MOUVEMENT SUR UNE SURFACE FIXE
Cas où la surface est donnée et parfaitement polie.
164. Un point M, assujetti à se mouvoir sur une surface S parfaitement polie, peut être traité comme un point libre si, à la force motrice F, on adjoint la réaction normale N de S; les équations du mouvement sont de la forme
ijt^ S/ d^ V d^ z
si f (^, J^, 2) = o est l'équation de S, on aura
Lorsque X dx -h Y dy -{- Tj dz est une différentielle exacte, z étant considéré comme fonction de x et de y, la vitesse est donnée par l'intégrale des forces vives; on peut obtenir, comme il suit, une équation de la trajectoire. On a
. dx ^ dx d^x ^ dv dx ^d^x^
^^^ dt^^ds' 'dF ^ di ds'^^ ~ds^'
dans Jes équations (i), remplaçons -3— > -rj^^ -ni P^r cette
dv
valeur et les valeurs analogues et éliminons ^ ^t N ; nous aurons l'équation dont il s'agit, ^ étant connue :
mv
mv
ds*
ds
Y ^ ds
ds
Soient MN la normale à S, MT la tangente à la trajectoire, MC sa normale principale, MG sa normale située dans le plan tangent à S : l'équation (3) exprime que la
mv^
projection de F sur MG est égale à cosGMG, ou au
produit de mç^ par la courbure géodésique de la trajectoire.
La réaction N peut se déduire de l'une des équations (i), mais on a une valeur symétrique en ajoutant ces équations multipliées par <p!p, (p^, 'p'^ : il vient
il suffit de remplacer -j-^y . . . par les valeurs (2) po
voir que N est égal au quotient de mv^ par le rayon courbure de la section normale faite dans S par le plî NMT, moins la projection de F sur MN. Pour calculer en fonction de x^ y, ^, on tirera de l'équation de S
, d^x /d^o dx^
dt^
\âx'^ dt^
d^^ dx dy àx dy
dx dy\ 5^ ~di)
Il faut enfin signaler le cas où le théorème des ^\^rcs s'applique à la projection sur OXY, ce qui a lieu lorsque F
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3l5
est contenue dans un plan passant par OZ et que S est une surface de révolution autour de cette droite.
165. Mouvement (Vun point pesant M placé sur un cjylindre droit vertical et attiré vers un centre A par zi. ne force proportionnelle à la distance. (Paris, 1874')
Je prends pour axe des z l'axe du cylindre et pour axe des X une horizontale passant par A; on a pour l'équation de la surface
a?î t j,-î= Rîj X dx '\- y dy — o.
Soient I la masse de M, a la longueur OA, [jl^ l'attraction à l'unité de distance; les équations du mouvement seront
=,x«(x-«)+Nj-,
'ajoutons les deux premières multipliées respectivement P^^^ z>.dx, idy :
a^ x •/J V dx^ —^ dv^
^ <ix -7-- H- 2 ûÇv -rfr = 2 w«a dx, -j-r-^ = 2 a' aa: -h G.
dt^ -^ dt^ ^ ' dt^ ^
P ^Sons X = RcosO, y= RsinO, et désignons par eu et a
^^ valeurs initiales de -1- et de 6; cette intégrale peut
^ écrire
^ ^> R^-j- = Ru>«-i-2(jL«a(cosO — cosa).
^^ant à la troisième équation (i), elle s'intègre séparo-
oscWlaûo'''
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SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3l^
je lire
mais
dx dy d^x d^y dx^ dy^
donc
Remplaçant -^ par sa valeur (2), *
N = H>-'(R •+ lacosoL — 3a cos6) — Rw*.
Cette force diminue avec cos6; il suffit de donner à cette ^^i^iable ses valeurs extrêmes pour reconnaître si N peut ^ ^.linuler.
166. Etudier le mouvement d^ un point pesant sur un P^^^aboloïde de révolution dont Vaxe est vertical et la ^^r^,çexité tournée vers le bas; discussion générale. (ï^siris, 1861, 1872).
On peut écrire l'équation du paraboloïde
^^) x^'\-y^ — 2jD^ = o;
^^y si la masse du mobile M est l'unité, les équations géné- ^^les du mouvement nous donneront
l d^x Na? d^y N^ d^z N/>
<:i) |'3ï«""""Â"' "^~T"' 'dt^~~'^ Â"'
^Joutant les trois premières multipliées respectivement P^f 2 dXy 2 dyj 2 dZj et tenant compte de l'équation (i),
3l8 RECUEIL d'exercices
on trouve l'équation des forces vives, qui a pour intégrale dx^ dy^ dz^ , ,
Si Ton multiplie la première équation (2) par — y^ la deuxième par x et qu'on les ajoute, on a
d^y d^x dv dx
C'est l'intégrale des aires appliquée au mouvement de la projection sur le plan XY, et cette équation pouvait être écrite à l'avance, puisque les deux forces qui agissent sur M, la pesanteur et la réaction de la surface, ont un moment nul par rapport à l'axe des z.
La nature de la surface et la forme des intégrales premières conduisent à prendre des coordonnées semi-polaires u^ ^ et z. Appelons a la valeur initiale de u, et e l'angle de la vitesse initiale Vq avec la tangente au parallèle : les intégrales des aires et des forces vives deviennent
de plus l'équation de la surface donne
w' = 2jDz, udu =p dz.
Éliminons i( et u entre ces équations et les équations (3) faisons vl = 2^A, et tenons compte de ce que a^=^ ipzQ nous trouverons
(4) ^^* = ^^ [— za-t-(zo-HA)^ — A^ocos'e].
z doit rester compris entre deux limites égales à
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Sig
Pour que ces limites se confondent, il faut la double condition ^^,= A, e = o; dans ce cas, le mobile parcourra uniformément un parallèle de la surface avec la vitesse
y/sg^^oî comme la longueur du parallèle est T.izsJipzQ^ le temps de la révolution sera inzi/-; il est le même pour
tous les parallèles (*).
On peut obtenir la valeur N de la réaction en ajoutant les équations (2) multipliées respectivement par x^ y^ p : on en déduit
mais, en différentiant deux fois Péquation (i), on trouve
d'^x d^y d^z dx^ dy^ dzj ___ j,
^'d^'^^'dJi ~"^"SÏ2 ^"^ dt^ "^ tt^ " dt^ ^ '
nous avons calculé v^ et ^'*, et nous savons former la valeur ^e N.On peut aussi bien la déduire de la troisième des équa-
(*) Sur une surface de révolution quelconque à axe vertical, on peut donner à un mobile pesant une vitesse horizontale c^, telle qu'il reste sur le parallèle où il est d'abord; il faut et il suffit que la résultante de la force Centrifuge et de la pesanteur soit normale à la surface. Soient u le rayon ^ parallèle, Y l'angle de la normale avec l'horizon; la condition est
^cosy = — siny ;
^ temps de la révolution sera
tangY.
^Ur que ce temps soit le même pour tous les parallèles, il faut que u tangif ^^l constant; or, en appelant du et dz les variations correspondant à un P^tit arc de méridienne,
du , ,
tangY — T * udu = c dz) az
^ ii^éridienne est nécessairement parabolique.
lions (2) : la dérivée -r-^ qui y figure s'obtiendra en difie-
rentiant Téquation (4) par rapport à ^ et supprimant le
dz facteur commun -7- • On trouve en définitive
dt
valeur toujours négative : donc le mobile, qui exerce une pression égale et opposée à N, appuie constamment sur le côté concave de la surface.
Pour étudier le mouvement, revenons à l'équation (4). Nous ne restreignons pas la généralité du problème en
plaçant Torigine du temps à l'un des instants où z est mi-
dz » .
nimum, -^ nul : il faut faire e = o, et si nous désignons
encore la vitesse initiale par sjigh^ l'équation (4) nou< donnera
dt^^^J ^i^^
2 V ^(-— -^oj
a* b^ Il di
Nous remplacerons ^, Zq^ h et dz par — > — , — ,
2jD ip ip p et nous aurons la relation suivante entre u ei t :
la distance du mobile à Taxe OZ varie de a à 6 pendsi.xii un temps T qu'on peut exprimer sous la forme ordinai^îr^è des intégrales elliptiques en posant
m2 = a' sin^ cp -h 6* cos' cp ;
si l'on fait décroître u de b jusqu'à a, cp croîtra de 0 à ~ et le temps correspondant sera, le calcul est facile,
