SUR
LA
sur
Felli
ipso:
ide
yi
nous supposons a> b'^ c. Les équations du mouvement sont
rf»
dt^ a2 dt^ b* dt^ c^
Ajoutons ces équations multipliées respectivement par I dx I dy \ dz ^ â^ di' b'^'dt' c2 dt'
1 dx d^x I df d^x I dz d^z
, a2 û?^ t/^2 62 dt dt^ c2 c/^ e/^2 (2)
y^ / X dx y dy z dz\
a^ di'^ F^lii '^ &^dt)'
Multiplions, au contraire, par —? ^j> —, et ajoutons X d^x y d^y z d^z y(or^ y^ z^\^
mais, en différentiant deux fois l'équation (i), on a X d^x / 1 dx^
a^ dt^ \a^ dt'
l'équation précédente devient
(I dx^ I dy^ 1 dz^\ ^ fx^ \
à^ 'dï^ '^ F di^ '^c^dt^)~ V«* "^•••/
Éliminons "k entre cette équation et l'équation (a) :
I dx d^x I dy d^y a« dt dt^ ' 62 dt dt^ "^
a? c^ar j^ dy
I C^O?* I û(r2 I <i^2 a* dt^ ' 6« û?/» ' c* â?<«
Xt y2 z*l
Les deux fractions sont des différentielles exactes, et l'on a rintégi^ale
On a aussi l'intégrale des forces vives
dx^ dy^ dz^ ,.
de sorte qu'il suffît d'éliminer dt entre ces dernières équations pour avoir l'équation différentielle des lignes géodésiques
Cette équation ne renfermerait que xe\.y si l'on tirait .3 et dz de l'équation de Tellipsoïde ; mais on ne peut séparer les variables. Pour être ramené aux quadratures, il faut recourir aux coordonnées elliptiques. Considérons les deux surfaces homofocales à l'ellipsoïde (i), où c- << 6- <C à^ •
x^ yî z^ (4) r + , c H r =!•
Si Ton donne à \ toutes les valeurs depuis c^ jusqu'à 6^, on a des hyperboloïdes à une nappe homofocaux à l'ellipsoïde, et qui le coupent, on le sait, suivant des lignes de courbure; pour X^c^, l'hyperboloïde se réduit au plan des xy^ et à celui des zx pour X = 6^ . j^g intersections avec l'ellipsoïde se projettent sur le plan des xy suivant des ellipses concentriques, dont la dernière, pour X = 6^, se réduit à la droite qui joint les projections des ombilics. Donnons, au contraire, à [jl toutes les valeurs depuis 6^ jusqu'à a^^ l'équation (5) représentera des hyperboloïdes à deux nappes dont l'intersection avec l'ellipsoïde se projette
SUR LA MÉCAîfIQUE RATIONNELLE. 829
i.i -vant des hyperboles ayant leur axe trans verse suivant ►I5C; pour [jl = a^, cette hyperbole se réduit à une droite 0"uble dirigée suivant OY. Dans Tespace, ces intersections ^jT-jnent le second système de lignes de courbure de Fellip- >Vcie. On obtient ainsi sur la surface deux séries de lignes rtlogonales qui forment un système de coordonnées dén.îes par les valeurs de "k et de [jl. Il est d'ailleurs aisé de îjpasser de ces coordonnées aux coordonnées ordinaires: suffit de résoudre les équations (i), (4) et (5) (Binet a oiiné un procédé élégant qu'on trouve exposé dans VAl- ^ bre de M. Bertrand); on a
a^(a^-X)(a«-fx)
C2(c2— X)(C'— fJL)
(Cî rt2)(c2 62)
^ suffit de substituer ces quantités et les différentielles -^^ y dy^ dz dans l'équation (3) pour obtenir l'équation * lïerentielle de la trajectoire en coordonnées elliptiques. Un calcul direct, que des considérations de symétrie ^^vent abréger, donne
/p2 y2 ^2 ^ XfX
*^ a encore
^ g [( ^ — a2 ) flgX -f- ( X — a2 ) e/[x]
2y/(a2 62)(a2-.c2)v/(a2— X)(a2 jx)
Où
(a2— X)(^>2 X)(c2— X) (a2— jx)(62— (jl)(c2^(jl)'
(X--|Jl)^2 (fJl--X)e/fJL2
(a2- \){b^- X)(C2— X) (ti2- [Jl)(^>2- IJI)(C2- fx)
33o RECUEIL d'exercices
Il suffit de substituer ces valeurs dans l'équatîon (3) pour avoir sa transformée en coordonnées elliptiques^On pourra diviser par |jl — X qui n'est pas nul en général, autrement )v et |JL seraient égaux à b^ qui les sépare, et la trajectoire serait Tcllipse qui a pour axes le plus grand et le plus petit de l'ellipsoïde. L'équation des lignes géodésiques sera, en posant n^ h^ = a^b^c^k^.
Comme X est compris entre b^ et c^, |Ji entre a^ et è", la constante n^ doit donner des signes contraires à X — n^ei (jL — /i2- on a nécessairement |jl >► /i2>. X; n^ se déduit d'ailleurs de l'équation (3), connaissant la position et la vitesse initiales. Si n^<ib^ y \ devra varier entre n^ et c^. UL entre a^ et b^ ; la ligne géodésique sera comprise entn les deux lignes de courbure données par l'hyperboloïde une nappe répondant èiX = n^. Si, au contraire, /i^>6' A variera entre b^ et c^, |ji entre a^ et n^ ; la ligne géodési< restera entre les deux lignes de courbure situées sur l'h^ perboloïde à deux nappes pour lequel |ji = n^. Si n^ = X sera toujours égal à c-, et la ligne géodésique sera T* lipse principale située dans le plan des xy; si n^ = a', sera l'ellipse du plan des yz. Le cas de n^= b^ est reitti^ quable; les intégrales ultra-elliptiques se réduisent à intégrales elliptiques; mais surtout, comme X finira tendre vers b^, l'intégrale du terme en cTk croîtra indé ment; il devra en être de même de celle en rf|Ji, et par ^z^odséquent jjl tendra aussi vers b^, et la ligne géodésique jpassera par un ombilic, puis elle ira à l'ombilic diamét*:HC-aJement opposé, et ainsi de suite. Le mouvement sera, <ians tous les qas, uniforme, et, en tenant compte de (6), on trouve
2ds =
X 2 d\ fX* ^fJL
\/(a^—l){b^—l){&^-~l n^-'K) /{«î— jxX^ï- fxXc*— {Ji-X^'-Î*^'
=ri:=r^ . t ai-
es
le temps s'exprime par deux intégrales ultra-elliptiques.
171. Etudier le mouvement d^ un point M assujetti à se mouvoir sur un hélicoïde gauche à plan directeur dont Vaxe OZ exerce sur M une attraction réciproque au cube de la distance. Pression exercée sur la surface, (Agrégation, 1884.)
On peut exprimer les coordonnées rectilignes d'un point de l'hélicoïde en fonction des deux coordonnées cylindriques u el i/ :
la normale en M est perpendiculaire sur la génératrice MA
et fait avec OZ un anfirle dont le cosinus est -7^
sons la masse de M égale à l'unité et projetons la force d'attraction et la réaction N : 1® sur AM, 2° sur une perpendiculaire au plan ZAM, 3° sur OZ; [nous aurons pour les équations du mouvement
d'^u d^ ___ X* ^'^ ' \ d d^ Ne d'^^ Nm
U dt dt y/j^2 4 c2 dt^ y/^2 i cî
Multiplions la seconde par w, la troisième par c, et ajoutons :
dt dt dt^ '
d'où, en intégrant,
(2) (^2|H.eî)^=G.
Cette intégrale, qui rappelle celle des aires, montre que ^ varie toujours dans le même sens, en croissant, pour
fixer les idées. J'en tire ^ pour le substituer dans lapre-
mière des équations (i), puis je multiplie par 2 du et j'intègre :'
On aurait eu cette équation en combinant l'intégrale des forces vives avec Téquatîon (2); les constantes G et H sont données parles conditions initiales. Si Ton pose
F(w«) = Hm^-4- (Xî-f- Ile»— Gï)mî4- X«c», l'équation (3) nous donne
(4) dt = ± / — ;
portant cette valeur de dt dans (2), il vient , , ±Gu du
/a2+c2 y/Ha* -h (X^-h Hc^— G2)a'^H- X«c2
Cette équation détermine la projection P de la trajectoire sur OXY et, par suite, la trajectoire elle-même ; l'équation (4) donne la loi du mouvement en fonction du temps. La réaction N', égale et opposée à la réaction N, se déduira de la troisième équation (i), en ayant égard aux équations (2) et (4).*
N' = î t/ITiir^î ^ = — — i^^ ^__2cGVfÛÏ) u^ '^ dt^ -, 1 dt -^ iu^-^c^)^
Nous allons examiner, dans les divers cas qui peuvent se présenter, la nature du mouvement de la projection m de M sur OXY et la forme de sa trajectoire P : nous devons, pour cela, discuter le trinôme F(u^), auquel on ne
SUR LA MÉCÀKilQUE RATIONNELLE. 333
îut attribuer que des valeurs positives. Pour éclaircir un )int délicat, je rae place d'abord dans le cas très simple i H est nul et G = )v; F{u^) se réduit àX^c^. L'équation ) montre que, si u commence par croître ou, pour réger, si u^ >- o, m augmentera indéfiniment, P se conndant, à l'infini, avec une spirale d'Archimède. Si u^ <C o,
se rapproche de l'origine qu'il atteint pour t = t^ et = J^i : en même temps, M arrive avec une vitesse infinie r OZ qui l'attire avec une force infinie et l'on ne peut re ce qu'il deviendra ensuite, à moins de faire une conntion essentiellement arbitraire. Si l'on admet que u jvienne négatif, l'équation (4), où dt doit rester positif, ige qu'on change le signe du second membre bien que î soit, dans le voisinage de u = o, une fonction uniforme . continue de £^; on introduit ainsi une discontinuité.
Au point O, la courbure de P est nulle; car, si u est
ifiniment petit du premier ordre, u -j^ ou tang|JL est du
cond ordre. Si l'on veut suivre, au delà du point O, la urbe telle qu'elle est définie par l'équation (5) dont le îond membre, avec le signe — , reste une fonction unirne de w, nous trouvons que ^ doit diminuer à partir ^1 quand u devient négatif; P présente une inflexion; oourbe ne correspond plus aux lois du mouvement ^posé, d'après lesquelles ^ devait toujours croître. On isurera de la vérité des déductions précédentes en inté- Ht les équations (4) et (5), ce qui peut se faire expliement dans le cas considéré; on trouve les équations
première assujettirait f à ne pas dépasser une certaine ùte: donc elle ne peut servir indéfiniment; la seconde, ^due rationnelle, représente évidemment une courbe qui ne inflexion en O.
Quand, H étant toujours nul, Aest > G, F(m*) est toujours positif et Ton trouve des résultats tout semblables à ceux du premier cas, si ce n^esl qu'à l'infini P se confond avec une spirale logarithmique. Si 'k<cG, on ne peut donner à u^ que des valeurs au plus égales à une certaine limite a*; quand m'^>'0, m s'éloigne de l'origine, décrit un arc qui s'en va toucher le cercle de centre O et de rayon a, pour revenir à Torigine où le mouvement devient encore discontinu et où P présente une inflexion; cette courbe ressemble à une lemniscate déformée en augmentant dans un rapport déterminé les angles polaires de ses divers points. La ligne P affecte une forme analogue, et le mouvement de m est de même nature toutes les fois que H est négatif.
Quand H est positif, il v a lieu de chercher si F (a* s'annule pour deux valeurs réelles et positives de u^i il faut pour cela deux conditions qu'on peut écrire
Gî- Ile»— X«> o, [g*— (X — c /h)*][Gî- (X -4-c v/n)«]>c
Si la première condition est satisfaite, le premier factetzzzzzzzzzir
qui figure dans la seconde inégalité est positif; ilfautdor : — -^c
que l'autre facteur
le soit aussi; on voit d'ailleurs que cette inégalité cntra^^ mae celles qui doivent être satisfaites en même temps; c'es^^i. la condition nécessaire et suffisante pour que F(u^) puL ^s se s'annuler.
Quand A<C o, F(m^) est toujours positif; m peut a.Ucf soit au point O où il j a toujours une discontinuité, sox tè l'infini, où P admet une asymptote. Si A>-o, une pewi prendre de valeurs comprises entre deux quantités, cl, /3; soit a <; p : quand Uo < a, le mouvement de m est analogxie à celui que nous avons indiqué pour le troisième et 1^
SUR LA MÉCANIQUE llATIONJVELLÊ. 335
quatrième cas ; si uq >> p, P est tangente au cercle de rayon P et a des branches infinies avecdes asymptotes.
Enfin, quand A est nul, ou quand G est égal à X -4- c y^H,
F(a^) est un carré et, si l'on pose Xc = a^ y/H, l'équation
(5) devient
Gudu
(u^—oL^) v/H(a«-hc2)'
P est asymptote au cercle de rayon a, et lui est extérieure ou intérieure suivant que Uq^ol: si Uq = a, ce qui entraîne, dans le cas où nous sommes, Uq = o, u doit rester contamment égal à a : M décrit une hélice d'un mouvement uniforme et l'on peut vérifier que ce mouvement satisfait
aux équations (i), en supposant -jj = — et N := o.
Détermination de la snrface d'après certaines propriétés
du mouvement.
Pour déterminer les surfaces sur lesquelles doit se mouvoir un point sollicité par des forces données afin que le mouvement jouisse de propriétés déterminées, on peut partir des équations générales du mouvement sur une surface et exprimer qu'elles sont compatibles avec les conditions proposées. Si l'on regarde z comme fonction de x etjKî les dérivées partielles des deux premiers ordres peuvent figurer dans les calculs et la surface cherchée dépendre de deux fonctions arbitraires ; mais, quand la surface doit appartenir à une famille déterminée, quand les conditions initiales du mouvement sont connues, l'indétermination peut devenir beaucoup moindre ou même disparaître.
172. Déterminer la sur/ace de révolution dont l'axe est une verticale OZ et sur laquelle doit se mouvoir un point pesant M, animé d'une vitesse Initiale convenable,
pour qu Hl coupe sous un angle constant w les parallèles qu^ il rencontre, {Kennes, 1884.)
Soient u, ^, z les coordonnées semi-polaires de M, a,
o, o leurs valeurs initiales, \/2gh la vitesse initiale. La projection de la vitesse sur la tangente au parallèle en M
est u~; on doit avoir, d'après l'énoncé,
(i) U'j- = pcosto;
d'autre part, le mouvement a lieu dans des conditions que nous avons souvent rencontrées et nous pouvons écrire l'intégrale des aires et celle des forces vives
a* -7^ = a cos w \Jigh^ p^ igih -h z). dt
Si, entre ces équations et l'équation (1), nous élimi-
nons (^ et -77 , il vient ai
Cette équation représente la surface cherchée, dont la méridienne se construit sans aucune difficulté. Il est remarquable qu'elle ne dépende pas de w; si donc on se donne la position initiale de M et la grandeur de la vitesse correspondante, la direction de cette vitesse doit être contenue dans un plan tangent qui est déterminé, mais on peut choisir w tout à fait arbitrairement.
On trouve, pour déterminer la loi du mouvement,
dt^ ~ a2/i-h4(A-hz)^'
mais l'intégration ne peut se faire à l'aide des fonctions élémentaires.
73. Déterminer les surfaces sur lesquelles un point int doit être assujetti à rester pour que, si on ^andonne sans vitesse en un point quelconque de e de ces surfaces, il glisse suivant une ligne de plus nde pente.
oient, au point M de l'une des surfaces cherchées S, la tangente à la ligne de plus grande pente qui est la îctoire du mobile, MN la normale à S, MV la verticale : trois droites sont dans un même plan, car toutes trois
perpendiculaires sur la tangente MH à la ligne de au qui passe en M. Le poids du mobile peut se déposer en deux forces, l'une dirigée suivant MT, l'autre ant MN ; celle-ci, avec la réaction normale de S, prol'accélération centripète; donc le plan vertical MNVT e plan osculateur à la trajectoire ; et cette courbe, dont les plans osculaleurs sont verticaux, est nécessairet plane.
n sait en effet que les intersections successives des s osculateurs à une courbe à double courbure sont les entes, et celles-ci seraient toutes verticales, ce qui ut l'idée de ligne courbe.
Insi la surface cherchée est telle que toutes ses lignes lus grande pente sont contenues dans des plans verti-
; elles sont en même temps 1 ignés géodésiques et lignes ourbure. Les lignes de courbure du second système ent être orthogonales aux premières; elles se confon-
avec les lignes de niveau et sont contenues dans une ; de plans horizontaux dont chacun, en vertu d'un rème de Joachimsthal, coupe la surface sous un angle tant; en chaque point de l'intersection, cet angle est ►mplément de l'angle de la tangente à la ligne de plus de pente avec la verticale. 11 en résulte que toutes ces îs de pente sont égales, puisque pour chacune d'elles
De S.-G. — Rec. 22
on a la même équation différentielle
Les plans de ces lignes enveloppent un cylindre vertical, et la surface S peut être engendrée par une courbe située dans un plan qui roule sans glisser sur un cylindre vertical : c'est une surface moulure. Les surfaces de révolution à axe vertical, les cylindres horizontaux ou verticaux, les surfaces canaux à directrices horizontales en sont des cas particuliers ; dans le cas général, leur forme dépend de celle de deux courbes tout à fait arbitraires.
L'Analyse conduit au même résultat : soient/?, q^ r, s, t les dérivées partielles, du premier et du second ordre, de z\ nous désignerons le temps par 9, en sorte que l'on aura, pour les deux premières équations du mouvement du point pesant,
, . d^x Np d^y NûT
mais, la trajectoire devant être une ligne de plus grande pente, on a
dx dy __ d^.v d^y __ dy dp dx dq
le premier membre s'annule en vertu des équations (i): on a donc, en multipliant par rfQ^^
dy{r dx -^-s dy) — dx($ dx -¥- 1 dy)\
remplaçant dx et dy par /> et q^ qui leur sont proportionnels, on aura Téqualion aux dérivées partielles des surfaces cherchées,
(i) ir — t)pq -f s{q^ — p^) — 0.
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. SSq
3i on la met sous la forme
pr -^ qs ps -\- qt
îUe exprime que />^ -h 5^^ -f- i et ^ ont leurs dérivées parcelles proportionnelles; donc on a, pour intégrale pre- Tiière de (i),
iette équation exprime que, le long d'une ligne de niveau, la normale fait un angle constant avec la verticale; loiic, d'après le théorème de Joachimsthal, les lignes de lîveau forment un système de lignes de courbure, ce qui îaractérise les surfaces moulures.
174. Un point M, de masse i, assujetti à se mouvoir >ur une surface de révolution S, est attiré vers l'axe de figure OTjpar une force réciproque au cube de la distance. Déterminer S de manière que M, mis en mou- -^entent dans des conditions données, exerce sur la surface une pression constante; montrer que S peut être une sphère ou un tore et chercher, dans ces deux cas, la Zoi du mouvement de M., (Agrégation, 1884.)
J'engage le lecteur à traiter le problème en partant des équations du mouvement sur une surface; on retrouvera es résultats que je vais obtenir à l'aide d'une méthode dIus géométrique. Soient
:/, ^|; et ^ les coordonnées cylindriques de M;
f l'angle de la tangente MT à la trajectoire avec la tangente au parallèle qui passe en ce point, dirigée du côté où if croît ;
3c l'angle de la tangente à la méridienne avec un axe OlJ perpendiculaire sur OZ dans le plan ZOM ; a est compté positivement dans le sens de OU vers OZ.
340 RECUEIL d'eXEUCICES
La partie de la normale MN à S que nous regarderons
comme positive fera avec OU Tangle a-t- -; si di de-
signe un élément de méridienne, le rayon de courbure de cette ligne, compté suivant MN, est
__ di du du ^ ~ d7.~~ cosoidoL ~~ d.sinoL*
c'est un des rayons principaux de S; l'autre est - — > en le
comptant aussi positivement suivant MN. Le rayon de courbure R. de la section déterminée dans S par le plan MNT est donné par la formule d'Euler
I sina .. ï . .. sina „. d s'inos, . . .
— • = cos' i-\ — sin' i = cos^ i M -. sin* i.
Ru p u au
D'autre part, la pression normale que M exerce sur S est égale à la projection de l'attraction -^ sur MN, diminuée de -jc>
. , -. ).' . p*cos'fc . , , , ^..dsinoL
(i) p = __sina sma — (p' — p*cos*i) — î — •
^ u* u ^ du
Mais le théorème des forces vives et celui des aires projetées sur OXY donnent
(2) ('*=— ;-i-H, 9cosi = u-r=—,
^ ^ a* dt u
et, en substituant ces valeurs dans (i), il vient
/X*-Gî „Wsma X»- G« . „
Si P est une constante, cette équation équivaut à une quation différenlielle du second ordre de la méridienne; mais, comme elle est linéaire et du premier ordre en sina,
•n peut écrire l'intégrale première
,. . Au Pm 4) sma = -- ^•
Si l'on désigne para, 6, o) et e les valeurs initiales de u, ', a et t, on aura, pour les constantes d'intégration,
TT z.» ^' r- z. A Ilsinw-t- Pa , .
Il =T 6* j G = a6cose, A= =^ 6 sine.
a^ Il
Il suffit de remplacer, dans l'équation (4), sina par
dz
= j et de résoudre par rapport à dz^^ pour avoir /du^ -4- dz^
;ntre u et z une équation qui représente la méridienne.
3n trouve
dz^^
(au — Pv'Xî— G«-t- 11^2)2^2 ^aî
Hs(X2 G2-i- II m2) — (ah — P v/X2— G2h- Ûu^yii'^
La valeur de z se réduit à des intégrales elliptiques. On oit directement que u ne peut jamais devenir infini, et u'il ne s'annule pas si X*<; G'; mais la forme de la médîenne dépend de tant de paramètres qu'une discussion ►mplète nous entraînerait trop loin.
F^our que S soit une sphère ou un tore, il faut et il suffit le la méridienne ait une courbure constante; or on tire
du p ^ ^^ 'H
pour que cette quantité soit indépendante de w, il faut ** Suffît que A ou X* — G* s'annulent : la méridienne est
H ^'"^ Vin cercle de centre G, de rayon z!z -p; si Ton suit la
"^^O-férence dans le sens de OU vers OZ, a représente ^8"»^ du rayon GM avec le prolongement de OZ.
34^ RECCEIL d'exercices
Supposons d'abord )v*= G'; il en résulte H = 6* sin's, et l'équation (4) devient
A Pu Av/îî H .
avec la signification que nous venons de donner à a, cette équation exprime que la méridienne est un cercle dont le
centre est à la distance ^ de l'axe OZ, et S est un tore.
Le rajon de courbure est dans le sens de MN; or, i'équa-
H tion (5) donne — p pour sa valeur algébrique; H étant
> o, il faut que P soit négatif : le mobile tend à sortir du tore. Il y a pour son mouvement une loi très simple : sL l'on regarde ce mouvement comme résultant d'un mouvement sur le cercle G et du mouvement de ce cercle autoui de OZ, on aura
.rfa« .rfil» .rfa* X»
mais, en comparant avec la valeur (2) de i'^, on a
p* -j-r = H = 6* sin*e, a = — sme.
^ dt^ p
Si l'on appelle c la distance de G à OZ, on aura enco^"r"e b^ sin* e dt b^ sîn' zdt b^mtda.
a' / . ô^sineX*
(c-f-psin \ c*p f I -h -sina j
En remplaçant a par — h 9? on voit que 4 sera donné ^^
fonction de P par une quadrature analogue à celle qui don:i^^ le temps en fonction de l'anomalie vraie dans le mouvement des planètes; l'analogie sera d'autant plus compi^^^
qu'on s'attachera surtout au cas où - < i, pour éviter la
difficulté ou plutôt rindétermination qui se présente quand M rencontre Taxe attractif. Quand le tore est à jour, OL et ^ croissent continuellement, et la trajectoire est une sorte d'hélice qui s'enroule sur le tore.
Considérons le cas où c'est A qui s'annule, et qui correspond à trois hypothèses différentes :
H sino) -t- Pa = o, 6 = 0, sine^i^o.
L'équation (4) se réduit à
Pu 9ma = --;
elle exprime que la méridienne est un cercle dont le centre est sur OZ, et S est une sphère. Le rayon de courbure est encore dirigé suivant MN, et la pression sera dirigée vers l'eitérieur ou vers l'intérieur de la sphère, suivant que H sera positif ou négatif. La nature du mouvement de M peut varier avec les conditions initiales : si b est nul, M décrit un grand cercle passant par OZ. Dans les deux autres cas, nous pourrons écrire l'intégrale des forces vives sous la forme
La loi du mouvement est donnée par les deux équations
, p2 sin a doL
dt = ^ — ,
v/X2— G2-4-Hp2sin2a Gda
sin a /X2 — G2 -H H p2 sinî a '
on intègre la première en prenant pour variable cosa, et la seconde cot a. Si \^> G^, a peut s'annuler, mais le mobile n'atteint OZ qu'après avoir tourné une infinité de fois
344* RECUEIL D*KXERCICES
autour de cette droite. Remarquons enfin que, puisque S est une sphère quand e ou 6 est nul, l'angle i et la vitesse ne s'annuleront jamais sur les autres surfaces.
175. On donne un parallèle P d^une surface de révolution S, et Von considère sur cette surjace la ligne géodésique G qui touche P en un point A. Déterminer S de manière que G soit tautochrone pour un point M attiré vers Vaxe OZ de S par une force F égale à
m{au-{- b)f
a et b désignant des constantes qu'on ne supposer jamais négatives, u la distance de M. à OZ et A étan le point de tautochronisme. Forme de la méridienne G cas où l'équation de cette ligne ne renferme que de fonctions élémentaires, (Agrégation, i885.)
Les propriétés caractéristiques des tautochrones et d lignes géodésiques (n°' 159 et 169) donnent facilement solution du problème. Si s désigne l'arc AM de G, T temps que M doit mettre pour arriver en A, la composan
tangenlielle de F doit être égale à xT"'
/ N / L\du iiz^ms (i) -.m(au-hb)-^ z= ^^.
Appelons p le rajon de P et posons
nous tirerons de Téquation (i)
s - \/au^-^- 'i^u — ap^ — ^?Pt cis -. - ('"^ + ?)du ,
D'un autre côté, si la ligne géodésique G coupe sous Tangle i le parallèle qui passe en M, on a (169)
cos i = — , sin i = — •
Mais sinids est l'arc de méridienne correspondant au même accroissement de ii que Tare rf5 de G; on a donc, eu égard aux résultats précédents,
C'est l'équation de la méridienne G; on en déduit, après avoir divisé haut et bas par u — /?,
,, dz^ __ {u-\- p){nu^ pj2— (gi^-^ 7.p-\- i^)iC»-
ou
dz^ afa — Om^H- (a— iVa^DH- 9.p)w2-t- f'ia/? -h 3) Pw-f- B«/j
du'^ {:iu-^ OLP -\- 2'p)u'^
Dans le cas général, z s'exprime à l'aide d'intégrales elliptiques; mais les équations (i) ou (2) permettent facilement de discuter la forme de G quand on n!attribue pas à a ni à ^ de valeurs négatives. Considérons, sous la forme (a), le numérateur cp(i^) de^'*; on voit que, si a< 1, <P(m) s'annule pour une seule valeur positive u^ de w, et qu'on ne peut attribuer à 2^ de valeurs supérieures à w^ ; pour u= Uij z' est nul, et l'on a un point de rebroussement R^ si l'on fait décroître u de u^ k zéro, une des valeurs de z croît constamment, depuis la valeur Z| qui correspond à R jusqu'à l'infini, l'autre décroît de Zi à — 00. Nous n'étudierons pas les branches de G qui répondent à des valeurs négatives de u, car G n'a aucun point sur la partie correspondante de S; la partie utile de G ressemble
à une cîssoïde. Si p était >u^^ P serait une ligne isolé sur S, et le problème impossible; mais on pourra évite cette singularité si l'on a le droit de disposer du temps ' et, par suite, de a et p.
Quand a est > i, ^' est réel pour toutes les valeurs pc sitives de u, et, si on le suppose positif quand u croîti de o à 00, ^ variera de — oo à -1- oo ; C sera asymptote à O! et à une droite située à distance finie ; cela résulte de ce qu l'équation (2) donne pour dz un développement suivant le puissances décroissantes de w, de la forme
dz — dul JoL — I H "^ " ■--
La valeur de z pourra s'exprimer par les fonctions alg« briques, logarithmiques ou circulaires lorsque ç( w) perd ses premiers ou ses derniers termes, ou lorsqu'il sera di^ sible par aw -f- a/? -h 2p, ou enfin quand cp(M) = o aci une racine double. La première hypothèse se réalise da^ trois cas :
1® P = o. L'équation (2) donne pour dz la valeur ti
simple y/a — i du\ QsQ réduit à une droite et S à un c6 x: c'est le cas où l'attraction F est proportionnelle à la d tance.
2° a= o; F est constante. L'équation (2) donne
àzz = Zfi^i/ ^^ M^H- i^arcsin ^ -
I /p? ^ i'^P 4- m) y/p 4- 2 y/jpp (/? H- i^) — 2pu^ ^ y 1 u
Cette intégrale compliquée donnera difficilement forme de G; au contraire, l'équation (3) indique nettero^^ cette forme, qui rappelle encore celle de la cissoïde.
3° a = I. On a
u y u-hp -f- '^fi ^
u peut prendre toutes les valeurs positives : la branche utile de G est, d'un côté, asymptote à OZ et se termine, de l'autre côté, par un arc parabolique dont la tangente tend à devenir perpendiculaire sur OZ.
Pour que <p(w) soit divisible par olu-{- cep -h 2^, la forme (i) permet de reconnaître qu'on doit avoir
l'une des quantités a, ^ serait négative, et nous avons exclu cette hypothèse.
C'est encore sous la forme (i) que je prendrai <f (w)pour chercher la condition d'égalité de deux racines de 'j(w) = 0, ou mieux encore de l'équation équivalente
' ^ u^ u -hp
Une racine double annulera /'(w), et l'on aura
ou
Remplaçons le premier membre par sa valeur dans/(w), on aura
La racine double sera nécessairement égale à
et, sî l'on exprime qu'elle satisfait à l'équation (4), on a la condition cherchée
a jD -+- 2 [i / ay? -h fi
Quant à C, elle affecte sensiblement les mêmes forme que nous avons trouvées dans le cas général, suivant qu
