V-x/Av

On aura l'équation différentielle de la projection de la trajectoire sur OXY en remplaçant, dans (6), dt par

M* d^ w' d^ w' d^ / p c* ~~ avQ ~ ah \ g'

il vient alors, if croissant toujours en vertu de l'intégrale des aires,

(6) rf^=±:f^i/ ^'-^P'

Quand u varie de a à 6, ^ augmente d'une quantité i^^ que je dis être supérieure à - : en effet,

. oô r du / g^ -f- p'^

^^ la dernière intégrale est égale à -• Ainsi, la différence

^ ^^imut des deux plans verticaux dans lesquels la distance ^^ mobile à la verticale OZ atteint son minimum et son ^^ximum est supérieure à 90"; c'est la même propriété ^Ue V. Puiseux a démontrée pour le cas du pendule sphé- ^*^ue, dans le tome VII du Journal de Liouville.

Si a diffère peu de 6, on pourra remplacer u^-\-p^ par

^^ H-/?^, et ij^i sera sensiblement égal à - 4/ i H ^ •

t)ans le cas où a et 6 sont peu considérables, on peut

^tk tenir, relativement aux petites oscillations sur notre pa-

^^ooloïde, des résultats analogues à ceux que M. Resal a

^Ouvés dans le cas du pendule sphérique. Dans l'équation

^), remplaçons u^-\-p^ par u^ et intégrons à partir de

' ^j Cl : nous aurons, avec une erreur relative de l'ordre

De S.-G. — Rcc, 21

de— 1>

arc cos j-r z —

Maintenant, remplaçons dans (6) ^p'^-hu' parles premiers termes de son développement suivant les sances croissantes de u : on aura, en prenant d^ab( signe 4-, puisque u part de a,

,, ab du ah u du

intégrons, en faisant t};= o pour u z=: a \

arc cos

aô a' -h 6' — 1 m'

r—rarCCOS -j-r V

Si l'on néglige le second terme, qui est de l'ordre c

on trouve que la projection de la trajectoire est une e d'axes 2a çt 26; mais ayons égard à ce terme, en n

gli géant plus que des termes de Tordre de — j :

pourrons, suivant la règle des approximations succès

laisser dans le coefficient de -p-i une erreur de l'ordre c

Dans ces conditions, la seconde équation (7) nous c

la valeur de l'arc cosinus qui entre dans le terme c

déré, et, si on le fait passer dans le premier membre,

abt , / e w» a* 6*

2<V r 4/ ■ = arc COS >

â« ~ P I I ,/, aht . /'g\ I . ,/, abt . fg

La projection se meut sur une ellipse, d'axes 2a et 26, qui tourne autour du point *0 avec une vitesse angulaire

égale à y— ^ t/— ; le mobile fait, dans le même sens, le tour

de Pellipse dans un temps 2111/— •

167. Un point pesant M, assujetti à se mouvoir sur la surface d'un cône droit dont l'axe OZ est vertical, est attiré vers le sommet O par une force F égale à mf(r) [: on demande i® quelle doit être la fonction f pour que la trajectoire puisse être plane; a° quelle est alors la loi du mouvement et la pression sur le cône ; 3^ quelle sera la nature du mouvement si l'on change la vitesse initiale, (Agrégation, 1879.)

Soient M, if^ z les coordonnées semi-polaires de M, 9 Tangle ZOM; on a

w = r sinô, z = r cosO = wcotÔ.

Le poids du corps, la force F et la réaction N sont toujours dans le plan ZOM; on a donc

I rfw'

sin«ô dl^

"'S' = ^isisrôV^;-^iJ^

ce résultat montre Tétroite analogie qui existe entre le mouvement considéré et le mouvement produit par une force centrale : c'est encore un calcul bien connu qui nous donnera ici

La trajectoire étant plane se projette sur OXY suivant

une conique dont l'équation est de la forme

et la valeur de d,v^ devient

(2) Û?.P2= — 2 r- =-Ïa)=— 2G2— -( r-r-^ .

^ ' u^ \u psin^^J u^\p siR^b u ]

D'autre part, le théorème des forces vives nous donne (3) <i.p2r= — ig dz-^if(^r)dr — — 2[^cosô -+-/(r)] dr\

il suffît, pour déterminer /(r), d'égaler cette expression de d,v'^ à la valeur (2) dans laquelle on remplacera u par rsinO; on trouve pour la fonction cherchée

., , G* I G'cosîô I

La projection de M se meut précisément comme un point qui parcourt une conique avec une vitesse aréolaire constante autour d'un des foyers : ce mouvement est bien connue je rappelle seulement que l'accélération y est égale

G* à — Y On trouve aisément la réaction N du cône par la

pu,

méthode générale; mais on y arrivera encore plus vite en remarquant que la projection de M sur OXY se meut comme une masse m sous l'action de forces égales aux projections de F, de mg et de N sur le même plan; et, puisque nous venons de trouver l'accélération de cette projection, nous aurons

^ =Fsine-hNcosÔ

— m^slnô cosô + N cosO;

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. SaS

on en tire pour N, une valeur positive; donc la réaction est dirigée vers l'intérieur du cône.

Xnfin, pour avoir le mouvement dans le cas où l'on oliangerait d'une manière quelconque la vitesse initiale, remarquons que l'équation (3) sera toujours satisfaite, tandis que, dans (2), il faudra remplacer C^ par une autre oorjstante A^; égalons cette nouvelle valeur de d.ç^ à la A^aleur (3), où nous remplacerons /(r) par sa valeur, r par ^^ s in 8 : il viendra

A« -77^ -f- ( A« sinîô -h C2 cos'ô) 1 =0.

X'intégrale représente une courbe déduite d'une conique <ïxai aurait le point O pour foyer en augmentant, dans un ï^aipiport constant, les angles des rayons vecteurs avec l'axe polaire. La trajectoire elle-même, dont nous venons de tf ouverla projection, est à double courbure.

d68. Remarque générale, — Dans les problèmes où, •comme dans le précédent, il s'agit d'étudier le mouvement, sin* UD cône droit, d'un point M sollicité par une force F qxii agit toujours dans le plan ZOM, il est souvent commode ^'imaginer qu'on ait développé le cône sur un plan et de -chercher la transformée de la trajectoire véritable : c'est le lieu décrit dans un plan par un point dont la vitesse aréo- *^ire autour de O est constante, et dont Taccélération estimée suivant OM est connue : on prend pour coordonnées du mobile le rayon 0M=:/', et l'angle a> = i})sin8, <le la génératrice OM avec une génératrice fixe.

Par exemple, si F, ou plutôt sa projection sur OM, est

Proportionnelle à r, la courbe plane auxiliaire est une

^oniqyg ayant son centre en O : la trajectoire véritable

^^^ la transformée de cette conique et la loi du mouve-

^^t est bien connue.