cos^ 06 a sin
(5-t-3cos^;2 -^ (5-h3cos^>^ Si l'on prend des coordonnées polaires, on trouve
24 a A 4sin^ - 5 — ScosO rz= -, tangO=- -, r = Sa ;
^ -h 3 cos t ^ ^ -\- 5 cos t 1
la trajectoire est une conclioïde de cercle.
136. Mouvement de deux points qui s'attirent propo:^ tionnellement à leur distance et à leurs masses, et do^ Vun est libre. Vautre obligé de rester sur une droC fixe. Cas où la masse du point libre est triple de la ma^, du second, et oii la droite fixe exerce un frottement, ^, vitesses initiales des deux points étant nulles, (Paris, 1 86 55
Prenons la droite fixe OA pour axe des x avec deux auLr^ axes rectangulaires; soient [x la masse du point assujetti rester sur OA, m celle du point libre, s l'abscisse du po/im [JL, x^ y, z les coordonnées de m, c^ le coefficient d'attra tion pour deux unités de masse à l'unité de distance. L équations du mouvement s'écrivent immédiatement, eJ divisant par les masses,
Les deux dernières sont des équations linéaires du se cond ordre aune seule inconnue et à coefficients constantsleurs intégrales ont une forme connue
7 = A cosc^v^-+- A'sincf/]!, ^= Bcosc^y^-h B'sinc^y^. On pourrait les écrire sous la forme équivalente
jK = acoscv/fî(f — a;, z = bcosc\/^{t — P).
II en résulte que m se meut sur un cylindre elliptique dont l'axe est l'axe des x^ la projection de son rayon vecteur sur le plan yz décrivant des aires proportionnelles au temps;
là durée d'une révolution est
Quant aux deux premières équations (i), je les remplace pa.r les deux combinaisons suivantes :
s intégrales ont encore une forme connue
^s H- nxx = G H- G'^, X — * = H cos et yjm -h {jl -i- H' sin et yjm -h (jl.
première exprime que la projection du centre de gravité de [X et de m sur OX se meut uniformément ; les valeurs de 5 et ic prouvent que ces points oscillent de part et
d'autre du centre de gravité dans un temps — '
c \ m -f- ijL
Dans le cas particulier proposé, je prends pour origine la position initiale O de [jl, et pour plan des xy celui qui passe par la position initiale M de m ; je fais jx = i , m = 3. Le point m ne sort pas du plan des xy. Quant à [jl, il éprouve de la part de m une attraction dont la composante suivant C>X est Zc^i^x — 5), et la composante normale ic-y; celleci est détruite par la rigidité de OX, mais elle donne lieu ^ une force de frottement en sens contraire de la vitesse de [JL et égale à la valeur absolue de ic^/y. Soient a et 6 l^s coordonnées initiales de m, supposées positives j les équations différentielles du mouvement seront d'abord
23o RECUEIL d'exercices
L'équation (/\) admet pour intégrale
^ = A cos c^ -+- B sin et ;
mais comme, pour l = o, on ay = 6, -^ = o, il vient
A = 6, B = o et y = b cos et.
Dans l'équation (2) je remplace y par cette valeur; pu^ en l'ajoutant à l'équation (3) multipliée par 3 ou ea. retranchant de la même équation, je forme les combi sons suivantes :
^-f-3-^=-36/c'cosc*,
— ^-^-z — - = — i c^(x — $)-{' 3c^fbcosct.
Intégrons, en tenant compte de ce que, pour ^ = o, dx ds dt '^ ~d~t
d'où
5-1- 3a: = 36/coscf H-3(a — 6/), X — s =K^ b/cosct -f-(a — bf) cos2ct,
s = y {a— b/)(l — C0S2Ct)j
jr= -Aa — bf)-\-bfcosct-^ 7(« — bf)cosict^ 4 4
Ainsi y diminue d'abord jusqu'à devenir nul pour t =
et, dans la même période, s augmente de zéro à - (a — b^^r
Mais il faut porter notre attention sur l'équation (2), ^^
entre la force de frottement; elle est écrite dans l'hyfp^^'
d'' thèse où ^ et -1^ sont positifs. Quand l'une des deux qu-*^^^^'
tités changera de signe, il faudra, dans cette équation, ch^^'^ ger le signe de 3/c-^k; il en résulterait de la difficulté pc^ ^ suivre les points dans la suite des temps; ici les donn^^
sont tellement choisies que ^ et -i- changent de signe en
même temps, en sorte que l'équation (2) sert encore pour
le retour de [x vers le point O; t croissant de — à -, 5 re-
vient à zéro, y va de zéro à — 6, et ^ arrive à la valeur
finale a — 2 1/*; alors m et [ji sont immobiles, et nous nous
retrouvons dans les conditions initiales, sauf le changement
de a en a — 26/. L'équation de la trajectoire du point m
s'obtient en éliminant t entre les valeurs de a: et dey :
C'est une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des x, et le sommet a pour coordonnées
, a* — 2abf , b^f
*e paramètre est uf'
Une condition indispensable pour que les choses se passent comme il vient d'être dit, c'est qu'au départ la composante suivant OX de l'attraction subie par le point [jl soit plus grande que la composante normale multipliée par /; eela revient à dire que a — hf soit >« o, sinon [x ne bouge- ^^Upas, et/w semou^Tait sur la droite OM. Quand m sera ^^ivé à l'extrémité de l'arc que nous lui avons vu parcourir. Si a — 2 hf — bfona — Zbf est encore > o, [Ji se remettra
^^ marche pour une excursion d'amplitude -(a — 3 6/),
^^ Urt parcourra un arc de parabole dont l'extrémité finale ^Ura pour coordonnées a — 4 6/ et 6 : [jl fera i excursions, * ^tant le plus petit nombre pour lequel
a — {ii-\-\)bf<^ 0; ^^suite [Jl sera immobile, et m oscillera en ligne droite de
.Aài,
part et d'autre de O, sa distance r étant réglée par la formule
r = To cos et.
On aura un problème facile en prenant notre cas particulier avec/= o.
137. Mouvement plan d'un point M de masse i attiré en raison directe de la distance par un centre d'action G qui parcourt un cercle avec une vitesse angulaire constante (o ; cas où l'attraction est égale à la distance multipliée par ci>2, et oii M est primitivement en repos au centre du cercle.
On écrit de suite les équations du mouvement, où les lettres ont un sens bien clair,
Les intégrales donnent la position du mobile à chaque instant :
x= —~ r coswf -h A cos JJL/-H B sinu^
y= —f r sinw^-i- G cosuL^ -}- D sinu.^.
•^ (JL* — 0)2 ^ '
On peut se faire une idée nette du mouvement de M en imaginant un point P dont les coordonnées seraient
Xi = -5 ; COS O) /, ri = -^ sin to t :
* {Jl2 — 0)2 ' •^ {J.2 — 0)2 '
ce point parcourt un cercle concentrique à l'origine et de
[Jl2— o
rapport à des axes PÇ, Pyj, les coordonnées de M sont
(2) J =3? — 3?! = Acosfxf-HBsin jx^, r, = Gcos(x/-HDsin[Ji^. L'équation de la trajectoire relative est celle d'une ellipse
(3) (At) - G0« + (Bt) - D0»= (AD - BG)2,
la vitesse aréolaire relative autour de P restant constante,
ravon R'= =h -^ -y avec une vitesse angulaire w. Par
" [Jl2 0)2 ^
tsindis que Tellipse a un mouvement de IraDsIation tel cji-ie son centre décrit uniformément un cercle de rayon R'. L'ellipse (3) devient un cercle si
AC-+-BD = o, A»-4-B«= Cî-hDî, d'où -^=— 5=^,.
Pour interpréter ces relations, je désigne par r la grandeur initiale de PM, par 0 son angle avec OX, par w la vitesse relative initiale de M, par cp l'angle de cette vitesse avec OX^ les équations (2) montrent que
A = rcos6, G = rsin6, B = — coso, D=— sin«p;
donc
rcosQ = — smo, r sin u = ir: — cos o,
*a vitesse relative initiale est perpendiculaire à la droite PoMq et égale à cette droite multipliée par [x. M se meut
comme s'il était lié à un cercle de rayon > roulant extern
^eurement ou intérieurement (selon le signe admis dans
les dernières relations) sur un cercle de rayon R'f i zp - j ]
L'épicycloïde décrite par M sera allongée ou raccourcie
selon que r^ • On ne pourra, toutefois, avoir le mouve-
'^Cût donné par le roulement d'un cercle dans un autre de ^^yon double; car il faudrait to = [x, et, dans ce cas, les intégrales (i) ont une forme illusoire; c'est le cas particulier proposé. Pour l'étudier, j'écrirai les équations (i) sous la forme équivalente
a7=Li*R T-^— «^ A cosLiLf -+- BsinfJi^,
y=LiLîR — S— +- G cosfJL/H- D sinjJL^.
-* ^ fJL* 0)*
Que p. tende vers co, il est aisé de trouver la limite de c^» expressions :
x= - Rw/ sinojf -4- A' cosoj^H- B sina)^,
V = Ro)/ coswf -h G costo^-h D' sino)^.
Le mouvement est celui d'un point se déplaçant sur »__ ellipse analogue à l'ellipse (3), mais dont le centre dé *^ une spirale d'Archimède avec une vitesse angulaire c -^ stante (o. Si au début x^ y et leurs dérivées sont nulles ^ peut déterminer les constantes, et il vient
Le point M peut être regardé comme oscillant sur ixi droite de longueur R, qui reste parallèle à Taxe des j tandis que son milieu décrit une spirale d'Archimède doi
l'équation serait r = — (Oh — ]• La courbe que décrit
présente à l'origine un rebroussement où la tangente ^ l'axe des x^ puis le rayon vecteur grandit constammen» car son carré est
-R'(a)*/* — 20)^ sino)^ cosco^ H- sin'io^),
dont la dérivée est R^to^^sin^wf, toujours positive.
Le mobile s'éloigne indéfiniment du cercle R, bien la force qui tend à l'en rapprocher devienne infi exemple frappant des conséquences invraisemblable peut avoir une relation analytique entre les donnée problème et des profondes altérations qu'elle peut a[ au mouvement tel qu'il se produit dans le cas gêné
138. Un corps pesant est soumis à r action d'ii variable, mais toujours tangentielle : détermina
de celte force de manière que la vitesse soit constante ; trctjectoire du mobile.
Ce problème serait applicable, dans une certaine mesure, à une fusée lancée dans l'air.
Prenons pour axes des x et des^ Thorizontale et la verticale du point de départ, et désignons par a Tangle de la vitesse avec l'horizon, par a la grandeur constante de cette vitesse et par F la force inconnue. La trajectoire est contenue dans le plan vertical qui passe par la vitesse initiale. Projetons les forces qui sollicitent le mobile sur la tangente et la normale à sa trajectoire; on doit avoir
m -j- = F — mg sin a = o, m — = mg cos a ; clt p
la première fait connaître F, et la seconde donne, cp étant la valeur initiale de a,
5* ds cos a. dx a> , . gx
6 ^ doL d% g ' a*
ensuite
j / \ , cos ( 9 — --- )
dy I gx\ a^ - \^ a*/
dx ^y a^ / '^ g coscp
^^ mobile s'élève d'abord, atteint une hauteur maximum "^Lséccp pour a; = — -^ puis redescend indéfiniment et
^^vîent asymptote à la droite :r= — (cpH — j; la courbe
^st symétrique par rapport à la verticale du sommet. La position du mobile à chaque instant se déduira de la relation
/:: cp g^\
^ / ^^\ a, ^^"^U~"^ "^^^ wT =acosa= acosj C5 — ^ > t=-L ^-^— ^ — '-»
tang (--2) La trajectoire, limitée par l'asymptote qu'on a trouvée.
ne saurait passer par un point dont l'abscisse surpass
- — ; mais on peut faire en sorte qu'elle passe par un poir
quelconque dont l'abscisse est comprise entre zéro etcett limite, car son équation donne sans difficulté l'angle Cj quand on connaît a:, jK et a.
139. Un point M, de masse i, animé d^iin moui^emei initial connu, est attiré vers l'origine O d'axes cooi
donnés rectangulaires par une force F égale à ^ ou
— ; il est y en outre, sollicité par une force égale au doub
de la composante de Y suivant OZ, mais dirigée en sei contraire. Chercher comment varie la fonction
des coordonnées de M; ramener la détermination di mous^ement de M. à l'intégration d'une équation du premier ordre; indiquer enfin les lois de ce mouvement er supposant que, pour t=OjOn ait x = aj y = o, z = c,e
que la vitesse i^o égale à — soit parallèle à OY . (Rennes
1884.) Les équations du mouvement sont
^'^^ dt^^'~~r^' ■572'~""7*' 'dt^~T^'
On ne peut déduire de ces équations l'intégrale des force vives; mais, si on les ajoute après Jes avoir multipliée respectivement par 2 dx^ idy el — 2 dz^ on peut intégre l'équation résultante, et il vient
dx^ dy^ dz^ \ Gela posé, en différentiant deux fois l'équation (i), c
trouve
d^p __ d^x d^y d'^z dx'^ dy^ dz^
li^ "^'di^ '^^~di^ ^^lî^ "^5^ ~^ 'di^^'d^'
En ayant égard aux équations (2) et (3), on voit que le second membre se réduit à la constante C, et Ton en conclut une relation de la forme
D'autre part, on voit que la projection de M sur OXY a une vitesse aréolaire constante : substituant à ^ et j^ les coordonnées polaires u et A, on a
Ayant égard à cette relation, un calcul bien connu donne les transformées des équations (3) et (4) ^
du^ 112^32 X ^ , 9 A r>. n.r,
dt^ m2 ^^2 a2 -T- ^2 '
L'élimination de z entre ces équations donne alors
du^ r J-^-^v ^ X H
^^ di^ a2 — A — 2Bf — G^2 .22^2__A — '2B^— G^2"^ '^ ^^^
si Ton pouvait intégrer cette équation, on connaîtrait «^ en fonction du temps; on en déduirait facilement ;5 et A par une quadrature.
Dans le cas particulier proposé, Téquation (3) montre
que G est nul ; -^ doit s'annuler pour / = o, donc B = o ; on a enfin
A = a2— c2, H = aPo= -^
L'équation (6) se simplifie beaucoup, et l'on trouve, en
a38 RECUEIL d'exercices
définitive, les trois équations suivantes entre les coor- données du mobile et le temps :
, , aduJiu'^ — «2 | cî
La trajectoire est une courbe à branches infinies situéesur un hyperboloïde de révolution : sa projection sur OXY a deux asymptotes. Mais, si l'on calcule le carré de la vitesse, u'^-\- w^tj^'^H-^^, on trouve que la vitesse est con-
stante; -t-^» -—^ > -^ sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale principale à la trajectoire, et les équations (2) expriment que ces cosinus sont les mêmes que les cosinus directeurs de la normale à l'hyperboloïde ; la trajectoire est une ligne géodésique de cette surface. Si l'on avait a = c^ la trajectoire serait une ligne géodésique d'un cône droit, c'est-à-dire la transformée d'une ligne droite.
140. Mous^ement d'un point pesant sur un plan incline dépoli.
Le poids de m se décompose à chaque instant en une force mg sini, dirigée suivant la ligne de plus grande pente, et une force normale au plan, qui donne lieu à une force de frottement mfgcosi, dirigée en sens contraire de la vitesse du point. Ces forces ont des valeurs constantes, que je dé-
signe par my et mn^; n est égal à -7=^ — :; elle est donc^i,
selon que l'angle de frottement est supérieur ou inférieur à l'angle du plan avec l'horizon. Nous avons le cas particulier du mouvement d'un projectile dans un milieu résistant, où l'on supposerait la résistance constante.
Prenons pour axe des x l'horizontale du point de départ,
pour axe des y la ligne de plus grande pente, en remontant ;
désignons par 0 l'angle de la vitesse avec l'axe des^ et par
to la valeur initiale de O5 la vitesse v a d'abord la valeur a.
Projetons les forces qui sollicitent m sur la tangente et la
normale, et divisons par m :
i) ^ = — TCosO — ny, —=^5106;
ds V dt :,
Y sinO Remplaçons dt par sa valeur dans (i), nous en déduirons
V smO smO \tang^O /
L'équation (a) montre que 8 va sans cesse en augmentant, sans que v s'annule, jusqu'à 6=7:; l'équation (i)
prouve que, si w est < -> v diminue d'abord jusqu'à ce
quonaitcos8 = — n. Nous trouvons tout de suite une divi-
sion essentielle dans la discussion du problème, selon que '^cst^i. Dans le premier cas, v ne cesse de diminuer, et 1 équation (3) nous montre que, pour 6 = tc, p = o ; le mobile s'arrête donc en un certain point et il y reste immobile, car l'hypothèse est précisément que le frottement est plus grand que la force accélératrice. Au contraire, pour/i<i, ^ passe par un minimum et augmente. ensuite indéfiniment quand 8 s'approche de ir. D'ailleurs, la formule (2) nous donne la relation, en ire 8 et i.
, a sînw tang'*Y**^
Y sin2 6tang«|0
Pour abréger l'écriture et avoir une intégrale plus simple,
je pose
- sino) tang'^-w = 2C, • tang-0 = a,
et je désigne par e la valeur tang - w. Nous aurons dt = c — — -T- aw,
Selon que /i sera ^ i , quand 9 sera égal à tt ou ?/ = oo, t prendra une valeur finie ou croîtra indéfiniment; le temps au bout duquel le mobile s'arrête, dans le premier cas, est
Nous calculerons dx et dy par les relations
Y * 2 sin2Ôtang2«-J-6 ' w^w+a »
dy=vdtcos^=^^c^--^^^du,
d'où
^ ^ ^^ 2/n-i \e2«-«-i w2/n-iy "^ 2/2 — I \e2«-i m2«-i/' (6) v^-I^i-l^-J L\ T^/J L V
^ gardera une valeur finie tant que n sera ^ -> ^ ne restera fini que si n >> i*, donc, quand n est >> i, le mobile s'arrête en un point dont les coordonnées sont données par les formules (5) et (6), où l'on fait u infini; quand n est
compris entre i et -> la trajectoire a une asymptote verticale à une distance donnée par l'équation (5); enfin, si
/i<-> la trajectoire présente une branche parabolique. On
peut supposer que la courbe définie par les équations (5) et (6) soit prolongée à gauche de OY : on trouve que, pour
u= o, X et y sont infinis, — ayant une limite infinie; il y
a donc toujours de ce côté une branche parabolique à axe Tertical. Les résultats obtenus pour le cas où la résistance du milieu est ki^'^ sont notablement modifiés.
Dans le cas de /i = i, les équations (3), (4), (5), (6) deviennent
-f-cL — > c=— sin*-u),
-•'élimination de u entre x et y est irréalisable; mais on 'en voit pas moins clairement la forme de la trajectoire, ï*sinche hyperbolique à droite, branche parabolique à
sixiche. Pour 9 = tt, la limite de v est a sin^ - w.
"141. Mouvement d'un point matériel M attiré vers un
^^^tre fixe O par une force — —y r étant la distance OM,
^AJie constante; la distance initiale est a, la t>itesse ini-
^^^ le— fait l'angle aigu a ai^ec la droite MO; enfin le
^^tre O est entouré d'un milieu non homogène exerçant
r »-^ ^ . ^ > 3/n cosa « ^r^e résistance mesurée par ç^.
Soit [X l'angle de la tangente avec le rayon vecteur ; on aura s^^ rd^ , dr ds dr
dr cos u. dii -\- dix . dr ,
^ï*ojeions les forces sur la tangente et la normale à la tra- De s.-G. — Jtec, i6
jectoire, qui esl évidemment plane, et divisons par m,
dv dlv^ r^ 3 v^ cos a v* r^ ,
^ ' dt ds c^ ^ r p c^ "^
La seconde donne, en remplaçant p par sa valeur,
cî(i-hrcotji^^
La première équation (i) peut s'écrire
d.v^ ir^ 6p* cos a
dr c^ r cos fz
On y remplacera ç^ par sa valeur tirée de l'équation (2), et
-^ — par la valeur obtenue en difTérentiant cette formule ; il
vient, après réduction,
d^\x 4 -r- smiix d\x^ 6 cos a -i- 7 cos (x c?fji dr^ siii2 jji dr'^ r cos [i dr
ôsiniji , .
= -7 f— (cos a -h cos u).
r^cos^jji^ ^^
On ne peut intégrer cette équation ; mais, comme on aperçoit l'intégrale particulière cos [jl = — cos a, [jl = ir — a, on devra essayer si elle peut vérifier les équations (i) du problème, en tenant compte des conditions initiales. Or les équations (i), ou leurs transformées (2) et (3), donnent, par p. =: 7î — a,
la seconde est conséquence de la première, et elles sont compatibles; [JL étant constant, la trajectoire est une spiral logarithmique, et la loi du mouvement est donnée par 1 formule
r* dr i i ^cosa
c a^cosa r a c
Ainsi le mouvement donné par l'intégrale particnlière satisfait à toutes les conditions du problème j il aura donc j'éellement lieu.
Forces centrales.
<5uand un point m se meut sous l'action d'une force F
c|i ïî passe toujours par un centre fixe O, la trajectoire
est plane, la vitesse aréolaire autour de O garde une va-
loxir constante G ou zh c^. On a, avec des coordonnées
poXaires, O étant le pôle,
xsque la valeur de F est donnée, il suffit de l'égaler à
^ ^>tpression précédente, qui est due à Binet, pour former
^^^e équation du second ordre de la trajectoire; si F est
Jurimée en fonction de r, on peut calculer son travail,
2/Frfr, et le théorème des forces vives fait connaître
^ > en l'égalant à la valeur rappelée ci-dessus, on a une
^ viation du premier ordre pour la trajectoire.
iD'une manière générale, G est égal à zt r^v^ sin(/'o, Vq). l-iorsque la trajectoire passe au pôle, le mobile y arrive ^c une vitesse infinie ; on ne peut dire ce qu'il deviendra ^ Suite à moins de faire une convention absolument arbi- ^ire.
XUne fois connue la relation qui lie r et 9, on peut inté- Sr r^ d^ qui est égal à G rf/, et avoir ainsi la loi du mou- "^^XTicient.
^42. Mouvement d'un point attiré vers l'origine par ^^^ force inversement proportionnelle au cube de la dis-
iLa formule de Binet donne immédiatement l'équation
différentielle de la trajectoire : en divisant par —^ > il vient
Suivant que le coefficient de - a une valeur positive ou négative, rb /i^, l'intégrale prend la forme
- = Acos/i(0 — a) ou - = A e'*^ -f- B e-'*^ : r r '
les constantes se déduisent aisément des conditions initiales, et il est facile de discuter la trajectoire, qui peut être une spirale logarithmique.
Lorsque X* — c* est nul, l'intégrale de l'équation (1) devient
- = Ae-^B;
elle représente une spirale hyperbolique ou un cercle. Je me bornerai à chercher la loi du mouvement dans le cas de la spirale; on a
(A0-T-B)2' (AeM-B)(AÔo-^B)
143. Mouvement d 'un point M sollicité par deux forces émanant d'un centre d'action O, l'une, attractive, proportionnelle à la distance, l'autre, répulsive, en raiso inverse du cube de la distance. Cas où, à V instant initial, la vitesse est perpendiculaire à la droite qui passe en O et les deux forces se font équilibre. (Paris, 1869.)
Le mouvement a lieu dans le plan qui passe par O par la vitesse initiale; en prenant O pour pôle, employa la formule de Binet et supposant w = i , nous avons
d\v^ , X*^ dr ^ r^
Multipliant par 2 rfr, on en déduit l'intégrale des forces
vives
Désignons par e l'angle de Fq et de Vo'^ on a
c* = Fq Çq sin £ ; si l'on divise l'équation précédente par r^, on peut l'écrire
I dr^
PSr„'sinîe^;^=-(X*H-rJi>5sinU)l
(pî-HîxV5-+-^)^-f.î.
Le second membre est positif po.ur r ==: r^, mais il devient négatif quand r est très grand ou très petit; r doit donc ster entre deux limites a et è, et, quand elle les atteint, est nul; la vitesse est perpendiculaire au rayon vec- ^r; les valeurs correspondantes A et â: de cette vitesse sont telles que ah = bk = c^=^ ro^o sine.
Si l'on prenait pour origine des temps l'époque où le rsi^^on vecteur atteint un de ces maxima ou un de ces min-îma, l'équation des forces vives garderait la forme (i), où
ï^'on ferait ro = a^ Vq= h^ e= ->
Posons, pour simplifier l'écriture, V -J- a^h'^ =:n^a^ : a* A' dr^ n'* a* ix' a» -h n^
^^Us prendrons -, pour inconnue, et, en admettant qu'elle
commence par décroître, c'est-à-dire que a soit un minimum, nous aurons
in ,^ r'
En supposant 0 = 0 pour r = a, on aura, sans constante d'intégration,
d'où
2tn6 1
—f— = arc cos -— h 71*
I I ,^0 a* . -/lO
— : = --cos*-i — h '- sin^-r-.
Cette courbe est comprise entre deux cercles concen-
triques au pôle et ayant pour rayons a et -; l'angle d'un
rayon vecteur minimum avec le maximum qui suit est
> moindre que-; la courbe est fermée et algébrique si-
est commensurable. Il est aisé de voir que, en appliquan le plan de la figure sur un cône droit dont le demi-angle ain
sommet a pour sinus - » le pôle étant au sommet du cône
la transformée de la trajectoire se projettera sur un pla
perpendiculaire à l'axe du cône suivant une ellipse dont 1
d^ ah ^ h emi-axes sont — et-«
La trajectoire se réduirait à un cercle si le maximum i le minimum de r étaient égaux, a^=n ou [x^a* — X*=a-A- Il faudrait que la vitesse initiale fût perpendiculaire ^^^^^u rayon vecteur et moyenne proportionnelle entre ce rayi ■ — >n et l'accélération du mobile à cette époque ; cette conditi(^^ ^, dans le cas d'une force centrale, suffit toujours pour q ^^«e le mouvement soit circulaire et uniforme.
La trajectoire présente un point d'inflexion lorsque ^^
valeur -= de r pour laquelle raccélération serait nulle est
comprise entre les limites a et - entre lesquelles varie la
distance du mobile au pôle.
La loi du mouvement sur la trajectoire est donnée par le principe des aires :
dt = r— =
H> -^ tang* -j^ h cos^ ^ L'intégrale devient, en faisant t = o pour 9 = o,
Le temps employé pour décrire l'arc compris entre un
maximum et un minimum de r est — et ne dépend point
de X.
Dans le cas particulier proposé, V est égal à ^L^a* ; on prendra la forme (2) pour l'intégrale des forces vives, a représentant le rayon vecteur initial, h la vitesse initiale; n^ sera égal à ^fi^a^-\- h^j mais la trajectoire sera toujours représentée par l'équation (3); a est le minimum de r, car
l'autre limite - est ^ a. Pour r = a, le rayon de courbure
de la trajectoire est infini sans qu'il y ait inflexion; seulement la tangente a un contact du troisième ordre.
' 14-4. Un mobile est attiré vers un centre fixe avec une intensité fonction de la distance au centre d'action; trouver quelle doit être la forme la plus générale de cette fonction pour que la trajectoire soit toujours une courbe
fermée, quelle que soit la direction de la vitesse initiale^ à la seule condition que sa grandeur ne dépasse pas une certaine limite.
Soit f{r) l'attraction du centre fixe qu^on prend pour pôle; le mouvement s'efiectue dans un plan, et l'équation des forces vives, avec la forme qui convient aux forces centrales, donne
Posons - = w, fif{r) dr=i — ?(")? ^t nous aurons
/A ff^ ^S ,,, ■ cp(^)-?(ao)
Si la trajectoire est une courbe fermée, u devra rester entre certaines limites finies ; supposons qu'il commence par décroître, il diminuera jusqu'à ce qu'il atteigne une valeur a pour laquelle le second membre de (i) changerait de signe; il faudra que u aille ensuite en croissant jusqu'à une valeur b pour laquelle (i) changerait encore de signe; puis il reviendra à a, et ainsi de suite. Dans tous les cas, la trajectoire sera formée d'arcs superposables et comprise^
entre deux cercles de rayons - et t- Les changements d<
signe du second membre de (i) ne se feront qu'en passant
par zéro et jamais par l'infini; car alors, -3^ étant infini, \\
courbe serait tangente au rayon vecteur, et le principe d^ aires ne serait plus vérifié. Prenons pour Wq 'si valeur mi^
nimum a : -j est égal à a^, et l'équation (i) devient
Poixr u = by -jK est nul ; donc
c- = ,(6)-y(a) ' 5Ô^ = (*'- «'^ Sér-^S^) ~ ^" " ^ ^^-
-L'angle de deux rayons vecteurs maximum et minimum <ju.i se suivent est
(a) Oi= r fl?Mv/?(6) — cp(a)
j(èî a2)[cp(a) - o(a)J - (aï- a«)['f (6) - cp(a)]|-2
La trajectoire est formée d'une succession d'arcs égaux dont chacun est vu du pôle sous l'angle 6< ; pour qu'elle soit fermée, il faut et il suffit que 6| soit commensurable avec 7t; sa valeur (2) doit être indépendante de a et de 6 : autrement, en faisant varier ces paramètres d'une manière Continue et suivant une loi quelconque, 6| varierait, en général, d'une manière continue et ne resterait pas com- '^ensurable avec Tt. Faisons, dans l'intégrale (2),
a==c — hy b = c -^^ h, u = c-h hz; *^oiis aurons
hdz^o(c -h A) — cp(c — h)
— 1 |4cA[<p(c4-A;î) — cp(c — A)] — (w2 — a2)[ç(c-4-A) — ©rc — A)]J2
t^éveloppons o(c — A), ... par la formule de Taylor et ^'ivons ç',ç'', ... au lieu de <p'(c), <f"{c), ... ; il viendra, ^*^ l'éduisant,
Jll
l^IT2{(p'— cep'— |cA-5'/'-+- îVA2['>î<p"'— C(H-^2)Ç'^] H-...J»
^ ^ ) Si (p (u) = Xu' + (X, la méthode semble en défaut; maïs c'est le cas ^^ trajectoire peut être une spirale. L'attraction est de la forme -
25o RECUEIL d'exercices
En développant les radicaux par la formule du binôm réduisant et ordonnant le résultat par rapport à A, on
dz pour le coefficient de ^
cd' l j chzo
;p'— cep" ( 6 cp'— cep"
Comme l'on a, d'ailleurs,
r^ d^___ r^ zdz r^ z^dz ___ TT
