I -h 2COS«p
tte tension est d'abord ^ mg et diminue jusqu'à zéro.
^53. Deux points pesants se meus^ent sur un cercle vercil dans des conditions telles^ que leurs vitesses au point
plus bas P ont une même valeur \l'2.gli : trouver Venveype de la droite qui joint les positions simultanées des tix mobiles, (Jacobi.)
Je vais donner de ce problème une solution analytique it à fait directe. Soient O le centre du cercle, a son >^on, A et B les positions des mobiles à l'époque t, 2Ô et
2<p les angles POA, POB. Le théorème des forces vives donne tout d'abord
h — a + a cos 2 6 h — a -h a cos 2 <p
chacune de ces fractions étant égale à •
Cela posé, prenons le point O pour origine, et supposons l'axe des x diri gé dans le sens de la pesanteur, Taxe des y horizontal : l'équation de la droite AB peut s'écrire
(2) a7Cos(ô-f- <p) -f-^ sin(6-h<p) — acos(6 — <p) = o.
Comme nous avons seulement, entre ç et 0, une équation différentielle, en sorte que la relation finie qui existe entre eux dépend d'une constante arbitraire, nous ne pouvons trouver que l'équation différentielle de l'enveloppe, dont l'intégration amènera au ssi une arbitraire. Suivant la méthode ordinaire, différentions (2) par rapport au paramètre dont dépendent (p et 0; on a
[— a?sin(ô -+- cp) h-7cos(ô -+- cp) ^-asln(6 — cp)] c?ô = [x sin(ô -h <p) —y cos(6 -+- cp) — a sin(6 — cp)] d'o.
J'élève les deux nombres au carré, et j'ajoute aux coefficients de rfO^ et de rfy^ \q carré du premier membre de l'équation (2), qui est nul ;
(a?2 -4-^/2-1- a2 — lax cos2o — ^ay sin2cp) e/0* = (a?2^j2| ct2 — 2aa?cos26 — 2ajsin26)c?cp2.
Remplaçons rfÔ^ et rfcp^ par les quantités auxquelles ils sont proportionnels (i), et nous aurons, après de simples réductions,
ia{h — a)[ir(cos26 — cos2cp)-+-^(sin2 0 — sin^cp)]
-+- a{x^-{-y^-^ a2)(cos20 — cos2cp)-4- 2a*j^sin2(0 — cp) = o.
Si Fon rend calculables par logarithmes les différences de sinus et de cosinus, on pourra diviser par ia sin(ô — cp), et il restera
1 — [x*-4-j2-i-a2H-2(A--a)a7]sin(BH-cp)-+- 1 ay cos{^ — <p) = o.
On ne peut éliminer 0 et cp entre les équations (2) et (3); mais il est bien facile d'éliminer cos(0 — cp), ce qui donne
. . I 2(ar-l-A — a)7C0s(e-+-<p)
( =[^2 — jî4 a«-i- 2(A — a)a7]sin(6-4-cp).
Or, au point Xj y, déterminé par les équations (2) et (4), la tangente à l'enveloppe est la droite AB (2); donc cos(O-l-cp) et sin(9 + cp) sont proportionnels à c?/ et à — dx\ si on les remplace par ces différentielles dans (4)? on aura l'équation différentielle de l'enveloppe : on peut . l'écrire, en ajoutant 2.x{x-\'h — à) dx aux deux membres,
2(37-4- h — a){x dx -i-y dy) = {x^-^y^ — a>)dx.
On trouve immédiatement l'intégrale
x^ -t-72 __ ûe2 = G (a? 4- A — a).
L'enveloppe est un cercle E; l'axe radical de ce cercle et du cercle donné S est l'horizontale située à la hauteur h au-dessus de P; il suffira de connaître la position des deux mobiles à un instant quelconque et le sens de leurs vitesses pour déterminer la constante G : le cercle E doit toucher AB à l'intérieur ou à l'extérieur de S selon que vitesses sont de même sens ou non.
Supposons que les mobiles fassent le tour de S dans un temps T : les époques de leur passage en un même point M de la circonférence diffèrent d'une quantité fixe T', quel que soit M \ les droites qui joignent les positions des mo-
biles aux instants ^, ^ + T', t -\- aT', . . . forment les côtés d'une ligne polygonale inscrite dans S, circonscrite àE; si le polygone est fermé à un certain instant, il le sera
toujours, et il faut, pour cela, que T' soit une fraction —
de T. En général, on ne peut construire un polygone de n côtés inscrit dans un cercle et circonscrit à un autre; mais, s'il en existe un, il y en aura une infinité.
(POWCELET.)
Cas où il y a des résistances de milienz et de frottement.
Les résistances du milieu, étant les fonctions de la vitesse, n'empêchent pas l'équation du travail, d.i^^ = 2V ds, de donner la loi du mouvement sur la courbe ; seulement, comme P dépend de ç^ l'intégrale du premier ordre ne se trouve pas à l'aide d'une simple quadrature ; on a une équation différentielle à intégrer. S'il y a une force de frottement proportionnelle à la pression normale, il faut calculer cette pression, résultante de la force centrifuge et de la composante normale des forces extérieures ; en la reportant dans l'équation du travail, on est encore ramené à un(
équation différentielle en ç-,
154. Un point pesant est lancé a^^ec une "vitesse hor zontale i^o? à partir du sommet d'une cjcloïde dépo dont la base est horizontale et la com^exité tournée ve, le haut; le plan de la courbe est vertical. Mouvement mobile; point oii il quitte la cycloïde en le supposant lib de s'échapper à l' extérieur ,
En prenant pour axes la tangente au sommet et l'axe la cycloïde, les coordonnées d'un de ses points ont la for connue
a? = a(M -f- sina), y = a{\ — cosa).
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 9.'jg
On sait que la tangente fait avec Taxe des x Tangle -j et que
ds = 2acos-udu^ p =Aacos- u.
Soit N la réaction normale de la courbe comptée positivement vers l'extérieur ; /N sera la réaction tangenlielle, et, en faisant la masse du mobile égale à Tunité, nous auronS;; comme précédemment, les deux équations du mouvement
(I) d^v^= (g sin- —/Njdsy — =^cos-— N.
Éliminons N :
id.v^ 2 ds
ou
/— = £" l sin- u — /cos -7 u
du
— yV« = 2a^[sinM— /(i -hcosw)].
L'intégrale de cette équation linéaire est, d'après une formule générale,
v^=: e^" j v\ -t- 2.ag j [sinu — / — fcosu)e~f^du 1 ;
/f ' sin w — /cos u .
IH-/' r fa ' J cosw4-/*sintt ,
mais
donc
, /, ^g^f'\ fa r (i— /»)cos«-f-2/sinz/"]
En posant y= tangcp, cette expression prend une forme remarquable
(n) v^= ((^J — 4«^sin*y)e«^«"«?-4-4^g'sinM(p~ -«]•
aSo RECUEIL d'exercices
Avant de discuter cette formule, je rappelle que nos équations (I) sont établies en supposant la réaction de la courbe dirigée vers l'extérieur, et N >>o; quand N deviendra négatif, si le mobile repose simplement sur la courbe, il la quittera, et s'il ne peut s'échapper, si c'est, par exemple, une bille enfermée dans un tube cycloïdal^ il faudra écrire la première équation (I)
{Ibis) d-v^= (^sin-u-^/NjdSf
et la formule (II) ne sera plus exacte. Or nous avions
In = ^'cos- u :
la formule (II) s'applique seulement tant que
^ < ^P cos - M < 4 «/?■ cos2 - a.
Il faut que {^l soit << ^ag^ sinon le mobile quitterait touK de suite la courbe. La formule (II) commence par être ap plicable tant qu'on a N >> o ou
(iii) { ' )l ] i
— 4a^sin* ( uj <o.
Distinguons deux cas selon le signe de ^J — ^ag sin^ si ce binôme est >> o, l'équation (II) montre que v^ s'annule pas; mais l'inégalité (III) cesse d'être satisfa quand u dépasse une certaine valeur moindre queic; al* le mobile s'échappe s'il en est libre, sinon il faut modii les équations du mouvement d'après la formule (I bis) ^
Soit {^l — ^ag s'\n^(f < o; l'équation (II) montre qu^^ ^* s'annule pour une valeur de u moindre que 2^, car le ^e-
cond membre, positif pour u= o, est négatif pour-;/ = cp; iiiais le deuxième terme du premier membre de la formule (III) est moindre que le troisième, tant que- est <^ cp;
Et
l'inégalité sera toujours vérifiée; le mobile restera sur la oourbe jusqu'à ce que (^^ devienne nul, et Ton arrivera à ui:!. repos indéfini.
Soitç^J — 4 ûJ^sin2çp = o. Le mobile s'arrête pourM=2<p, s SI x^ s que l'inégalité (III) cesse d'être vérifiée; mais le point d' sixrêt est une position d'équilibre instable ; u pourrait dép>sisser la valeur 2cp sans que v devienne imaginaire, la vi- ^^sse étant toujours donnée par la formule (II), du moins
] "•^scju'à a = çp -I — ; pour cette valeur N est nul et le mou-
'V'^rîaent change de nature. On peut exprimer t en fonction ^^ u\ car, avec la valeur actuelle de v\^
I du I — . / I \ V = 2acos- u-j- =-:z i^agsxn ( «p u\.
CDn met le signe 4- ou — selon que le mobile est au- ^^s sus ou au-dessous du point d'arrêt. Prenons la première ^ '^•^othèse:
y a sin(cp — \u) sin(cp — \u)
éveloppant et intégrant :
tif- —1 coso L -7—7 i — r -h u sin cp.
\ a * sin(cp — \u) '
fiaudra un temps infini pour arriver au point d'arrêt, ce •-^i s'accorde avec les résultats du n** 130. Quant à la région qui lie ^ à m, elle ne peut être donnée explicitement ^^^ s le cas général.
155. Mouvement df un point pesant sur une hélice dépolie, tracée sur un cylindre droit vertical, de rayon R ; la tangente à V hélice fait V angle a as^ec V horizon.
Nous ne connaissons pas la direction de la réaction normale N de la courbe; nous savons seulement qu'elle est dans le plan normal, et nous désignerons par ^ l'angle qu'elle fait avec la normale principale; celle-ci n'est autre, on le 3ait, que la normale au cjlindre. Supposons la masse du mobile M égale à l'unité, son point de départ sur l'axe des x^ et sa vitesse initiale Vq dirigée vers le bas ; les arcs descendants seront comptés comme positifs. Écrivons les composantes de l'accélération suivant la tangente, la normale principale et la binormale :
(i) -^^g'sma— /N, -=:Ncosp, g^cosa — Nsinp = o.
Comme p == — — - , on en tire
' cos^ a
tangp = -f , N' = ^' cos^a H — — ,
OU
-^ — = g sma — /cosa \/ ê" "*- ïn cos^'a
d,v^ 7. ds cosa,
gR tanga — / sjg^ R^ -f- (^< cos^a ^
Pour intégrer, je pose y/g^'R'-f- i^* cos*« = gB. 4- MJ^'cosa, et j'obtiens
IgRu
(i — M^jcosa
. 2ds COS^d 9.{î-h u^)du
' ' ^ ~ (i — tt^)[tanga— /— (tanga -+-/)i/*]'
La définition de u montre qu'il est compris eatre zéro
et I , et l'expression de v^ en fonction de u prouve que ces
deux variables augmentent ou diminuent ensemble. Lorsque
jf esl > tanga, l'équation (3) montre que du est toujours
négatif, ds étant ^o; u diminue depuis sa valeur initiale Wq»
déterminée par t^o? jusqu'à zéro; alors \^ est aussi nul et M
s'arrête. Au contraire, si tanga ;>/, le mobile ne s'arrête
f>Ius. Soit A=^4/ - — y> la valeur de (^^ correspondant
a «^ = A sera
A-2= -^;?-5- /tangua -/2.
Lorsque m© sera <^ A, du sera d'abord ^ o ; w augmentera J XX s qu'à A, mais il n'atteindra celte limite que pour 5 = oo; SX «^o]> A> u diminue et tend vers h pour 5 = 00; dans les ^^vix hypothèses, v tend indéfiniment vers h. Enfin, si *^o = A, 2/ et (^ garderont des valeurs constantes.
On peut trouver la valeur de u en fonction de ^ : il faut, ^^xxs l'équation (3), remplacer le coefficient de du par deux actions simples relativement à u* :
'>.fds cos* a 2 tan g a du 0. du
R tanga — / — (tanga -f-/)a^ 1 — u}
*^^xis le cas oùy est ^ tanga, on a pour intégrale
'^COS*a (l + Wo)(»— «)
B (i — Wo)(i -+- «)
^/2 — tang'a /— tanga 4- (/-t- tanga) ww<
our avoir l'arc parcouru jusqu'à ce que le mobile s'ar-
, il suffit de faire dans cette formule u = o. Lorsque
-^t; <^ tanga, l'intégrale ne renferme que des logarithmes \
^ est compliquée et ne saurait conduire à la valeur ex-
^^îte de s en fonction de t\ mais on peut prouver que la
courbe qui représente la loi des espaces en fonction du temps a une asymptote : ce sera un nouveau cas où l'équation différentielle d'une courbe ou d'un mouvement peut suffire pour en étudier les propriétés. Prenons égales les longueurs qui représentent l'unité d'espace et de temps.
Puisque, pour 5 = 00, Una-^- =z k, k sera le coefficient angulaire de l'asymptote ; l'ordonnée à l'origine sera
mais l'équation (2) peut s'écrire, en nous rappelant la valeur de k^,
d^çt ~~ cosa /2cos2a(X:*— p*) '
(^R tanga ^f^g^^i-^ (;* cos'^a)
P COS3a(X:3-+- k^ç-\. (;2 1- p3)^>
s est donc fini et déterminé.
L'hypothèse de /= tanga ne donne pas beaucoup de simplification; on trouve que p diminue toujours jusqu'à zéro, valeur qu'il n'atteint qu'avec s infini.
Le mouvement ascendant se traiterait absolument de la même façon : on compterait les arcs montants comme positifs et l'on n'aurait qu'à changer ^ en — ^î il y a toujours arrêt; et il n'est pas moins évident que le mouvement ascendant et le mouvement descendant ne peuvent pas être compris dans une même formule*
Détermination de la courbe par les propriétés données
du mouvement.
On peut demander sur quelle courbe un point, sollicité Dar des forces connues, doit être assujetti à rester pour que )0n mouvement satisfasse à des conditions données. Il faut ionner deux conditions relatives à la courbe ou au mouirement ; car on aura ainsi deux relations qui, avec les trois équations du mouvement et la condition de perpendicularité de la tangente à la courbe et de la réaction, permettent 3e trouver en fonction du temps les coordonnées du mobile 3tles composantes de la réaction. En général, on écrira les équations du mouvement comme nous l'avons fait dans les :as précédents, et l'élimination de la réaction et du temps sra connaître la courbe.
156. Déterminer dans un plan vertical une courbe *lle qu* un point pesant , obligé de la suivre et ayant pri-
ctîvement une vitesse horizontale \Jigh^ exerce une ^Gssion constante. En déduire la courbe sur laquelle il ^ i^t faire enrouler le fil qui soutient un pendule simple *stant dans un plan vertical pour que la tension soit >rhstante. (Agrégation, i84i.)
Je prends pour origine le point de départ O, l'axe des • étant horizontal et l'axe des j^ suivant la verticale ascen- ^aiute^ nous pouvons supposer que l'angle a de la tangente ^vec OX soit nul à l'origine. Je désigne par mng la réaction de la courbe, en convenant qu'au point O elle sera
dirigée vers le haut ou vers le bas selon que n sera positif
ou négatif : aux autres points sa direction sera déterminée
par la loi de continuité. On a toujours
mais l'expression de F accélération centripète dépend du sens de la courbure. Supposons que, dans le voisinage de l'origine, la courbe tourne sa convexité vers le bas : on aura
(a) -. =71^ — ^cosa,
et Ton s'assurera facilement que cette équation subsiste quand même cosa deviendrait négatif, pourvu que la courbure ne change point de sens. On conclut alors, des équations (i) et (2),
h — y ,, -sinarfa
n — cosa= 2 — = 2 (A — r) — î •
P '^ dy
Il est évident que n est >> i ; les variables se séparent, Ton a, en intégrant,
\n — cosa/ d'où
, , . , , sin arfa , , . , . cosac^a
dy — i{n — \Yh -> dx—i{n — i)*A
On peut faire croître indéfiniment l'angle a, et le sens ^J « la courbure ne change pas. L'expression de dx est \ïï^T,ggrable; mais, sans effectuer l'intégration, on peut serenc3r€ compte de la forme de la courbe. Quand a varie de zéro à
-y X ely augmentent régulièrement 5 pour a = -, Ja tangente est verticale 5 ensuite j^ continue à croître, mais^r décroît jusqu'à ce que a soit égal à tt; au point correspon dant A, la tangente est horizontale; on a
X prenant une valeur a 5 pui^, a continuant à croître, cp^
trouve un arc de courbe symétrique de Parc OA par rapport à la verticale de A, et le mobile revient toucher Taxe des^ aune distance 2a de l'origine; puis tout se reproduit dans l'ordre primitif. Sans calculer la valeur générale de Xy il est aisé d'avoir a. On a, en effet,
Xcos ot di.
1 r^' (/i — cosa)3
Or
I 71 — cosa ~ 4/^237'
Différentions par rapport à n :
r'^ dx / __ ]\'\
I / __ cosa\2 -'^y ni) ^
différentions par rapport à - ? puis divisons tout par n^ :
-=i3mz(n^ — j) 2, a=
(71 — cosa/ (^n-r- i)^s/n^—i
La courbe sur laquelle on doit faire enrouler le fil d'un pendule pour que la tension soit constante n'est autre que la développée de la précédente. Soient ^i, ^i les coordonnées du point correspondant au point x^ y; on a
Yi =Y -{- p cos a = V H- 2 — cos a
, r 3 cosa — n . ./]
L {n — cosa)3 ^ J
d'où
^ , .„- sinacosa rfa . ni / o s\n^ oidcn.
•^* ^ '^ (n — cosa/ ^ ' (/i — cosa;*
a 88 RECUEIL d'exercices
On a d'abord un point 0«, correspondant à O, où la tan
gente est verticale; puis y^ diminue jusquà a = - pou
augmenter quand a varie de - à tt; quant à ^i , il croît tou
jours; il y a un point de rebroussement A|, correspondar à A, avec tangente verticale; puis la courbe forme une suit indéfinie de festons égaux. Il est clair que Tare 0| A, pei seul servir à Tenroulement du fil pendulaire.
Supposons qu'au point O la courbe doive être au-def sous de sa tangente, c'est-à-dire que a diminue à partir d zéro; on devra prendre
— = — n^-h^cosa et p = — -^
p o o r sina<ia
Des calculs analogues à ceux du premier cas nous donne=
cosa — n = 2( r — A) sin a -j- , y = h — h\ ^ ) .
'•^ ^ dy -^ \cosa — 71/
La constante n est seulement assujettie à être < i . on la prend << — i^ y reste fini, on a la même courbe a dans le premier cas; toutefois l'origine en est le point plus haut, au lieu d'être le point le plus bas. Lorsque «. < compris entre i et — i, on peut le représenter par cos et si p est l'angle compris entre zéro et — tt, dont le cosîn soit n, on voit que, pour ol=^^ y ei aussi x sont infini la direction asymptotique fait l'angle P avec l'horizontal' mais l'asymptote est rejetée à Tinfini ; en effet, son ordonna à l'origine est
^(i— 71) rP cosl(p — a)rfg
in Jo sinî 1 ( p — «) sin» j (? -^^^
Comme la quantité sous le signe /, multipliée par (^ — ^^^ reste finie pour a = [î, l'intégrale est infinie.
SUR LA MtCkmqVE RAT lOîï P« ELLE. 289
Pour /i = o, on a
pour Al = I , on trouve l'axe des x,
137. Déterminer dans un plan vertical une courbe sur laquelle un point pesant, assujetti à glisser sur elle sans éprouver de résistances passives , exerce une pression égale au produit de la composante normale de son poids par une constante c : cas où Von peut intégrer jusqu^ au bout. (Paris, i865, 1871.)
Il serait encore facile de résoudre cette question en considérant la force vive et l'accélération centripète; mais, pour choisir les signes qui figurent dans l'expression de cette accélération, il faut distinguer plusieurs cas : on évite cette discussion en se servant des équations de Maclaurin, qu'on ne doit pas perdre de vue.
Plaçons l'origine au point de départ O, l'axe des^ étant horizontal, l'axe des y suivant la verticale montante ; les équations du mouveipent sont de la forme
(i) m-^=NcosX, /n-^- =— m^H-NsinX;
la direction normale suivant laquelle on compte N positivement fait l'angle \ avec OX; la projection du poids sur cette direction est — /n^sinX; la pression, estimée aussi suivant la même direction, est — mgc%\n\^ et N doit être représenté par mgc^vaX.
En appelant igh le carré de la vitesse initiale, on a
enfin l'on a, en supposant \ exprimé en fonction
De S.-G. — Rcc. 19
dx ^ dv
—, — hlanff A -7dt ^ di
d^x ^ d}y I d\ dy^ __
Si, dans cette dernière relation, on remplace les dérivées par leurs valeurs (i) et (2) en tenant compte de la valeur de N, on a l'équation de la courbe demandée
dX c^sinX cosX -\- ^iangX(c sin'X — i)-+-2^(A — ^);>~ = o
ou
(c — i) 7—- h 2 cotX c?X = o.
Posons c — 1 = 2/1 et intégrons par logarithmes: on trouve, a étant une constante,
\-^^) -''""'^^dx^-^dy^' d'où
dx=^-^^'-:'L^'^^-^.
^â^"—{fi—yy^
Pour qu'on puisse intégrer une dernière fois, il faut ^E3t il suint que ou soit entier ou, en un mcz^ t,
^ 2/1 2 Al 2 ' '
que n soit l'inverse d'un entier quelconque [jl. Donner anis à [X les valeurs simples — 2, — i, i, 2 ; les valeurs corr^^s-
pondantes de n sont > — i, i, -> et celles de c, z&i*o,
— 1 , 3, 2 ; les valeurs de dx sont
„ , dvsja , adv
Les intégrales de ces différentielles sont bien connues, et Ton trouve pour la courbe demandée :
1** Une parabole dont la directrice esty = h;
2® Une chaînette tournant sa convexité vers le haut ;
3® Une circonférence dont y= h représente un diamètre ;
4** Une cycloïde dont^ = h détermine la base.
La loi du mouvement est donnée, dans le cas général, par l'équation
dt =
v/2^(A —y) ^a^'^—{h —yf"'
1S8. Trouver une courbe plane telle qu'un point obligé de la suivre, et partant d*un point donné O {Jig- 11) de cette courbe, sous V action d'un centre K qui
Fig. 21.
V attire proportionnellement à la distance, arrive en un point quelconque M de la courbe dans le même temps que s^il s'était ma sur la droite AM, Vç^ étant nul.
(OssiAN Bonnet.)
Soient M, M' deux points de la courbe infiniment voisins; le mobile doit parcourir les arcs OM, OM' dans le même temps que les cordes OM, 0M^ Soit P le point où arrive le mobile qui suit la corde OM' à l'instant où celui qui suit la courbe passe en M, tous deux étant partis ensemble de O ; nos deux mobiles devront parcourir dans le même temps, l'un la droite PM', l'autre l'arc MM'. Comme le théorème des forces vives a lieu, les vitesses en P et en M
diffèrent infiniment peu; il faut donc PM' = arc MM' ; le triangle PM'M est isoscèle et M'= ir — 2M'PM.
D'autre part, il est aisé de démontrer que, si l'on considère des mobiles, partant ensemble du point O, attirés vers le point A et suivant des droites issues de O, le lieu de leurs positions simultanées ou courbe synchrone est un cercle dont le diamètre OC est dirigé suivant OA ; les points O, P,
M, G sont donc sur un cercle, M'PM = OCM = - — 0 en
prenant OA pour axe polaire ; il en résulte
M' =26, — ,— = tancraO, r'=c2sin2Ô. dr °
La courbe demandée est une lemniscate de Bernoulli, tan- gente à OA, et dont le paramètre est quelconque.
lo9. Des tautochrones. — Trouver sur une surface donnée une courbe sur laquelle doit se mouvoir un point sollicité par des forces connues, pour quil arrive e^m un point A de cette courbe dans un temps constanmm quel que soit le point d^oà il part sans vitesse initial^^:
Le mouvement d'un point sur une courbe est détermiczzi par la composante tangenlielle de la force motrice, comi le mouvement sur une droite l'est par la force agisses suivant cette droite; si donc une courbe doit être tant chrone pour un mobile sollicité par une force de natu donnée, il faut que la composante tangenlielle soit, chaque instant, égale à la force de même espèce qui p duirait un mouvement rectiligne tautochrone.
Considérons d'abord des forces qui ne dépendent q de la position du mobile : on sait que, dans le mouveme rectiligne tautochrone, la force motrice doit alors être pr portionnelle à la distance s du mobile M au point d'à rivée A ; la force tangentielle sur une courbe tautochro
aura la même expression, s désignant Tare AM, et cette condition suffit pour déterminer la tautochrone sur une surface. Lepoint A est nécessairement une position d'équilibre. Soit à chercher dans un plan la tautochrone pour un point attiré vers un pôle O avec une force m\^r. On posera
ds
— m\'^r-r' = — -TTP^ ^> s ds = '* ' „" r dr = c^r dr,
