OG = 54R
L'attraction ^ de la Terre sur un point de masse i situé
à sa surface est G= 9,82 (un peu supérieure à la gravité à cause de l'effet de la force centrifuge), et 'k^ est égal à GR2. Cherchons avec quelle vitesse un mobile devrait partir de la surface de la Lune pour arriver à la Terre : il faudrait que Q fût positif : or on a
5o=(^Go-1')r = ~-?R, a-5o=-R:
\ 11/ II ' Il
on devrait donc avoir
• ^ /-t» / II II 100 \
ce qui donne ^0^ 2276
130. Théorème sur le temps nécessaire à un mobile pour atteindre une position d^ équilibre instable.
Nous venons de voir un cas où les conditions initiales du mouvement sont telles qu'en vertu de l'équation des forces vives un mobile doive atteindre avec une vitesse nulle un point C où il serait en équilibre, nécessairement instable ; nous avons trouvé qu'il n'arrivera qu'au bout
d'un temps infini. Je vais montrer que ce fait est général, quand la force motrice F ne dépend que de la position du mobile sur la droite qu'il doit parcourir.
Prenons le point C pour origine des s : F peut, en général, se développer par la formule de Maclaurin suivant les puissances entières de 5, et, comme elle s'annule a^rec 5, C étant une position d'équilibre, on a
as
IVtultiplions par 2 ds et intégrons :
mv^ = const. -h as^ -\- -bs^-\-. . .]
mais, par hypothèse, ^0 ^^ ^'0 sont tels que v doive s'annxiler avec 5; la constante d'intégration est nulle et l'on tire de l'équation précédente
ds /— , ds
V= — = — S)/Xj dt= -p=y
-^ étant une fonction de s qui a une valeur finie pour ^ ==0; or on sait dans ce cas que / — = est infini : il
*^vit un temps infini pour que s vienne à s'annuler.
la proposition serait en défaut si F ne pouvait plus se développer par la formule de Maclaurin, mais était infini- '^^ent petite d'ordre a, inférieur à l'unité, quand s est un ^^finiment petit du premier ordre : on trouverait pour t ^xxt valeur de la forme
i±^ ds
î^i reste finie quand on intègre jusqu'à 5 = 0, étant
2l8 RECUEIL D EXERCICES
131. Mouvement vertical d'un point pesant, en admettant quHl éprouve dans Vair une résistance proportionnelle au cube de la vitesse.
Supposons que le corps monte : Féquation de son mouvement sera de la forme
, . dv v^
Séparons les variables et décomposons en fractions simples :
Zgdt Zk^dv dv (v — ik)di>
k A:3 4 (;3 ç -h k v^ — çk -h k^
/^ k{vQ — v)s/l i/3 arc taog —7-; y- 4 •
ds Si dans (i) on remplace dt par — > on en lire
3^t/5 ^kvdv __ dv (v-^k)dv
d'où
3 ^ (p-4-/c)/t>g — vok -hk^
L ./^ o,.^ for.., A-(Po— p)v/3
-f- V 3 arc tang — ^-r j-z r
3<r\ ^vl—v^k+k^
^ /3 arc tang ^^^-^j
On obtiendrait la relation qui lie 5 à ^ en éliminan entre (2) et (3); l'élimination est difficile, mais si V^ on donne à v une série de valeurs, on aura autant de systèm-^*^^^ qu'on voudra de valeurs simultanées de s et de t. En fi sant ç' = o, on trouve que le mobile s'arrête pour
-ai-
SUR LA MÉCANIQUE RÀTIONItTELLE. 219
après avoir parcouru le chemin
-— I L ^—-2 2 h /3 arc lang —. ) .
Si Ton suppose que le mobile ait été en mouvement avant l'époque ^ = o, on trouve que «^ a dû être infini pour une valeur négative, mais finie, de /,
l'arc tangente étant pris entre zéro et it.
Quand le mobile redescendra, après avoir atteint sa
liiavteur maximum, son mouvement sera encore régi par
les équations (i), (2) et (3), contrairement à ce qui arrive
<3aiis le cas d'une résistance proportionnelle k v* : v deve-
xiant négatif, la force — mg -rj est toujours dirigée en sens
contraire de la vitesse ; on voit que v tend vers — k pour t infini. Il est clair que si le mobile avait commencé par descendre, il aurait été naturel d'étudier son mouvement ^li comptant les s positifs suivant la verticale descendante. On peut développer les valeurs (2) et (3) de ^ et de 5
•vivant les puissances croissantes de -r > mais on arrive plus
'^^te au résultat en développant d'abord dt et ds ;
«< = — 77 — = — ( I— T^ -^ 7 ••• ) — y ds^vdt.
L'intégration donne alors
,Po— p y^ — <^* . ^ r; -- p^ vi — v^ ,
i32. Un point matériel est attiré vers un centre fixe O '^ecune intensité fonction continue de la distance^ et il ' meut dans un milieu homogène dont la résistance est
proportionnelle au carré de la vitesse; déterminer la loi d^ attraction de manière que le mobile partant du repos arrive en O dans un temps T indépendant de la distance initiale a, (W. Walton.)
Soienty (5) la fonction cherchée de la distance 5, ki^^ la résistance de Pair ; on a
rf.o»
ds Faisons
= 2kv* — 2/(5), ç;î = ^ = e»** / 2e-^^^f{s)ds,
(2) / ^e-^^*f(s)ds=u, e-^'^ ds = (f{u)du.
Jo
Soit a la valeur de u qui répond à 5 = a; on a
11 suffit d'intégrer la valeur de dt tirée de (1) pour avoir
changeons de variables en posant u= az, nous aurons rp /* ^OLo((xz)dz __ /* ^(xz^(az)dz
Pour que T ne dépende pas de a, il faut que y/az ^(az) soit une constante; autrement elle serait croissante ou décroissante tant que la variable olz serait comprise entre zéro et une valeur finie h. Supposons la croissante et donnons à a deux valeurs ai, a2 inférieures à A, ai étant < 0L2 - pour a = ai , tous les éléments de Fintégrale sont moindres que les éléments correspondants pour a = a2 et l'on aurait pour T deux valeurs inégales : il faut donc avoir, X dési-
LDt une constante,
v/âicp(a^)=X = cp(a)v/M, «p(a)= -—\
yu
a alors
^ Ir/z . . T , . T
T= / . = Att, a = -, <p(a) =
Vlais la seconde des équations (2) nous donne
T du
e-** ds = (^{u)du =
Tt y/a égrant, en observant que u s'annule avec 5, Il vient
TT^ , . . éf M t'
lis, par la définition même de u, -r- n'est autre que ^[8)6"^^' : on a donc
ur l'expression de l'attraction cherchée. Il est facile de chercher directement le mouvement que cette attraction prime à un point M, eu égard à la résistance du milieu : vérifie que M arrive à l'origine après le temps T, et 'il s'arrête, au temps 2T, pour une valeur de s telle 'oQ ait
Ue valeur est comprise entre o et — a ; le mobile serait suite rappelé vers le point O, mais son mouvement ne rait plus tautochrone.
Lorsqu'on néglige la résistance de l'air en faisant /r = o,
l'expression de /{s) se réduit à piT-jj résultat importante
connu. Quant à la forme de 'f(w), elle pourrait êtr donnée par la solution d'un problème plus général, qu l'on doit à Abel.
133. Problème cfAbeL Application, — Il s'agit d déterminer une fonction cp(w) telle qu'on ait, pour tout valeur de a comprise entre o et A,
F étant une fonction donnée. Pour plus de clarté dans qui suit, je remplace a par x, ii parj^ dans l'équation p -
cédente, puis je multiplie les deux membres par
C étant un nombre compris entre o et A, et j'intègre ^ puis xr=o jusqu'à x= c : on doit avoir
Le premier membre représente la masse d'une ai triangulaire située dans le plan des xy entre l'axe des et les droites définies par les équations
en supposant la densité au point (x^ y) égale à
Mais on peut mtégrer d'abord par rapport à x qui, pc^ une valeur donnée de y, varie depuis y jusqu'à c; aura
r"" f \^ r"" ^^ r''¥{x)dx
On trouve aisément que l'intégrale relative à x dans le p>:remier membre est égale au : le second membre est une nction connue de c,
^ Ton doit avoir
j ^{y)dy= -^Kc),
d'où, en différentiant par rapport à c,
TZ
ce qui fait connaître la forme de la fonction cherchée. Si
^{x) se réduit à une constante H, A(c) est égal à 2Hy/c, et l'on retrouve un résultat obtenu précédemment.
La solution que nous venons d'obtenir pour le problème d'Abel permet de déterminer la loi de l'attraction que l'origine O doit exercer sur un point partant du repos pour 1 amener en O au bout d'un temps T qui soit une fonction donnée, ^(V), de la vitesse V à l'arrivée, quelle que soit ^a distance initiale a, mais l'attraction étant supposée une *onctiony(5) de la distance, sans qu^il y ait résistance de milieu. La masse du mobile étant i, l'on a
p'= / —2/{s)dx=.l if{s)ds— j if{s)ds,
\i= f %f{s)ds.
Si donc nous posons <'^) f 2/{s)ds=:u, f i/{s)ds = OL, g(^)==F{a), ^^) ds = f^{u)du,
nous devons avoir
et nous savons qu'il faut prendre pour cela
TZ
la fonction if étant définie par l'équation (i). Cela posé, Féquation (3) donne
car u et \{u) s'annulent en même temps que s, La première des équations (2) donne aussi
si donc on peut résoudre l'équation (5) par rapport à m, on aura -p- en fonction de s et f[s) sera connu ; autrement,
il faudrait éliminer «, -r- et '^ entre les équations (3), (4)>
(5) et (6).
Soit par exemple rf (V)= XV^ : on aura
Xa:^ — = - uX w2^ s = -\ M*,
"-\/S' /<')=7fc- ^-v/i-
Mouyement curviligne.
134. Quand un point M se meut librement sous l'action d'une force F, à laquelle on peut toujours réduire un système de forces agissant sur M, F est dirigée suivant l'accélération totale du mouvement et égale au produit de cette accélération par la masse m du mobile. A chaque décom-
SUR LÀ MÉCANIQUE aA.TIONNELLE. 2 25
position de l'accélération correspond une décomposition
semblable de la force, et Ton peut, de cette proposition,
tirer les éléments suffisants pour déterminer le mouvement
produit par une force donnée : les équations qui résolvent
la. question de la manière la plus générale sont dues à
aclaurin, et leur forme est bien connue :
levirs intégrales renferment six arbitraires qu'on peut dé-
t:'erminer sans ambiguïté lorsqu'on connaît les valeurs ini- ^ - 1 j dx dy dz
On peut déduire des équations (i), lorsque les axes sont ^rectangulaires, l'équation des forces vives
d\ mv^ =:Xdx -^Y dy -i-Z dz^
*ïiais cette équation ne peut donner une intégrale du protl^me, celle des forces vives, que si le second membre est ^tàe différentielle exacte.
Quand la force F rencontre constamment une droite fixe, on peut prendre cette droite pour axe des z, par exemple, et conclure des équations de Maclaurin que
* expression ^Sr — y'TTt ^ ^^^ valeur constante; or cette
^^ pression représente le produit de 2 coséc YOX par la vitesse aréolaire, autour de l'origine, de la projection, faite Pa.rallèlement à OZ, du mobile sur le plan des xy : on ob- ^^ent de la sorte une intégrale des aires, qui sera toujours utilement employée.
135. Des forces analytiques : exemple. — Il y a un cas Remarquable dans lequel le mouvement d'un point peut ^^ déterminer complètement au moyen de deux quadratures : c'est le cas où le mobile se meut dans un plan, celui Db S.-G. — Rec. i5
des xy, sous l'action d'une de ces forces que M. Lecorn a étudiées sous le nom de forces analytiques dans 1 Journal de r École Polytechnique pour i885. Pour dt finir une de ces forces, considérons une fonction un:
forme /(w) de la variable u = x H- J'y' — ^ > ^^ peut écrii
P et Q étant des fonctions réelles de :r et y caractérisée par les identités
dx ^ dy dy ^ ôx'
cela posé, une force F, dont les composantes parallèles au trois axes rectangulaires OX, OY, OZ sont P, Q, zérest une force analytique \ le module et l'argument de f{ représentent l'intensité de F et son angle avec OX. ] mouvement qu'une masse m prend dans le plan des ^ sous l'action de F est déterminé par les équations
dt^ ' dV^ ^'
ajoutons,. après avoir multiplié la seconde par y/ — i ; il vieil
On aura une intégrale première en multipliant les deu: membres par idu et intégrant :
du"^ (duy r" ., . ,
(,) m-^--=m{^^j^^2j Aujdu,
Cette équation fait connaître -7; et, par conséquent, -j- c
■j-9 ou les deux composantes de la vitesse; on en lire ei
suite pour dt une valeur de la forme f (w) duj et une noi velle intégration donne la relation finie entre w et ^ : 0
en déduira pour chaque instant la valeur de u dont la partie réelle est égale à x, la partie imaginaire à ^^ : le problème est alors résolu.
Soit la fonction w : la force qui en dérive a pour
composantes
cihercbons le mouvement qu'elle imprimera, dans le plan des xy^ à un point de masse i, en supposant qu'on ait,
j>oi-ir ^ = 0,
dx dy ^
dt
dt
^ du ^ I — 1/ = 3a, -^ = -ai/ — 1.
dt 2
L'équation (2) devient
du'^ ga* r"(^u'^ \ . u^
-.-- = — ~ h / ( 2u) du= a* ;
on en déduit
dt^
du
u * du
zj ' t -\- a = arc cos2 2 2
^^ posant
a = arccos-— : clou cosa = --;, sina = ,, «
^^ l'on prend les cosinus des deux membres de Féquation intégrale, on aura
a 1 / - = cos (-^-4-a) = -— (2 cos -t — \/ — i sin - n , VM \a./t/3\ ^ a/
