Lignes géodésiques sur les sjirfaces de révolution

Quand un point M sej meut sur une surface S sans être sollicité par aucune force extérieure, l'accélération centripète est uniquement produite par la réaction de S; donc, en chaque point de la trajectoire, la normale principale coïncide avec la normale à S, ce qui est le caractère des lignes géodésiques; ces lignes peuvent se déduire de la détermination du mouvement dans les conditions que nous avons supposées. Tout d'abord, le théorème des forces vives prouve que la vitesse v du point M est constante et l'on pourrait déterminer la ligne géodésique au moyen de l'équation (3) du n® 164. Mais, lorsque S est de révolution autour d'un axe OZ, il est bien plus simple de remarquer

que la vitesse aréolaire m^ ^ sur un plan perpendiculaire

ds à OZ a une valeur constante C : si l'on remplace dt par —

G et ~ par une constante a, il vient

ud^ ^ a ds ^ u

Cette relation, où l'on peut exprimer ds en fonction de u et tj^, constitue une équation différentielle de la trajectoire : géométriquement, elle exprime que cette ligne fait, avec les parallèles qu'elle rencontre, des angles dont le cosinus varie en raison inverse du rayon de ces parallèles.