Mouvement d'un point pesant sur un cylindre de révolutii
dont l'axe fait l'angle a avec la verticale; pression. (Paris, 187^3.^
d^x . Na: d^y Nv d^z
dt^ * a dt^ a dt^ ^
2. Mouvement d'un point non pesant assujetti à rester sur un cylindre elliptique et attiré vers un point de l'axe avec une fo:H7ce proportionnelle à la distance; discussion. (Paris, 1881.)
z se détermine séparément; des deux autres équations, on tire dx^ c?v^
w^-^di^^'"'''''""'-'^"^'^"-''"^^
a^ dt^ b^ dt^' on posera
ii? = acos<p, y ^- a{i — e*)sin<p.
3. Mouvement d'un point assujetti à rester sur un cône droit ^ attiré vers le sommet 0 par une force réciproque au carré d^ * distance. (Paris, 1875.)
Suivant la remarque du n° 168, si l'on développe le cône ^ ^^ un plan, la trajectoire se transforme en une ellipse dont 0 est- __ foyer; on peut aussi chercher le mouvement dans l'espace à l'a^ du théorème des forces vives et des aires.
SUR LA MÉCAJSK^UE HATIOWNELLE. 349
--!•- Même problème, sauf que rattraction varie en raison inverse à\jL cîxibe de la distance. (Paris, 1876.)
S - Déterminer, sur un cône droit, le mouvement d'un point attiré avec une intensité proportionnelle à la n^"""* puissance delà distance vers un plan P mené par le sommet normalement à r a X. e : Vq est parallèle à F ; pression . — Cas de n = i . ( Paris, 1 882}.
/. \^ •—-=vl r-^ -f- 2X2 cot«+i 6 — ,
î4* sin2 6 d'^^ " a2 n 4- 1
N = ^^ cotO -b X« r« sin6 cos« 6.
. Dans ce problème , comme dans les suivants, on emploiera ct^ec avantage les intégrales des aires et des forces vives,
6- Déterminer, sur l'hyperboloïde x^-\'y^ — ^2— ^2^ le mouvement d'un point attiré vers le centre par une force m^X^r] Zq
^st nul et Po> égale à aX /ï, fait l'angle de 60° avec OZ. Calculer la réaction de la surface et indiquer les conséquences du résultat obtenu. (Marseille, i883.)
mr "^ .nr mr
«îf = «^^1/- ' ^^ -"= X2(3a2— r2) == 2X2(«* - «'); ^ <i ornière donne
déc
"'--•^ troisième des équations (i) donne alors N = o : le mobile ît librement Tellipse intersection de l'hyperboloïde avec 1
* * Trouver sur une sphère le mouvement d'un point soumis à ^ force répulsive perpendiculaire au plan P d'un grand cercle . *"^ciproque au cube de la distance; v^ est parallèle à P. Pres- ^*^ sur la sphère. (Caen, 1877.)
dt ' a^ — h'^ a^—u^
35o RECUEIL D*EXERCICES
Posant
a2At(a«— A«)a>«=:[X«H- A«(a«— A«)a>«]A:*, on a
La trajectoire est une ellipse sphérique; l'intégrale des aires
donne
tangil;= ^tang-^a>^
Enfin
8. Même question, sauf que la force est attractive. (Paris, 1879.) Le mobile se précipite ou non sur le plan P suivant que
9. Déterminer sur une sphère le mouvement d'un point pesant M attiré vers un point B, situé à une hauteur b au-dessus du centre, avec une force égale à mX*BM. Achever les calculs quand l'attraction de B sur un corps placé au centre est égale au poids de ce corps; on supposera p© horizontale. (Paris, 1875.)
a«^'î=[PÎ4-2(^>Xî-^)(iî — Zo)](aî-4î«)-pJ(a»-i5j).
On devra discuter cette formule. Dans le cas particulier proposé, X*6 = ^, la force motrice passe au centre, M décrit un grand cercle.
iO. P étant un pôle donné sur une sphère, déterminer, sur cette surface, le mouvement d'un point M sollicité par une force tan-
gente au méridien MP et égale à . ^.,^,,: Vq est normale
à PMq. Équation du côae qui a pour sommet le centre 0 et pour directrice la trajectoire. (Paris, 1876.)
Soit a la valeur initiale de POM ; l'équation du cône est
[(Xa — pj sinacosa)a7-f- pj-5sin*a]* — a*X*(a7*-f-j^«) = o;
OZ ou OP est une des lignes focales de ce cône.
11, Un point M, assujetti à rester sur une sphère et attiré vers
SUR LÀ MÉCANIQUE aàTIONNELLE. 35 1
diamètre OA par une force fonction F(w) de la distance du >bile à OA décrit une ellipse sphérique dont cette droite est un e; déterminer F(m) et la loi du mouvement. (Paris, 1876.)
F(w) est de la forme - — r-r ? et la loi du mouvement est
alogue à celle qu'on a indiquée au problème 7.
12. Mouvement d'un point pesant sur la surface engendrée par révolution d'une hyperbole équilatère autour de Tune de ses
f^mptotes, qu'on suppose verticale. (Paris, 1877.)
3n distinguera le mouvement sur la nappe supérieure et sur la ppe inférieure.
13. Mouvement d'un point pesant M sur un tore dont l'axe est :*tical, la vitesse initiale étant dirigée suivant une tangente au rallèle le plus bas.
Soient a le rayon du cercle générateur; R le rayon de la cirttférence que parcourt le centre G de ce cercle ; ij^ l'azimut du in ZOMG; 6 l'angle de CM avec la verticale descendante:
^'' , 6'«=f.5-— -51^i— --25'a(i-cos6).
(R-hasin6)2' o (R-hasine)2
14. Déterminer le mouvement d'un point M sur un paraboloïde : révolution dont le sommet 0 est le point le plus bas, en sup- »sant :
FM
1** M pesant et attiré vers le foyer F par une force mg r^;
i** M pesant, repoussé par l'axe avec une force proportionie à la distance, Vq tangente au parallèle qui contient F;
** M non pesant, attiré vers F suivant la loi de Newton.
S. Former, en fonction de la longitude ^ et de la latitude X, u.ation différentielle des lignes géodésiques sur un ellipsoïde "évolution aplati.
^^î^ (i-6^)cosnorfXî
^ cos'X(cos*X — cos*Xo)(i — e*sin*X)
^. Lignes géodésiques de l'hélicoïde gauche. ( Voir n** 171.)
^ . Déterminer une surface passant par une horizontale OX et - qu'un point pesant, assujetti à rester sur cette surface et
abandonné sans vitesse en un point quelconque de OX, décrive une hélice ayant pour axe une verticale OZ. (Catalan.)
On posera
x=ucos^, ^— wsin^j', -s := m<j/,
m étant une fonction inconnue de u. Le point se mouvant su
une hélice, -j-j- est égal à — ^- On écrit que les équatioi
générales sont compatibles, et l'on trouve
u dm -+- 2 m du = o,
ce qui détermine la surface.
18. Surface de révolution S telle qu'une de ses lignes géodl. siques G ait, en chacun de ses points M, un rayon de courbure ég~ s mais opposé à celui de la méridienne en M. (Gaen, 1887.)
S sera partout à courbures opposées; soient i l'angle de G a^^ le parallèle en M ; 0 l'angle de la tangente à la méridienne a'^^ OZ; le théorème d'Euler donne, d<j étant l'arc de méridien,
du
„ . ^ , d cosO or cos*/ — , y donc ^
«- cos 0
d cosO . .cosO . - . rf cosfl = cos* i h sm* i
n c* du
du
COS20=: 7,, M* cos*6o — ^'(i -hsin*6o) =
i-hsin>Oo '
S est un hyperboloïde. Pour une ligne géodésique où c serait
remplacé par c', p -- — R.
