X.i/i^^^^*""''' J__y,~:^~''' J yri:-^2"â
on aura enfin
Pour que 6| ne varie pas avec a et 6, ni, par suite, a\r ^^ c et A, il faut que le terme indépendant de h dans s ^^^ expression se réduise à une constante X, et que le coeffi" cient de h^ soit nul : la première condition donne
(3) ccp''(c) = ncp'(c), (n=^),
et la seconde
^4^ cp'(cp'-cç') -^(cp'-.cç')"*-^'
il faut, de plus, que X soît commensurable. Or, en vc^^^' grant l'équation (3) par rapport à c, on trouve
ç'(c) = Ac'»,
A désignant une constante : alors l'équation (4) devie:^»^
n ne peut prendre que les valeurs zéro et — 3 auxqu^l^^^
::orrespondent les valeurs commensurables i et j pour \, On a toujours
2fir)dr ?'(«)«f"=?'(^)$» /('•)= ^:
îi Ton fait n = o, <f'{u) se réduit à une constante A ou
iBy et /(/') est égale à — ; l'attraction se fait suivant la
oi de Newton, et Ton sait qu'elle donne une trajectoire Iliptique, c'est-à-dire fermée, pourvu, du moins, que (^o
e dépasse pas la limite i/ — • Si l'on suppose n = — 3, on a
attraction est proportionnelle à la distance, et la trajec- >îre est toujours une ellipse, pourvu que A soit positif. Quelle que soit la loi d'attraction, si la trajectoire s'écarte *ès peu d'un cercle, la différence d'azimut d'un rayon acteur maximum et du rayon minimum qui le suit est sen-
blement ^i/ -733 — » ' Newton en tirait une preuve de
exactitude de sa loi sans supposer connue rigoureusement la forme des trajectoires planétaires; l'extrême len- -ur du mouvement des périhélies montre que la différence azimut considérée s'écarte très peu de ir*, les orbites étant ^lisiblement circulaires, cp''(c) doit être nul, ce qui conuit à la loi de la gravitation. Mais la proposition générale "Ue j'ai établie est due à M. Bertrand, qui en a montré tout ^^térèi (Comptes rendus, 1878). Les observations faites »ur les étoiles doubles semblent prouver que leurs trajectoires sont toujours fermées; on ne peut admettre que des corps éloignés les uns des autres s'attirent proportionnellement à la distance : on est donc autorisé à dire que la loi ^e Newton règne dans tout l'univers.
145. Forces centrales de Jacobi : exemple, — Jacobi a signalé un cas intéressant dans lequel le mouvement dû à une force centrale peut se déterminer à l'aide de deux quadratures : c'est celui où l'intensité de la force est donnée sous la forme
L'expression donnée par Binet pour les forces centrales conduit immédiatement à une équation linéaire et du second ordre pour la trajectoire. Mais soit G la constante des aires : on a
Les équations du mouvement, en supposant m = i , peu-
vent s'écrire
d^x „ . cos6 -/ft. cfô
-^=-Fcose= — ^A^)^,'
On en déduit, en intégrant,
dx
On a, d'ailleurs,
dy dx r.
il suffit de remplacer, dans cette équation, ^, j^parrcosO^
doc d'\r
rsinO, et ^, -^ par leurs valeurs (i) pour avoir l'équation de la trajectoire, qu'on peut écrire sous la forme
(2) 1 r ^~ ^2rcosey/(e)sineéfo — sine r/(e)cose€fôl
( H- acosô -4- ^sinô
Connaissant r en fonction de 6, on trouvera la loi du mouvement en intégrant l'équation i^dt-=^ r^ d^,
M. Darboux a fait une remarque importante au sujet de la trajectoire : si l'on change d'une manière quelconque les
conditions initiales du mouvement, les constantes ^r,? a,
b prendront de nouvelles valeurs qu'on peut représenter
par 7^9 na'\- a\ nb 4- y. Si donc on désigne par <p(9) la
valeur ( 2 ) de - qui correspond à un cas particulier, l'équation de la trajectoire sera, dans le cas général,
- = /i<p(6)-f- a'cos6 H- ô'sinô;
elle représente une courbe homologique à la courbe (2), Soit/(0) = )^sin2 0, et supposons que, pour ^ = 0, on ait
dx dy
on demande de déterminer le mouvement et de comparer le temps que met le mobile pour tourner autour de l'origine à celui qu'il mettrait si la force était — > les conditions initiales restant les mêmes. (Paris, 1877.)
On a G = aPo = s/i^^j et les équations (i) deviennent, en tenant compte des valeurs initiales,
§^=-l/^sin3e, ^=é/A(3cosô-cos3e); dt V 6a ' dt V ^^
la trajectoire (U) est représentée par l'équation
I sin* 6 -f- 9. cos' 6 3 -h cos 2 6
Si, les circonstances initiales restant les mêmes, l'at-
traction était égale à —» le mobile décrirait une ellipse dont Téquation serait, en faisant tourner Taxe polaire de 180'',
i __ 3 -4- cosO r ~ aa
La courbe U peut se déduire de l'ellipse en doublant le rayon vecteur de chaque point de cette ellipse et réduisant de moitié Pangle de ce rayon avecPaxe polaire : Taire de U est quadruple de celle de l'ellipse, et, comme la vitesse aréolaire sur chacune est la même, il faut quatre fois plus de temps pour parcourir IJ que pour parcourir l'ellipse.
146. Mouvement parabolique dans le cas de V attraction newlonienne. Théorème de Lambert,
On sait qu'une masse m, attirée vers le pôle par une force
• ^y décrit une parabole dont l'équation est
2 cos'â
ne
lorsque a/jx = r^v^ : la vitesse aréolaire jC^ est {s/pf^-* Pour avoir à chaque instant la position du mobile sur sa trajectoire, je suppose que l'axe polaire passe au sommet, en sorte que 9 désignera l'anomalie vraie. Le théorème des aires nous donne
dt= — -- =l/^Ç rr = -{/ T-\ n-tang«-Ô)c?tang-0.
Intégrant et faisant ^ = o pour 6 =: o,
Il ne sera pas commode de résoudre par rapport à 8, mais on construira des Tables qui donneront t en fonction de 0,
et par interpolation on en déduira Tanomalie vraie du mobile à chaque instant.
Le théorème de Lambert consiste en ce que Tintervalle de temps employée par le mobile pour aller d'un point à un autre de la parabole peut s'exprimer sans faire inlervenir le paramètre, et seulement au moyen des rayons vecteurs extrêmes et de la corde de l'arc parcouru. Soient a et 6 ces rayons extrêmes, 6|, 63 leurs anomalies vraies, a, p les tangentes des moitiés de ces angles, c la corde de l'arc parabolique ; l'équation (1) donne, pour le temps que le mobile met à passer d'une position à l'autre,
Le carré de la corde de l'arc parcouru est
c'= a*4- 6' — lab cos(02 — 0^),
(a -t- 6)2— o« = 4a6 cos* î
cos' — cos* —
Nous connaissons le produit de a-l-64-cetde a-\-b — c; nous aurons facilement leur somme
2a -+-26= ^ ^ H ^-jp =/>(2H-a«4- P«);
cos'— cos* —
a-r-6-+-c et a-\-b — c sont racines de l'équation du second degré
M« — p(2-i-a«-+- P*)M-+-/>2(i-+-ap)2= o;
!%56 RECUEIL D^EXERGICES
donc
On peut introduire dans la partie rationnelle la qi qui est sous le radical, et écrire
Le second membre est un carré, et, si Ton veut a^ racine en valeur absolue, on devra écrire, en supj
d'où
(a-h 6 H- o)* — (aH-6 — c)*
Comparant à l'équation (2), nous avons l'expression cliée
Si 62— 6, est > TT, ^i -f J(P 4- a)2 est < J(? - a l'on aura
Ces formules donnent une expression remarquai: Taire d'un secteur parabolique, qui est égal ^-c-
1 T \/pf^ ; l'aire du secteur est donc
A = — v^ [(a H- 6 -f- c)2 dz (a 4- 6 — c)^] .
Quand on veut appliquer l'équation (3) au mouvement des comètes, on prend pour unité de longueur la distance moyenne de la Terre au Soleil et pour unité de temps le jour solaire moyen : la formule bien connue du mouvement elliptique, n^a^z=zf^y donne, quand on l'applique à la Xerre,
l'équation (3) devient alors
T = 9ii6''32™[(a-h^>-+-c)- — (« -^b — cf^],
^' Etant donnés un point 0 et une droite AB, on demande suivant quelle droite doit glisser un point pesant, partant de O sans vitesse initiale, pour atteindre AB au bout d'un temps minimum.
^s droite cherchée fait des angles égaux avec la perpendiculaire abaissée de 0 sur AB et avec la ligne de plus grande pente ^"^ plan AOB.
^' Un point fixe O attire un mobile M avec une intensité qui
varie en raison inverse de la /i**"' puissance de la distance 5 : dé-
erminer n de manière que le mobile, partant de l'infini avec une
^^tesse nulle, ait pour ^ = a la vitesse qu'il aurait eue pour
7 s'il était parti sans vitesse du point s = a. Calculer, dans aernier cas, le temps que le mobile met pour arriver en 0.
^st de la forme — X'5 *, et le temps demandé est 0 y ^**
• -IVXouvement rectiligne d'un point de masse m, sollicité par *orce égale à me-^* et animé d'une vitesse initiale — •
■ l^^ouvement rectiligne d'un point M attiré avec une intensité De S.-G. — Rec, 17
proportionnelle à la distance par un point qui parcourt d*un mouvement uniformément varié la même droite que le point M.
(RiCCATI.)
5. On donne deux axes rectangulaires OX, OY, et l'on demande de déterminer le mouvement d'un point M assujetti à glisser sur OX et attiré vers un point A de OY avec une intensité proportionnelle à la distance ; la droite OX est dépolie, et le coefficient de frottement est égal à l'unité; enfin l'on a OMo = 5 0A = 5a et vo = o. (Marseille, 1884.)
On trouve que s varie de 5a à — 3a; alors il faut changer l'équation du mouvement, s varie de — 3a à -h a, et M s'arrête.
6. Mouvement d'un point uniquement sollicité par une résistance de milieu égale à mX^.
Le mobile s'arrête après avoir parcouru le chemin ^ vj.
7. Soient a et 6 les espaces parcourus depuis le temps ^1 — 0 jusqu'au temps ^i, et dÇ ti à fi-+-ô, par un point pesant qui se
meut verticalement dans l'air en éprouvant une résistance f^ :
montrer que la somme c^* -+- e ^* a une valeur constante, quel que
soit il et quel que soit le sens du mouvement. (Maurice d'Ocagne.)!
On prendra l'époque t\ pour origine des temps et la positions
correspondante du mobile pour origine des espaces; il sera très
facile d'éliminer la vitesse correspondante des équations qui doa^
nent 5= — a ou 5 = 6 pour ^ = dz 6 : la somme cherchée est égaL
il £ê
à 2c** ou à ae ** selon que le corps descend ou monte ; a est l'ea
pace parcouru dans le temps 6, en partant sans vitesse, ^ le ch»
min décrit pendant l'intervalle ô qui précède l'arrêt du mobile.
8. Un point pesant, sans vitesse initiale, tombe dans l'air d'u. hauteur a sur un plan horizontal qui le fait rebondir avec sa ~ tesse d'incidence : on demande à quelle hauteur il s'élèvera ap
le /i'*"' bond, la résistance de l'air étant — ?---• (W. Walton.^
Soit Up la hauteur à laquelle le corps remonte après le ^'^"* bo si l'on pose c*' ''= a^, on trouve la loi de récurrence
SUR LA MÉCÀNirUE RATIONNELLE. ûSg
9. Déterminer le mouvement d'un mobile partant du repos, attiré vers l'origine par une force proportionnelle à la distance, — \^Sj et éprouvant de la part du milieu ambiant une résistance proportionnelle à la vitesse, — kv (la masse du mobile étant i).
L'équation différentielle du mouvement est linéaire et subsiste quel que soit le sens de la vitesse; si A:^ aX, le mobile s'approche indéfiniment de l'origine ; si A: < 2 X, le mouvement est oscillatoire et tautochrone ; l'amplitude des oscillations diminue indéfiniment.
10. Un point pesant est lancé d'un point 0 avec la vitesse Çq -
déterminer l'angle cp de cette vitesse avec l'horizon de manière à
rendre maximum la distance du point 0 au point de rencontre
du mobile avec un plan horizontal à la distance h au-dessous du
point de départ.
On trouve cosa© = -^-^ 7 •
il. Soient OA et ON une ligne de plus grande pente d'un plan P, incliné de l'angle i sur l'horizon, et une normale à ce plan : un corps pesant est lancé du point 0 suivant une direction située dans le plan NOA et faisant l'angle ^ avec OA. Calculer l'angle <pi que le mobile fait avec OA quand il retombe sur le plan, l'angle (p^ sous lequel il le rencontre après avoir rebondi n — i fois en supposant P parfaitement élastique : montrer que la vitesse estimée suivant ON est la même à l'arrivée qu'au départ. (Bordoni.)
Il est avantageux de prendre OA et ON pour axes : on trouve
cot <pi = cot cp -h 2 tan g t.
iS* Lieu des positions simultanées de divers corps pesants lancés €tt même temps d'un point donné avec des vitesses égales, mais de directions différentes. Sphère.
13. Un point M est soumis à une force dirigée suivant la perpendiculaire MP abaissée sur un axe OX, et dont l'intensité est
^^P ; quelle doit être la grandeur d'une seconde force, parallèle ^ ^X> agissant sur M, pour qu'il décrive un arc de la parabole y == a/?ar? Loi du mouvement.
^= G — ôj^Xa?'. — Le mouvement est oscillatoire.
'^' Mouvement d'un point lancé parallèlement à une droite OX et attiré vers cette droite par une force inversement proportionnelle au carré de la distance du mobile à OX.
Le point décrit une moitié de cycloïde dilatée ; le mouvement ultérieur sera déterminé par raison de symétrie.
15. Mouvement d'un point M soumis à une force dont la ligne d'action rencontre à un instant quelconque en deux points P, Q deux droites données A, B non dans un même plan et dont l'intensité est représentée par le segment PQ; examiner le cas où, à Tinstant initial, M se trouve sur A avec une vitesse non dirigée dans un plan parallèle aux deux droites A et B. (Caen, 1884.)
l'axe des z étant une droite quelconque rencontrant A et B : puis d^cr ihx d^y ihy d^z __
En combinant la première ou la seconde avec la dernière
elles expriment que les vitesses aréolaires des projections obliqu( sur Oar^ et Oyz sont constantes; z se calcule séparément, et W peut achever l'intégration. On verra que la restriction imposa: en dernier lieu à la direction de Vq est nécessaire pour que le pr blême soit possible.
