MOUVEMENT D'UN POINT LIBRE
Mouvement rectiligne.
127. Considérons un point matériel M, de masse m, soumis à l'action d'une force F de direction constante, et tout d'abord immobile ou animé d'une vitesse parallèle à la direction de F : il se mouvra sur une droite fixe OX et sa position, à un instant quelconque ty sera définie par sa distance s à une origine O ; soit v la vitesse au même instant. D'une manière générale, F sera égale à une fonction de ^, s et Çy toutes ces quantités pouvant être positives ou négatives. On a toujours
ds dv d^s dïmv^
dt dt dt^ ds '
si donc on donne l'expression de F, la recherche du mouvement qu'elle fera prendre à M reviendra à l'intégration d'une équation différentielle du second ordre; les deux constantes d'intégration seront déterminées si l'on donne les valeurs de s el àe v correspondant à une certaine valeur de tj et elles le seront toujours sans ambiguïté, car un problème de Dynamique bien défini ne saurait admettre plus d'une solution.
Db S.-G. — Rec. l4
Comme nous n'avons en définitive qu'une inconnue i déterminer, le problème du mouvement rectiligne présent( une simplicité particulière : il faut toutefois remarque] qu'il exigera souvent une discussion d'une nature spéciale parce que l'équation différentielle dont on part ou les intégrales qu'on en déduit peuvent ne convenir que si 1( mobile est sur une certaine région de la droite OX ou s la vitesse a un certain sens; ces distinctions, inutiles dan le cas bien connu d'une attraction proportionnelle à 1 distance, s'imposeront dans les problèmes suivants.
128. Mouvement d'un point M tiré du repos par «/= attraction émanant d'un centre fixe O et inversemem proportionnelle au cube de la distance (Paris, i86o).
Le mobile restera évidemment sur la droite menée [^ la position initiale A et par le point O que je prends p origine : la force motrice peut être représentée
— /w — > et l'équation du mouvement se réduit à
dv
dt
on reconnaît qu'elle est la même quel que soit le sî { de 5. Pour obtenir une première intégrale, je multiplie deux membres par 2 ds et, en supposant OA égal à € dirigé dans le sens des s positifs, j'ai
- iV^ds , X» X*
d'où
ds \
dt as ^ '
\ dt -àz s ds
La distance 5, d'abord égale à a, doit commence
décroître : on prendra d'abord le signe — dans le second membre des équations (a) et (3), et l'on verra que s va décroître constamment jusqu'à zéro : pour cette première période du mouvement nous aurons, en intégrant (3) et nous rappelant que s= a pour t= o,
Cette intégrale convient jusqu'à l'époque t= -^ pour
laquelle s s'annule : elle n'a été établie que pour cette période et sa forme même prouve qu'elle doit tomber en
défaut, car elle astreindrait f à ne point surpasser-^? ce
qui serait absurde. Reportons-nous aux équations (i) et (a) : nous voyons que pour 5 = o la vitesse et l'attraction sont infinies ; les équations dont nous sommes partis deviennent discontinues et -l'on ne peut plus compter sur 'es relations qu'on en a déduites ; l'examen direct et rigouï'eux de la question ne permet pas non plus d'affirmer ce <lue doit devenir le mobile après s'être précipité avec une ^vitesse infinie sur un point qui exerce sur lui une attraction infinie. On peut du moins faire à cet égard une convention tien naturelle : si le mobile était obligé de rester sur une droite fixe OA, le centre d'attraction étant en dehors de ^ette droite à une distance extrêmement petite du point O, ^e mobile passerait en ce point avec une vitesse très grande, ^2^is il le franchirait et, en vertu du théorème des forces ^^^es, la vitesse serait la même pour deux valeurs de s égales et de signes contraires : le mouvement, avant et ^Près le passage en O, serait symétrique.
Nous admettrons que les choses se passent de la même Manière quand le centre d'attraction est sur la droite sui- ^le par le mobile : les équations (2) et (3) sont toujours applicables; seulement, après le passage en O, ç reste
d'abord négalit et s le devient : il faut prendre les signes -f dans les seconds membres de (2) et (3) et l'intégration de celle-ci donne
a* On doit avoir s=o pour t =: y-; la constante d'intégration C est donc égale à 2a et l'on a, pendant la second période du mouvement,
It ,
S décroît depuis zéro jusqu'à la valeur — a qu'il atteii pour f = 2 y • Alors commence une troisième période
lï
le mobile va se rapprocher du point O et 5 croît à par-^^t i de — a; ds est positif, mais s est d'abord négatif eU faut le signe — dans les seconds membres des équatic^ -mns (2) et (3). Intégrant la dernière en faisant varier s à paiz^ wJir
de — a et f de 2 -x- ? il vient
(6) — = 2aH- i/a»— .s*.
La troisième période finit quand s arrive à zéro j>^i^ur f = 3 Y • alors F, v sont infinies et l'on ne peut suivr*^^ k
mobile plus longtemps sans une convention pareille à c^ ^^Ue que nous avons faite lors du premier passage au point d^ ritique ; on aura une quatrième période du mouvement J> ^O"
dant laquelle
pendant une cinquième période, M reviendra de A ^'^^ ^ et Ton aura
et ainsi de suite.
Ainsi, quand on passe d'une période à la suivante, l'équation du mouvement se modifie; pour passer de la deuxième à la troisième, de la quatrième à la cinquième,
il suffît de changer le signe de \Jà^ — s^ 5 mais, pour passer de la première à la deuxième, de la troisième à la quatrième, il faut changer la constante d'intégration, ce qui indique une discontinuité dans la forme de l'intégrale, correspondant à une discontinuité dans l'équation du mouvement (i). On peut d'ailleurs, en suivant l'intégration de l'équation (3), voir par suite de quelle circonstance analytique la constante qui figure dans l'intégrale change quand on arrive à la seconde période et ne change pas quand on passe à la troisième. Désignons par e un infiniment petit. Si Ton intègre l'équation (3) en faisant varier s depuis a jusqu'à une valeur comprise entre o et — a, on aura, sans erreur sensible,
\t __ r^ sds r* sds
^e qui revient à l'équation (5).
Intégrons maintenant en faisant varier ^ de a à — a puis ^e — a k une valeur inférieure à zéro : on pourra écrire
ti ^ r^ . sds ç-^^^ sds r' __ sds
cette relation revient à l'équation (6). Or on voit que le
^^dical, ^a'^ — 5^, qui change de signe d'une période à * ^uire, est en valeur absolue égal à a quand le passage se *^it pour 5 = 0, et à zéro quand on passe par s = ±a\ le ^erme qui se double quand on intègre est nul dans un cas, ^ni dans l'autre.
2l4 HECUEIL D*EXERGICES
129. Mouvement d'un point M soumis à l'action de deux centres fixes O, A, dont chacun l'attire suivant la loi de Newton; le point M est d'abord sur OA avec une vitesse dirigée suivant cette droite.
Le mobile ne quittera pas la droite OA. Je prends le point O pour origine, et je suppose OA égal à a et dirigé du côté des s positifs ; prenant la masse du point O pour unité, je désigne par [jl la masse de A et par \^ l'attraction de deux masses égales à Tunité et dont la distance est i . On obtiendra sans peine Téquation différentielle du mouvement, mais on reconnaîtra qu'elle change de forme suivant la région de la droite OA dans laquelle se trouve le mobile : quand il est entre A et O l'on a
dv \^ uX»
dt s^ {a — sy
si au contraire s est négatif ou > a, nous aurons
^^ dt \s'- {a-sf]
Plaçons-nous dans le premier cas et désignons par s ^ Vq les valeurs de 5 et ç' pour ^ = o ; nous aurons l'intégra. J première
^ \f So/ ' \a — s a — So/ *^
Une seconde intégration donnerait t sous forme d'uri intégrale elliptique en s; mais l'équation (3) suffit paifl décider de la question la plus intéressante dans la loi d mouvement, celle de savoir dans quel sens et jusqu'à qu
point marchera le mobile. Il faut d'abord voir si 9(^), po- * sitif et très grand quand s est voisin de o ou de a, peu devenir nul ou négatif pour une valeur intermédiaire de 5 ^ or, quand s varié de o à a, ^(5) passe par une valeur mi —
SUR LA MÉCANIQUE RATIOM^fELLE. 21 5
oimum Q lorsque
s'annule; cela n'arrive que pour une valeur 5i = -—
de ^; au point C de la droite OA qui correspond à cette valeur de s les attractions de O et de A sont égales, et c'est une position d'équilibre, évidemment instable. On trouve alors
Si Q^ o, l'expression (3) de v'^ ne peul s'annuler et le mobile marche toujours dans le même sens jusqu'à ce qu-'il arrive, avec une vitesse infinie, en l'un des points O on A-, on ne peut décider en toute rigueur de ce qu*il doit fîiire ensuite, mais il est naturel d'admettre qu'il sortira de la région OA, et alors son mouvement sera régi par * vine des équations (2).
Soit au contraire Q < o : si, d'après les conditions îni- ^* ailes, le mobile n'a pas à passer par le point C pour arriver à celui des points O et A vers lequel il se dirige O.'aibord, il marchera toujours dans le même sens comme datiis le cas précédent; mais si le mobile se dirige d'abord Vers C, sa vitesse s'annulera bientôt, et il rebroussera ^Ixemin pour aller se précipiter vers l'un des points O o\i A.
Dans le cas limite où Q est nul, la valeur correspondainte de v\^ substituée dans l'équation (3), donne
ds"^ ^,/ /-\2 (^1 — sy dt^ ^ ^ ^^ as{a — s)
{Si — *)V2
^ Intégration peut se faire au moyen des fonctions élémen-
2l6 RECUEIL D^EXERGICES
taires; mais, sans reffectuer, on voit que, si le mobile se dirige d'abord vers C, il ira jusqu'à ce point, pour ne l'atteindre qu'au bout d'un temps infini.
Le mouvement que je viens d'étudier serait celui d'un corps placé entre la Terre et la Lune, si ces deux astres étaient immobiles. Prenons pour unité la masse de la Terre que je considère comme une sphère de rayon R ayant son centre en O ; on peut poser
a = 6oR, ix = --,
d'où
