Mouvement d'un point pesant dans l'air en prenant

pour la résistance du milieu : amplitude de jet maximum. Il est avantageux de partir des équations

(P^ __gdx d^ — ^ ^ ^,

dt^ k ~dt ' dV^ .^ k dt '

elles s'intègrent séparément : l'équation de la trajectoire est

«0 ^ \ kvfiCOSfXQ/'

Vq COS

l'amplitude du jet est maximum si

« . /f »« • NT Vn-h k s\xi:x.^

A sin qcq

les tangentes aux points de départ et d'arrivée sont perpendiculaires.

d7. Un point pesant, lancé horizontalement dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à sa densité et au carré de la vitesse, décrit un quart de cercle; comment varie la densité du milieu? (P. JULLIEN.)

Elle est de la forme - v^H* — z^, z étant la hauteur au-dessus du

centre.

18. Mouvement d'un point M attiré vers un point 0 avec une force proportionnelle à la distance.

!a** Lieu formé par les trajectoires de M en supposant qu'il parte d'un point A avec une vitesse de grandeur donnée parallèle à un plan P. (Walton.)

3** Déterminer l'angle «p de cette vitesse avec OA pour que le mobile atteigne un point donné B. Dans quelle région doit se trouver B pour que le problème soit possible? (Paris, 1887.)

11 est avantageux de partir des équations

dt^ ^ dt^ •^' dt^ '

les coordonnées pouvant être obliques. 2" Si l'on suppose Çq parallèle au plan des yz, le lieu des trajectoires est l'ellipsoïde

1 angle YOZ étant droit. 3** En supposant B dans le plan des xy et l'angle XOY droit, B{x,y),

(vlx^-\- X'a*j^* — pja') tang^cp

— at'Ja:/ tang<p -+- ((^J-t- a*X*)/*= o.

^^' Hlnveloppe des ellipses décrites par divers mobiles attirés ''S Un point F suivant la loi de Newton et partant d'un point A ^^ <ies vitesses de même grandeur, mais de directions différentes ns nj^ pjg^jj passant par AF.

Gs ellipses ont leurs grands axes égaux; leur enveloppe est une «"»Pse de foyers A et F.

• Mouvement d'un point attiré vers l'origine par une force

égale k mX^l-j — rj;la vitesse initiale a X est perpendiculaire ai rayon vecteur correspondant dont la longueur est a. (Gaen, 1877.

21. Mouvement d'un point, de masse i, attiré vers l'origine pai la force

X, a, 6 étant des constantes; Po= — perpendiculaire au rayon vecleur correspondant, de longueur a, (Paris, 1870.)

G = X, r2= a2 cos^e 4- b^ sin^e,

. tï2-h6* aî— 6* . ^

X; = 0 -\ — sin2 0.

La trajectoire est une podaire de l'ellipse. Si l'on change b^ en — a', on a une lemniscate.

22. Déterminer la force dirigée vers le pôle et fonction de r. qui peut faire décrire à un point libre une circonférence passant au pôle. Discuter la trajectoire quand les conditions initiales sont quelconques.

La formule de Binet donne une valeur de la forme — r- : la tra-

jectoire, dans le cas général, sera

elle ne passe pas nécessairement au pôle.