me borne à montrer directement comment on peut remplacer ce mouvement par deux rotations dont l'une a pour axe une droite choisie à. volonté D. Je dis d'abord que les plans normaux aux trajectoires
2o8 RFXUEIL d'exercices
de tous les points de D passent par. une même droite D'. L'axe des z étant toujours l'axe de Mozzi, dirigeons l'axe des X suivant la perpendiculaire commune OA = a à l'axe central et à D : si cette droite fait l'angle 0 avec OZ, les coordonnées d'un de ses points seront a, p sinÔ, p cosO ; le plan normal à sa trajectoire a pour équation
— («>psinô(X — a)-f-(«>a(Y — psioô) -h wÇL — p cos6) = o ;
quel que soit 6, il contient la droite D'
(i) (oX sin6 -f- iv cos6 = o, aa)Y-i-wZ = o;
' cette droite est, comme D, perpendiculaire sur OX et, sL l'on désigne par a' l'abscisse du point où elle rencontre OX, par 6' son angle avec OZ, on déduit des équations (i)
— — a tangO' =z — a' tango.
Dans le mouvement du solide, D tourne autour de D'
avec une vitesse x dont la valeur -, — est deter-
minée par la vitesse que doit prendre le point A. A son tour, le mouvement de D' est une rotation a autour de D et les deux rotations siniultanées a, a' imprimeront au solide son véritable mouvement élémentaire.
Les droites D, D' sont dites conjuguées; la propriété qui nous a servi à trouver la droite D' permet, dans tous les cas, de déduire ses équations de celles de D. Si D est perpendiculaire à l'axe central, D' est rejetée à l'infini; si D est normale à la trajectoire de l'un de ses points, elle se confond avec D', mais a et t! deviennent infinies.
{Les Exercices sur le mouvement d'un solide invariable sont donnés à la ^n du Volume.)
