MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE
Cas où la courbe est donnée et parfaitement polie.
147. Un point M, assujetti à rester sur une courbe parfaitement polie et sollicité par une force R, est toujours en équilibre lorsque R est normale à la courbe; cette condition est d'ailleurs nécessaire : il en résulte que Faction exercée par la courbe sur un point assujetti à ne pas la quitter peut se représenter exactement par une force N ayant une direction quelconque dans le plan normal et une grandeiir aussi quelconque ; il en est encore de même quand le point est en mouvement.
Cela posé, soit un point M assujetti à rester sur une courbe polie et sollicité par une force F à laquelle on peut toujours réduire un système de forces appliquées en M : ce point peut être traité comme un point libre si Ton adjoint à F cette force inconnue a priori, N, qui représenta l'action de la courbe. Décomposons F en deux forces P, (^ dirigées, l'une suivant la tangente, l'autre dans le plar»normal : la première sera égale à la force tangentiell^
/w^) tandis que Q et N auront pour résultante la forc^
centripète m — • On peut toujours exprimer P en fonctior»^
ds de t^ de l'arc parcouru s et de -r; l'intégration de l'équai —
lîon m -ry = P, tout à fait analogue à celle du mouvement
rectilJgne, fera connaître la loi du mouvement; alors la force centripète sera connue pour chaque point aussi bien que Q, et l'on en pourra conclure la réaction N exercée par la courbe sur le mobile ; cette réaction est égale et opposée à la pression N' supportée par la courbe.
On peut aussi étudier le mouvement à l'aide des équations générales de Maclaurin en ajoutant aux composantes X, Y, Z de F les projections de N sur les axes. Je me bornerai à la remarque suivante : la différentielle
X ûte -h Y c?^ -h Z dz^
qui représente d - mv^j puisque le travail de N est nul, peut
toujours s'intégrer quand X, Y, Z ne dépendent que de ^-i J'y Z] car ces coordonnées peuvent s'exprimer au moyen <lu paramètre unique qui fixe la position de M sur la courbe; toutefois, si l'intégration peut s'effectuer directe- Kient, il est clair qu'il y aura avantage à le faire.
I4f8. Mouvement d'un point de niasse égale à r unité, o^sujetti à rester sur la courbe d'intersection d'un cylindre parabolique et d'un cône
et sollicité par une force dont les composantes rectangulaires sont
X=4A:«a:, Y = ^ A:«7, Z = 2k^{a-^ Zz);
^ point est d'abord placé à l'origine et lancé vers le "^^t sur la branche qui est en aidant du plan des xz^ a^ec ^^^ vitesse ak. (A. Fuhrmann.) ^^ problème se résout très facilement à l'aide des équa-
lions de Maclaiirin. On lire des équalions de la courbe
dx
dx = — dz, dy =i dzi/ -- > ds =
L'équalion des forces vives esl ici
d -v^= \k^xdx -^ ^k^ydy -h ik'^^a -\-^z)dz.
On peul inlégrer sans même remplacer x^ y^ dx^ dy pr ^a
leur valeur en z^ paramètre le plus propre à définir Tl k points de la courbe :
%»— -aU2=2X:«ar2-i-5x:Syî4-A-2(2a^-h3^2).
Remplaçant x^ y q\.v^^ -r par leur valeur en z :
ds^ {a-^r-zy dz^ ^S^^.u.
d'où
dz
= k dt, a-{- z = ae^^.
Le mouvemenl se fera toujours dans le même sens, ^vec une vitesse croissanle. Il nous resle à calculer les coïxipo-
santes de N, et pour cela il faut connaître -t--> -777- > "fn'
dt^ ' dt^ dt Oh a
d.r __ dx dz k z(a-hz) d^x ^ d /dx\ dz k^(a-hz){a dt dz dt ~~ a ' dt^ ~ dz\dt ) dt ~ a
conséquent,
N cosX = ^ — X = A-2(a -+- 3z),
N cos(ji= (a2-4- 4az — 3-5*),
yiaz
Ncosv = — A:«(a-f- 5^).
est aisé de constater que cosXé/.r -h . . . = o; quant à ngle de N et de la normale principale, on en aura facilcînt le cosinus, mais il est très compliqué.
149. Un point matériel, assujetti à rester sur une ellipse^ 'attiré vers les deux foyers par des forces inversement oportionnelles au carré de la distance et vers le centre r une force proportionnelle à la distance; démontrer e la pression exercée en chaque point de l'ellipse est versement proportionnelle au rajon de courbure; dé- 'miner la vitesse initiale qui annulerait la pression; Hivernent correspondant, (Question de licence, i865, Qéralisée.)
Je suppose la masse du mobile M égale à l'unité, et je signe par r, r', u ses distances aux foyers F, F' et au ntre O, par [jl, jjl', \ les attractions de ces trois points à iniié de distance, par t}» et to les angles de la normale en avec MF et MF' d'une part, avec MO de l'autre. On sait le le travail élémentaire d'une force attractive émanant un centre fixe est égal et de signe contraire au produit î la force par l'accroissement de distance du mobile au între. Le théorème des forces vives donne ici
d-v^ = ^^~-^-^ -ludu\
ou
^^^ N la réaction normale de la courbe, supposée posi-
tive quand elle est dirigée vers le centre de courbure ; nous avons
— = N -f- -^ cosu^ •+- -^cosu/ 4- Xu coso); p pi ^ p'i T
d'où, en tenant compte de la valeur de v^ tirée de l'équation (I),
N=-U5 ^ T'-^XuD'hlll -i )
Pour évaluer les termes variables en [Ji et [Ji', je rappelle les relations
p= — T) rr' cos^ 4^ = 62, pcos6= — :
^ acos^il ^ ^ ^ a
d'où
2 cos^» __ 2r — pcos^» 'i'CLr — 7'r' __ i î^ cos<}^
rp r^ ~~ r^p ~" aHp ap "" r'p r*
Pour calculer les termes en X, je désigne par je? la perpendiculaire abaissée de O sur la tangente en M^ on sait que u cos (û = p et p^p = a^b^; donc
w* I / , a'^b^\ i . , -, ' h a COSO) = -( a* H — i t= -(a*-f- 6*).
La dernière transformation est fondée sur les théorèmes d'Apollonius, d'où résulte que — est le demi-diamètre conjugué de OM. Les calculs précédents donnent à la valeui de N la forme proposée
PL '•o ^0 « J
Il a été dit que, si N est positif, c'est que le point tend à sortir de l'ellipse. Pour qu'elle soit nulle ou que le point
décrive librement la courbe, il faut avoir
(II) pj=lîf: + Lîi'XuS-ii-^'-+-X(a2-h62).
Pour avoir réquallon différentielle du mouvement dans ce cas particulier, je reprends l'équation (I), en Tadditionnant membre à membre avec Téquation (II) : il vient
Déterminons les points de TelHpse par leur anomalie excentrique c ; on a
r = a(i — ccoso), r'= a(i -h c cos»),
M«= a' cos'ç -\- b^ sin'o, ds^= a'(i — e* cos*o) <io'.
Substituant dans l'équation précédente, on lui donne, après de simples réductions, la forme suivante :
dt^ a'(i — ecoso)* a^(i-r- e coso)*
On ne sait pas effectuer l'intégration; mais, comme -~ ne
peut s'annuler, on voit que le mouvement sera continu.
L'équation (II) est remarquable : si Ton y annule tour à ^oar [x' et \, tx et X, ix et ix', on reconnaît que rj est la somme des carrés de trois vitesses initiales avec lesquelles ^e mobile décrirait librement l'ellipse sous l'action de F ^^nle, ou de F', ou de O. C'est un cas particulier d'un théorème général dû à M. Bonnet. Supposons que des points '*bres, de masses m, m', m", . . ., soumis respectivement à ^^s forces F, F', F" et partant d'un point A avec des vitesses Vq^ ç^^ ç^*, ... suivant une même droite AB, décri- ^ent mjg même trajectoire U : cette ligne sera encore la ^^^jectoire d'une masse M, sollicitée à la fois par F, F\
5 ... et animée suivant AB d'une vitesse initiale Vo, ^«Ue que M VJ soit égal à m^l + mV;* 4- m^v^ -f- . . . . On
s'en assure en supposant que le point M soit obligé d rester sur U : un calcul analogue au précédent montre qu la réaction de U serait nulle.
Une autre proposition, qui comprend le cas proposi consiste en ceci : soit un mobile soumis à l'action de cei taines forces, qui, avec une vitesse initiale donnée, décr une courbe plane; si l'on change la vitesse initiale et qu'o oblige le mobile à décrire la même courbe, il exercera ut pression inversement proportionnelle au rayon de coui bure. En effet, la valeur de N, qui serait nulle dans le pre mier cas, se complique seulement d'un terme provenai
de — • Or la valeur de ^^ ne diffère de ce qu'elle est dansl
premier cas que par l'addition d'une constante/^, quirea
N égale à - •
150. Un mobile M, non pesant, assujetti à rester s^ une circonférence de cercle^ est attiré "vers un point 0 4 cette courbe par une force fonction de la distance; détc miner cette fonction de manière que la pression exerc sur le cercle soit constante; nature du mouvement prodi€
(Paris, 1868.)
Prenons la masse du mobile pour unité, le point 0 po pôle, le diamètre OA pour axe polaire; désignons par et diamètre, par r la distance OM et par <p(r) l'attractioa c centre O. La vitesse est donnée par le théorème des forc< vives
(I) c?.p* = — i^{r)dr,
La réaction N du cercle, supposée positive à l'intérieu fait avec MO un angle égal à 0, et, comme le rayon *
courbure est - ? on a
— =NH-cose(p(r), (;î= — 4--r(p(r),
puisque acosQ = r. Diffé reniions et comparons à l'équation (I) : on a
d,v*= - (^{r)dr-\ — r^'{r)dr = — 2<p(r) dr :
donc
c désignant une constante; Tattraction varie en raison inverse de la cinquième puissance de la distance. On peut alors intégrer l'équation (I), et l'on trouve
1 vl 7. c
a ar'^
La pression éprouvée par le cercle est égale et directe- ''^ent opposée à la réaction N qu'il exerce. La loi du mouvement est donnée par l'équation (II) qu'on peut remplacer par l'équation équivalente
dt^ ^ r} a^cos^e'
le mouvement se fera toujours dans le même sens si c est
Compris entre zéro et , ^ % sinon il sera oscillatoire:
^ ailleurs, l'intégration ne peut se faire à l'aide des fonc- *^ions élémentaires que lorsque c est égal à zéro ou à rj pj : ^^ns ce dernier cas, N s'annule.
ISI. Soit, en supposant l'axe desj vertical,
^9uation d'une hjpocycloïde à quatre rebroussements : ^^<^uler le temps qu'un point pesant, assujetti à rester
sur la courbe et partant du point le plus bas ai^ec la vitesse sjiga^ mettra pour atteindre un point de rebroussement B ou la tangente est horizontale, (Despeyrol's.) On trouve aisément qu'un élément ds d'arc de Thypo-
cycloïde est égal à dyC/ - et que l'intégrale des forces vives donne
on aura, pour le temps cherché,
La vitesse au point B est nulle, et le mohile y reste en équilibre. D'après l'identité qui existe entre le mouvement considéré et le mouvement rectiligne produit par une force égale à la force tangentielle P, nous sommes dans le cas considéré au n** 130, et il semble que T devrait être infini; mais ici se présente justement l'exception signalée à la fin du n** 130 : la courbure de Thypocycloïde en B est infinie ; l'angle de contingence e d'un arc infiniment petit MB est d'ordre infinitésimal inférieur à celui de MB, et comme, au point M, P est égale à — m^sine, elle est infiniment moins petite que l'arc MB, et le mobile doit atteindre sa position d'équilibre dans un temps fini.
152. On donne, dans un plan vertical, une cycloïde dont la base est horizontale et la convexité tournée vers le bas; le rayon du cercle générateur est a. Un fil sans masse, de longueur 6 a, est attaché par une de ses extrémités à l'un des points de rebroussement de la cycloïde; le fil est d'abord vertical et se termine par une
^yiasse à laquelle on donne une vitesse horizontale yj^ga -, wnouvement du point m, tension du fil. (Paris, 1864).
Je prends pour origine le point O, où le fil est attaché;
l'axe des x est horizontal, et l'axe des j^ suivant la verticale
descendante. Soit A la position initiale de m; le fil OA
s'enroulera sur la cycloïde, une portion OP s'infiéchissant
suivant un arc égal de la courbe, l'autre partie PM étant
dirigée suivant la tangente. Les coordonnées du point P
peuvent s'écrire
ar, = a(tt — sinu], y^-=za[\ — C0S2<).
Un calcul connu donne
arcOP = 4^(1 — CCS - ) ; donc
PM = 2 û ( I 4- 2 ces - ) •
D'ailleurs - est l'angle de PM avec OY ou de la tangente à
1^ trajectoire avec OX. Je le désigne par ^. En projetant sur les axes Tare OP et la tangente PM, on a les coordoniiées du point M
*'^=a(2ç — sin2ç) -f-2a(i -f-2C0Sç)sincp=:a(2y-}-2siny-f-sin2ç),
yz=za[Z -h acosy -}- cos2y).
^^Hs effectuer l'éliinination de cp, qui donne un résultat ^ï*es-compliqué, on peut reconnaître la forme de la courbe. ^^ a d'abord
*** = 2acoscp(i -h 2 cosy)^?^, dy =L — ia[\-\- 2C0Sy) sinçû?^,
t)ans la cycloïde, on fait toujours croître u\ on fera de ^êoie pour ç*, X commence par croître, j^ par décroître 5
pc^Ur y = -? dx devient négatif 5 alors x diminue jusqu'à
De S.-G. — /îc<?. 18
ce que ç soît égal à — -, dx et dj changent de signe à ce
moment; x etj^ vont augmenter, et Ton a un point de re-
broussement BLr = af^7rH — y/;^j,^=-aU situé sur
la cycloïde, tandis que tout le reste de la courbe est en dessous. A partir du rebroussement jusqu'à ç = tt, a: et j^ augmentent pour atteindre 2 a tt et sa. La partie qui suit est symétrique de celle que je viens d'esquisser, par rapport à la verticale du second point de rebroussement de la cycloïde \ mais le poids m n'atteint pas même le point B, car le théorème des forces vives donne
Or rf^ = 2a(i -{- 2 coscj))rf(p; il vient alors
t»'= 4^5^(1 H- 2 C0S(J>)^-7^ = 2g^a(l -f- 2C0SÇ -h C0S2«p);
dV
d'où
(I) dtJi=^l±L
V ^ \/cos<pfi
COS «p ) r/cp
\/cosy(i -+- oosy)
On voit que ç ne peut croître au delà de - ; pour cette valeur,
le mobile s'arrête et va rebrousser chemin pour exécuter des oscillations symétriques ; les coordonnées du point d'arrêt sont x = [t:-\- ^)a^ y z=z ^w^ la tangente est verticale et l'arc parcouru égal à
J2a(l H- 2C0S<p)^(prr:a(ïr -h 4)*
Pour intégrer l'équation (I), on prendra pour variable tang -(p, ce qui laisse un radical \ mais, comme y reste com-
îs entre zL -? on posera tang- cp = smfx', d'où
, 2C0Suda. ces' a d<fz= K-> COS?p=: r— -•
i-f-sm'/:x I -h sin'fA
l}stituant dans l'équation (I), on a
y a I -f- sin^/x '^ ' i -i- sm*fA ' "^ i /-r=i4^'^ctang(v/2 lang|x) — ^y^2
= 4 arcsin I y/2 sin - ^ j — y/2 arc sin ( tang - «p ) •
Le temps d'une demi -oscillation s'obtient en faisant
