Mouvement d'un point m assujetti à rester sur la parabole
jr^ = ipx, et sollicité par une force dont les composantes sont
la vitesse au sommet est cp. Pression sur la courbe. (Fuhrmann.) Grandes réductions : y = cpt, N = mp.
4. Mouvement d'un point pesant sur une hélice ordinaire dontl'axe est vertical; pression sur la courbe. Pas de résistances passives.
Si Po et ^0 sont nuls, z = - gf^ sini; la pression
SX
ITtS" cos l
fait avec la normale principale un angle dont le sinus est , — •
5. Mouvement d'un point pesant assujetti à rester sur une parabole dont le sommet est situé verticalement à une hauteur a au-dessus du foyer; ce foyer exerce sur le mobile une action répulsive F, proportionnelle à la racine carrée de la distance ; au
sommet, cette force est -mg, et la vitesse du mobile isjag\
pression sur la courbe. (Gaen, 1878.)
F = - mg 1/ — ; on exprime p' et le travail en fonction de r :
r dr^ -7;i = 7.gr I I -t-
l^/i =. ÂS^-.arctang4/v^^^
La pression se réduit à - mg»
3o8 RECUEIL d'exercices
6. Sur la gorge d'une poulie de rayon a, située dans un plan vertical, est enroulé un fil sans masse, de longueur /, portant à son extrémité un point pesant; déterminer le mouvement que prend ce point quand on lui imprime une vitesse horizontale Çq : cas des petites oscillations. ( J. Vieille.)
Si le fil, en se déroulant, fait l'angle 6 avec la verticale,
(/-4-aô)*^ = vl -i-2^[(/-haô)cos6 — asinÔ — /].
7. Cherchier comment varie la vitesse d'un point pesant assujetti à rester sur un cercle dépoli situé dans un plan vertical.
6 étant l'angle de la verticale avec le rayon qui passe par le mobile, la considération de la force vive et de l'accélération centripète donne {voir n** 153)
çz = Ce-»/Ô -h -rëjji [(i — ^ f^) cos8 — 3/sine].
8. On donne dans un plan vertical une courbe telle que la partie d'une tangente quelconque comprise entre le point de contact et une horizontale donnée OX ait une longueur constante a : déterminer le mouvement d'un point pesant, assujetti à rester sur la tractrice donnée, partant du point le plus élevé sans vitesse initiale, et éprouvant de la part du milieu ambiant une résistance
égale à ; il n'y a pas de frottement.
dy
uiA uc ja tiauLiiuc est
vail donne
L'équation de la tractrice est -^ = — — : le théorème du tra-
ds a
d,ç^ = — 2g dy -{-^ — dy, d'où v^=2gy —•
Remplaçant p par -~^, on peut intégrer, et l'on trouve
9. Sur un paraboloïde a?* h- ^2= ^pz, Taxe des z étant dans le sens de la pesanteur, trouver une courbe telle qu'un point pesant, assujetti à la suivre, descende de quantités égales dans des temps égaux.
La projection sur le plan des xy est définie en coordonnées po-
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. SoQ
laires par une équation de la forme
10. Déterminer dans un plan vertical une courbe passant par un point 0 et telle qu'un point pesant, assujetti à la suivre, soit à une distance du point 0 représentée par r = at. (Leibnitz).
On trouve — = =dzdri/ — : la courbe a un rebroussement /sine V r
en 0 si, pour r =o, 6 n'est pas nul; elle touche en une infinité de points l'horizontale du point 0 au-dessous duquel elle est tout entière; on peut prendre une partie de cette horizontale comme appartenant au lieu.
11. Un point pesant est assujetti à se mouvoir à l'intérieur d'un cercle vertical : déterminer la vitesse Vq qu'il doit avoir au point le plus bas pour qu'il se détache avant d'atteindre le point culminant et décrive un arc de parabole qui aille passer au centre du cercle.
pJ = (in-v/3)^R.
12. Déterminer dans un plan vertical la courbe que doit suivre un point pesant pour qu'il exerce sur elle une pression égale à X^'*, l'axe des y étant dirigé dans le sens de la pesanteur et Çq
égale à yjigy^- (Varignon.)
dx^±.\y^dy\{%n-\-\fg'^-^\'^y'^^\ «. ( Fof> nM57.)
13. Déterminer, dans un plan P, une courbe C qui passe en un point donné A, et sur laquelle doit se mouvoir un point M, de
masse i , attiré vers un peint 0 de P avec une force ^ , de ma-
OM
3X nière que la pression exercée sur G soit toujours égale à — - et
fasse un angle obtus avec MO. Quand M passe en A, sa vitesse est telle que, s'il pouvait quitter G, il décrirait un cercle de centre 0 et de rayon a= OA. (Gaen, i885.)
La vitesse en A est — ; aux autres points, t''= -jj la courbe est concave vers le pôle 0. Soit/? la distance de 0 à une tangente ;
3lO RECUEIL d'exercices
on a
p« X dp 3X p\
p r^ r dr ~ a^ r r^
d'où
r* p = —- et r' = a'cos3ô.
G appartient à une famille de courbes étudiées par M. Roberts.
14. Trouver la courbe plane G sur laquelle doit se mouvoir une
masse m, attirée vers Forigine par une force — r — > pour que la
pression exercée sur G soit égale et opposée à la composante normale de Fattraction : pour r = a, p*= aXa. (Gaen, 1881.) Méthode analogue à la précédente : G spirale logarithmique.
15. Trouver l'équation propre à caractériser la courbe G sur laquelle doit se mouvoir uii point pesant pour que, partant sans vitesse d'un point quelconque A, il arrive .en un point 0 au bout d'un temps égal à F(A), si h représente la hauteur du point A au-dessus du point 0. Gas où G doit être dans un plan vertical et
F(A)de la forme —^ — 7=^' (Abel.)
On doit avoir, Oz étant vertical,
ds , -j- dz
0 Và-z donc, d'après les calculs du n" 133,
ds v/ï^iv \ . •/ N l¥{x)dx — =^—^^{z) SI ^{z)= \ \1
Dans le cas particulier proposé,
-T- = — ; ^ i8aa7*=«(3a — 2-5)*.
^^ %yjiaz
16. Déterminer dans un plan vertical une courbe passant en un point 0 et telle que les temps nécessaires à un corps pesant pour parcourir un arc OM de cette courbe et la corde OM soient dans un rapport donné a, quel que soit M, la vitesse au point O étant nulle dans tous les cas.
Analytiquement, ou par la méthode du n* 158, on trouve, l'axe
polaire étant vertical,
dr^ dr
(a* — i) cos^ 6 ^ ,,,, -h 2 a' sin 6 cos 0 — ;- -h a* sin* 0
— cos2 0 =o.
M. Alfred Serret a donné cette équation dans le Journal de Liouville, t. IX; mais il faut encore discuter l'intégrale, qui est
ad-i
= (cos6) (asin0-i-v^a4 — cos^O) (sinO -h/a'^ — cos*Ô)
— va*— 1
Quand a > i, la courbe est formée de deux ovales q.ui touchent OY en 0 : le mobile doit marcher dans le sens OAB ou OA'B', et il faut lui imprimer en 0 une vitesse infiniment petite; la courbure des branches OA, OA' en 0 est infinie; celle de OB, OB' nulle. Quand ot < i, la courbe définie par l'équation a deux branches infinies et deux qui se raccordent en 0 où leur courbure est nulle ; il faudrait un temps infini pour parcourir une corde infiniment peu inclinée, et le problème est impossible.
17. Trouver dans un plan vertical une courbe AMB sur laquelle doit se mouvoir un point pesant, éprouvant de la part de l'air une résistance mkv^, pour que, lancé du point A avec une vitesse déterminée, il arrive au point quelconque M avec une vitesse égale à celle qu'il acquerrait en tombant verticalement dans le même milieu d'une hauteur égale à l'arc MB. (W. Walton.)
En prenant A pour origine, la courbe est définie par l'équation
18. Déterminer dans un plan une courbe tautochrone pour un point attiré vers un point 0 du plan avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance
3l2 RECUEIL d'exercices
On trouve une série d'équations de la forme
c'^ dr . ,r — a ... ac^—i(r — a)r^ ,,
--=5, 5*=2c2 , û^e*= — ^^ -—^—dr^,
r^ ds ar i(r — a)r^
19. Même question, en supposant la courbe dépolie et Tatiraction proportionnelle à la distance (G. Darboux).
On définira la courbe comme l'enveloppe de
X cosa -t-^ sina = F(a),
et Ton trouvera {voir n° 159) que la courbe a une équation de même forme que lorsqu'elle doit être polie.
