MM' OP MM'>OP

Or on a, en se reportant à la valeur de -t->

dr

PM = /' -5- = - Jr^—a^, ds c^

0P=/? = Vr2— PM = -/(c2— i)r2-haS

'p = MM' = ^= -^-^/(cî-i)r2-ha2 =4^ >0P: dp c*— I c' — I

enfin à l'arc ds sur U correspond sur D un arc rfp qui a même angle de contingence que ds\ on a donc, pour le rapport des rayons de courbure,

M^M*^ do dpdr cr y/r» — «^ __ PM

MM' " ds ~ dr ds ~~ Ji^t nr^-r- a* ^'^ " ^^

Nous avons trouvé (n** 132) que, si un mobile se meut en ligne droite dans un milieu dont la résistance est kv^^ pour qu'il arrive au point A de cette droite dans un temps constant, il doit être attiré vers le point A par une force dont la valeur, fonction de 5, est

le temps de la chute étant - \, Pour qu'un point assu-

jetti à se mouvoir sur une courbe dans le même milieu résistant arrive en un point A de cette courbe dans un temps constant, il faut que la composante tangentielle de la force extérieure ait une valeur égale à — F. Supposons le mobile sollicité simplement par la pesanteur et la courbe dans un plan vertical ; prenons pour axe des x la tangente au point le plus bas, pour axe des y la verticale ascendante; nous aurons en chaque point de la tautochrone

Comme -^ doit être compris entre — i et -Hi, 5 a d.< limites ; il faut

ce qui donne, du côté des x positifs, un point d'arrè t tangente verticale. Si l'on donne à s des valeurs négativ^ on pourra aller jusqu'à — 00 quand 'k^gk'^ 1 5 il y ^lix

une branche infinie au-dessus de OX avec des abscisses négatives. Si, au contraire, 'k*gk<^i^ s ne pourra atteindre— 00, et l'on aura un second point d'arrêt. Quant au mouvement sur ces courbes, il est donné par l'équation du travail

a étant la valeur initiale de s. Une nouvelle intégration donne

I — e-^^ = (1 — e-*«) cos ^ •

Le mobile descçnd pendant un temps égal à -X et remonte

pendant un temps égal ; l'arc négatif 5| qu'il décrit est donné par l'équation précédente où l'on fait t = iCk. Pour le mouvement ultérieur, il faut changer le signe de kv^ dans l'équation du travail, et la courbe n'est pas tautochrone du côté des arcs négatifs.

160. Des courbes tautochrones planes dans le cas -du frottement, — Considérons un point M, de massé i, sollicité par une force F qui ne dépend que de sa position, et cherchons sur quelle courbe G il doit se mouvoir pour arriver en un point A dans un temps constant T, en supposant que Po soit nulle et que" G exerce une force de frottement yN. Nous ne pouvons résoudre la question à l'aide de résultats relatifs au mouvement recti ligne, caria composante normale de F et la courbure de G interviennent dans le calcul de N ; pouravoir des calculs simples, nous supposerons que la courbe G soit dans un plan donné qui contient toujours la force F. Soit s l'arc de courbe compté à partir de A jusqu'à un point quelconque de G, où la tangente fait l'angle a avec une droite fixe OX : les composantes tan-

genlielle et normale de F, P et Q, peuvent s'exprimer en fonction de s et de a : la direction suivant laquelle je compte positivement Q, aussi bien que p, fait avec OX

l'angle a -j- -• On a toujours p = -,- et

le signe étant choisi de manière à donner pour N une valeur positive. Le théorème des forces vives nous donne, en supposant que M marche dans le sens où s décroît,

d,v^ = 2(P -+-/N) ds^i}^ ds±. ifl- — Q^ ds\

je ne prendrai que le signe supérieur, en convenant de changer y en — /* si, en mettant le signe -f- dans l'expression de N, on trouve une valeur négative; l'équation pré-

ds cédente donne, en remplaçant — par rfa,

d.v^— ifv^ d% = 2(P — fQ)ds,

SI l'on désigne par h la valeur initiale de 5, on a rint< grde

(;î=e2/a f a(/Q — P)c-î/ac?5.

On en déduit, pour dt, une valeur de même forme q^ «-im- e celle que nous avons trouvée n** 132, et l'on est conduis â poser

(i) f 2(/Q-P)e-î/aû?5 = M, f =«0,

e-f^ ds — ^{ u) du :

on obtient alors, pour la loi du mouvement de M,

^Uq — U

Pour que t soit égal à T, quel que soit Mo, quand on

prend zéro pour limite inférieure de l'intégrale, il faut

T Cn.** 132) que ^iu) se réduise à — —^ et Ton a

comme d'ailleurs la première des équations (i) donne

2 (/Q — P ) e-2/ût ds = du, ojtè. trouve, en éliminant du et ds^

E>i£rérentions les deux membres :

^e-f^[fdÇl - d? -fdoLi/Q - F)] = -^^ -^.

^ '^ yu

ïgalant enfin les valeurs de du données par cette équa- ^^cm et par l'équation (3), nous avons une relation qui peut ê tre considérée comme une équation différentielle de G,

i^) ds = ^'^[/d(i-dP-fifQ-F)doi].

li'autre part, nous sommes en mesure d'effectuer l'inté- STation indiquée dans l'équation (2), et nous avons pour ^a loi du mouvement

^ r= — arc cos j u = Uo cos^ —7= •

•rc Wo 2T

■*^>c. trayons les racines carrées et remplaçons \^u par sa (^> (/Q-P)<:-/« = (/Qo-Po)e-/«.cosJ^.

Appliquons les résultats précédents au cas où F est poids du mobile ; en supposant OX horizontal, on a

P= — ^sina, Q= — ^cosa,

et, si l'on faity= tangcp, l'équation (5) devient

on trouve aisément qu'elle représente une cycloïde ei gendrée par un cercle de rayon ?p^ — ^-^ roulant sous ur horizontale. L'équation (6) devient

sin(a — o)e-3ttang? = sin(ao — ç)e"«oiang? cos— =•

Le point d'arrivée A n'est plus au bas de la cycloïd mais en un point où a est égal à cp : c'est une position d'( quilibre limite. Le mobile ne se met d'ailleurs en mouv ment que s'il est d'abord plus haut que A; il dépasse • point et s'arrête au bout du temps 2 T en un point M4 po lequel on a

sin(a — Q)e-aiang? = — sin(ao — îp)e-^otang?.

Soit A' le symétrique de A par rapport à l'axe de la c cloïde; si M| est sur l'arc AA', M y restera indéfînimei mais, si M, est au-dessus de A', le mobile fera une secon excursion analogue à la première, le point de tautochr nisme étant A'.

161. Etude géométrique des brachistochrones. — I brachistochrone est la courbe que doit suivre un point mî tériel soumis à l'action d'une force connue F pourqa arrive d'un point donné à un autre dans un temps mÎD mum. On peut établir géométriquement ses propriété caractéristiques lorsque F admet un potentiel, c'est-à-di:i

quand X dx -{-Y dy -\-Tjdz est la différentielle d'une fonction ç(^, JK> ^)' L'équation cp = const. représente une surface de niveau en chaque point de laquelle F lui serait normale : quand le mobile se trouve sur l'une de ces surfaces, sa vitesse a une valeur correspondante, donnée par le théorème des forces vives.

Je m'appuierai sur un lemme bien connu : soient A, B deux points situés dans deux régions Jlo, all> séparées par une surface S; pour qu'un mobile, marchant dans la région X avec une vitesse a, dans la région iPo avec la vitesse 6, aille de A en B dans un temps minimum, il doit suivre une ligne brisée AMB dont le plan contient la normale à S en M; les angles i et r de cette normale avec AM et BM, que nous appellerons angles d'incidence et de traÂsmission, ont leurs sinus proportionnels à a et à 6. On peut l'établir à l'aide du théorème de Fermât : si M' est un point de S infiniment voisin de M, on doit avoir

AM'— AM BM'— BM

OU

MM' cos AMM' MM' cos BMM' , a " h ''

si MM' est perpendiculaire sur AN, il doit l'être aussi sur BM, ce qui établit le premier point . si on le suppose ensuite dans le plan AMB, cosAMM' et — cosBMM' seront égaux à sini et à sinr, d'où suit le reste du lemme. La route AMB tourne sa convexité vers la région où Ja vitesse est la plus grande.

Nous voulons trouver la route qu'il faut faire suivre à un point M, de masse m, sollicité par la force F, pour que, partant d'un point A avec une vitesse donnée, il arrive en un point B dans un temps minimum. Traçons entre A et B un très grand nombre de surfaces de niveau très rapprochées les unes des autres, et soient So, S|, S2, . . - , S«

n -H I de ces surfaces consécutives ; ^o? ^< ? • • • » ^« les vitesses que M prendrait sur chacune d'elles sous Faction de F. Cherchons la ligne brisée L que doit suivre, pour aller de A à B dans un temps minimum, un mohile (jl assujetti à la seule condition de se mouvoir avec la vitesse p^ dans la région comprise entre Sq et S^, avec la vitesse ^2 entre S< et S2, et ainsi de suite. Soient /no, /w< , . . . , /n„ les sommets cie J-j situes sur î^q, 04 , • • • ^ î^/i j Iq, if , 12? * * * 7 ^/z y ^oy ^\ > ^2î ••••)''« les angles d'incidence et de transmission correspondants. La position relative de deux côtés consécutifs de L est déterminée par notre lemme : donc 1® le plan de trois sommets m^^i, m^y rrik^x contient la normale à Sa en m^] 2° Ton a

Traitons la différence e^t de r^ et de ik comme un infiniment petit : on tire de la relation précédente

%\wik __ tk^o^ik ^k tan^iV

Vk ^ Vk+\—Vk^ Vk+i—Vk~ Vk

On obtient n équations analogues à la dernière en remplaçant k par I, 2, 3, . . ., /i; la somme des numérateurs des premiers membres, divisée par la somme des dénominateurs, a une valeur comprise entre la plus grande et la

plus petite des valeurs de — ^; si donc on pose

(i\ ei-t-£2H-...-4-en ^ tangi'i

\ différera peu de l'unité quand la longueur

/Wo lïl\ JHz . . . ^^71+ 1

sera peu considérable.

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3oi

Passons à la limite en supposant les surfaces S infiniment rapprochées les unes des autres; la ligne brisée L devient la courbe C que doit suivre [x pour aller de A en B dans un temps minimum, et les deux propriétés que nous lui avons reconnues s'étendront à C : i° le plan qui passe par un point m de cette ligne et par deux points infiniment voisins, c'est-à-dire le plan osculateur, contient la normale à S en m ; 2° en supposant que la portion /Wo m^ m2 . . . m„^<

de L devienne un arc ds de C, e^ -f- e2-H • • • -H ^/i sera la

ds courbure — de cet arc, et, X devenant égal à l'unité, l'équation (2) donnera

^ ' pdv ç

Revenons au point M : quelle que soit la route qu'on lui fasse suivre sans qu'il éprouve de résistances passives, sa vitesse dans les différentes couches de niveau sera la même que celle de (jl, et il ne saurait arriver en B plus tôt que le point [x, qui n'est assujetti qu'à avoir une vitesse déterminée dans les différentes régions : C est donc la brachistochrone, et elle est déterminée par les deux propriétés que nous avons établies, mais que nous allons énoncer sous une forme nouvelle. Nous dirons d'abord que son plan osculateur en un point quelconque contient F, dont la direction est normale à la surface de niveau qui y passe. En second lieu, comme ds = i> dt, nous tirerons de l'équation (3)

( i ) m — = sin i X : m -7- :

^ ^ ^ p cos i dt

la force tangentielle f^-r. divisée par cost n'est autre que F, et, comme la force est dans le plan osculateur, cile fait l'angle i avec la normale, et le second membre de (4)

est égal à la projection de F sur cette droite. Mais il faut remarquer que G tourne sa convexité du côté où ç va en augmentant, c'est-à-dire du côté de F, en sorte que Fsint est la projection de F sur le prolongement du rayon de courbure, et il convient d'exprimer la seconde propriété caractéristique de la brachistochrone par l'équation

(5) m— = — Fcos(F, p).

La force centripète a pour valeur générale

N-+-Fcos(F, p);

en comparant ce résultat avec l'équation (5), on en concl que la pression supportée par une brachistochrone

double de la composante normale de la force correspo dante.

Quand les surfaces de niveau sont des plans parallèl leurs , normales sont parallèles ; la brachistochrone

plane; d'ailleurs r^ devient égal à (^a+o ^^ l'équation

sin i t . .

montre que est constant ; cette relation constitue ■mji.ne

équation différentielle du premier ordre pour déterminex:* C, tandis que l'équation (5), applicable au cas général, est du second ordre.

Dans le numéro d'avril i886 des Nou{^elles Annales de Mathématiques, j'ai montré que, si la vitesse en A. est nulle, la brachistochrone est, en ce point, tangente à F, «t que sa courbure y est infinie. Je vais établir ici que, si des mobiles de masse /n, sollicités chacun par la force F, partent en même temps et avec la même vitesse du point A ^^ suivant diverses brachistochrones, le lieu de leurs positions simultanées à l'époque t est orthogonal à toutes ces courbes. Soient M, M' deux points du lieu infiniment voisins? ^^ supposons l'angle AMM' obtus, et par suite AM'M aig^ *

SCR LA MÉCAJVIQUE RATIONNELLE. 3o3

sur l'arc M'A, on peut évidemment trouver un point P in- > Animent voisin de M', et tel que PM < arcPM'; cela posé, si Ton fait suivre à une masse m le chemin APM, elle arrijvera en M, sous l'action de la force F, avant le temps /, puisqu'elle décrira le chemin PM avec la même vitesse qu'elle aurait eue sur PM' si on l'avait fait mouvoir sur le chemin APM' : donc l'arc donné AM ne serait pas le chemin qui mène le plus vite de A en M, comme on l'a supposé.

De cette proposition et du théorème de Fermât sur les minima, il résulte que, si, au lieu de donner l'extrémité B d'un arc de brachistochrone, on veut que cette ligne aboutisse sur une ligne ou sur une surface donnée, elle doit leur être orthogonale; et, de même, si le point A doit être choisi sur une ligne ou sur une surface données, la tangente à cette ligne ou le plan tangent à cette surface en A doit être perpendiculaire à la tangente à la brachistochrone en B.

La brachistochrone, pour un point assujetti à rester sur une surface donnée, a des propriétés analogues aux précédentes, sauf des modifications faciles à deviner : ainsi, dans l'équation (5), F représenterait la projection de la force motrice sur le plan tangent, et p le rayon de courbure géodésique. Je n'y insiste pas, et je passe à une applicatioji qui se rapporte au cas général et que j'ai indiquée dans la Note citée ci-dessus.

162. Déterminer la brachistochrone pour un point de masse i, attiré vers OTjpar une force égale à (f'(u), u étant la distance du mobile à OZ.

■ Pour que le plan osculateur en un point M contienne la perpendiculaire abaissée de ce point sur OZ, c'est-à-dire F, on doit avoir

xi^dy d'^z — dzd^y)-\-y(^dz d^x — dx d'^z) = o;

3o4 TIECUEIL d'exercices

intégrant et désignant par H une constante, on a

( I ) X dy —ydx = lî dz.

Aux coordonnées x,y]e substitue les coordonnées laircs u et i^^ je prends pour variable indépendante l'arc

de C, et je représente par des lettres accentuées les dérivé relatives à s ; Téquation (i) nous donne d'abord

Il s'agit d'exprimer la projection de F sur le prolon| ment du rajon de courbure en M; les angles \ (jl, v de rayon avec m, avec la perpendiculaire au plan ZOM avec OZ ont pour cosinus

cosA = p(m — a^*), cos(x=- — ^~"^» cosv =: p^'';

ces formules peuvent se déduire de ce que les cosinus directeurs de p par rapport à OX, OY, OZ sont pa;'', ^ — ^ j\ pz". Si l'on tient compte de (2) et de l'identité

d'où l'on peut tirer u" en fonction de 2', z" et m', on t,j^— "ou-

vera

. / U^\z'z' Upz'

cosA = — p(fH r — ry cos a = — - — , cosv=p^

et, par suite,

Sil'onap^z opour w = a, v^ est égala 2 cp (a) — i^^^^)] l'angle de F avec le prolongement du rajoh de courL:^"''^^ est X, et l'on a

p2 FcosX / IlsN/^j^Xî, / H«\5 -2ï'

SUR LA MÉCANIQUE HATIONNELLE. 3o5

On peut diviser par ( i H i ) ~' ^^ ^^^^ trouve

intégrant, et ayant ensuite égard à l'équation (2), on a

c'est Téquation différentielle de la projection de C sur OXY.

163. Brachistochrone pour un point pesant assujetti à- se mouvoir sur une sphère : méthode analytique.

Je vais indiquer une solution fondée sur le calcul des variations et plus rapide, dans le cas présent, que la solu- ^-lon géométrique. Définissons la position du mobile M par 1 angle 6 du rayon OM avec la verticale descendante OZ et P^ l'angle if du plan ZOM avec un plan fixe ZOX. Le Carré ds^ d'un élément de ligne tracée sur la sphère est

R«(^e«-4-smîe^t]^«),

^^ si j au point de départ, 0 = a et ç^o = o, le carré de la vi- ^•csse du mobile dans une position quelconque sera

2R^(cos6 — cosa); ^^ temps que le mobile met pour aller de A en B est, en posant ^'=f,

r"^ ^9\/i-r-f-^sin^e Ja /a^Rl^cosO — cosa)

Pour que T soit minimum, il faut que sa variation soit ^Ue; on peut supposer que 0 ne varie pas, et la variation ^ T ne sera due qu'à celle de i/ : si l'on désigne par V rfO

De S.-G. — Rec, 20

3o6 KECUEIL d'exercices

la quantité sous le signe / , on a

parce que S<|^ est nul aux limites : pour que 8T s'annule, on doit avoir

___ ^ ' ; :^ COQSt.

àV v^i-h^/'^sin^ô v/'2^f^(cosô — cosa)

Si Ton prend la constante sous la forme — . on

aura, pour l'équation de la brachistochrone,

,,„ (cos6 — cosajrfO*

ûfd' = ^ '

^ sin20(rt* sin*6 — cosô-hcosa)'

la courbe représentée par cette équation a une forme analogue à celle d'une épicycloïde sphérique comprise entre deux cercles horizontaux, les points de rebroussement étant sur le cercle supérieur.

1. Mouvement d'un point assujetti à rester sur une spirale logarithmique et attiré vers le pôle par une force — ;^> ^'o étant

nulle. (Gilbert.)

En appelant {x l'angle des tangentes avec les rayons vecteurs, on trouve

t = T 1 / -^ ( ^r(ro— r) -+- r© arc cos 4 / — ) •

Acosfjiy 2 V^ ' y raj

2. Mouvement d'un point assujetti à rester sur une droite, attiré vers un point A par une force 7ncp(r), et légèrement écarté de sa position d'équilibre.

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. So^

Si a désigne la distance de A à la droite, et si Ton néglige — ,

, /9(â~) 5 = 5o cos t i/ -i-^ — - •