UVEMENT RELATIF D UN POINT MATÉRIEL

>. Théorème de Coriolis. — Considérons, au point e cinématique, un point M qui se meut relativement système de comparaison S animé lui-même d'un ement donné dans l'espace : on sait que, si l'on a nent égard aux vitesses, le mouvement élémentaire peut, à un instant quelconque <, être regardé comme ant d'une translation et d'une rotation déterminée co r d'un axe instantané 01 passant par un point O L arbitrairement dans S. Coriolis a montré qu'à l'éî t l'accélération absolue y de M est la résultante de iutres : i" l'accélération apparente y^; 2® l'accéléral'entraînement Ye qu'aurait un point lié invariableà S et coïncidant, à l'instant ^, avec M ; 3** une accé- Dn complémentaire cp représentée en grandeur et en ion par le double de la vitesse que la rotation co im- :rait à l'extrémité A d'un segment OA représentant esse relative : cp est donc égal à 20)^^ sin((i), ç^^). des démonstrations les plus simples de ce théorème le à M. Gilbert : en différentiant deux fois par rap- LU temps les relations qui donnent les coordonnées les de M en fonction de ses coordonnées relatives z^ on voit que la projection de y sur chacun des coordonnés est égale à la somme des projections de de Ye et de trois autres termes : il suffît de comparer îrmes avec ceux qui figurent dans la projection de la

E S.-G. — Rec. 28

354 RECUEIL d'eXERC1C£S

vitesse pour reconnaître que leur somme représente la projection de la vitesse communiquée par la rotation co à un point dont les coordonnées relatives seraient

dx dy dz

""Tt' ^dV ""Tt-

Il résulte de ce théorème de Coriolis que l'accélératio relative est la résultante de l'accélération absolue et de! accélérations y^ et <f prises en sens contraires et recevan alors les noms à! accélération dHnertie d^entratnemen et à^ accélération centrifuge composée. On a l'égalit géométrique

Ce corollaire permet de déterminer directement, p rapport à un système de comparaison S, le mouveme relatif d'un point M, de masse m, soumis à l'action d'u force connue F : ce mouvement est identique au mou ment absolu d'un point M', de masse m, dont la positi par rapport à un système S' superposable à S, mais fi serait à chaque instant la même que celle de M dans Or, la force F' capable de communiquer à M' le mou^vr^. ment que nous venons de considérer est représem.t;^e par m^a\ c'est donc la résultante de trois forces, r^^'y, — m^a — /n<p : la première est la force F qui agit réellement sur M; la deuxième F|, appelée force d'inert/e d' entraînement , est égale et opposée à la force qu'il faudrait appliquer à une masse m. pour lui faire conserver", dans la suite des temps, la même position par rapport à S que M occupe à l'époque t] la troisième F2 est la foré^^ centrifuge composée, égale à 2 W(i)ç^asin(co, Ça)\ elle e 3*" perpendiculaire à l'axe instantané de rotation et à lav:*-" tesse relative, et si, comme en Astronomie, l'observatec» ^ dirigé suivant l'axe représentatif de la rotation voit cell^''

ci s'effectuer de droite à gauche, le même observateur verra F2 dirigée vers la droite de Ça-

Ainsi, le mouvement relatif peut se déterminer comme un mouvement absolu à condition de joindre aux forces qui agissent sur le mobile les deux forces fictives ou apparentes Fji et F2. Si l'on prend pour S un système d'axes rectangulaires Oû^yz, F pourra être déterminée par ses composantes X, Y, Z; les composantes Xj, ¥4, Z^ de F^ se détermineront directement dans chaque cas particulier; celles de F2 seront, en appelant /?, y, r les composantes de Cl),

dz dx \

( dx dy

et l'on aura pour les équations du mouvement relatif <f2.r . __ I dy dz\

dy dz

^ dt ^ dt

l dz dx \

11 faut remarquer que la force centrifuge composée s'annule dans trois cas : quand il y a équilibre relatif, quand le mouvement de S est une simple translation et quand la vitesse apparente est parallèle à l'axe instantané.

Les théorèmes généraux de la Dynamique s'appliquent aux mouvements relatifs à condition d'adjoindre les deux forces apparentes aux forces réelles. Dans le théorème des forces vives, la force centrifuge composée disparaît, car son travail est nul, puisqu'elle est toujours perpendiculaire à la vitesse relative.

177. Equilibre relatif du régulateur à boules de Farcot, — Cet appareil consiste essentiellement en un

arbre vertical OA {fig» aS) tournant avec une vitesse uniforme co, et soudé à une tige horizontale AC, à l'extrémité de laquelle est articulée la barre CS qui porte l'une des boules ; cette droite doit rester dans le plan mobile OAG. En un point H de la tige CS s'articule une autre tige HB

Fijj. 23 c A

dont l'extrémité B glisse le long de la tige OA et, à l'aide de leviers, modère plus ou moins la force motrice suivant qu'elle est plus ou moins élevée, c'est-à-dire suivant que la tige es fait un angle plus ou moins grand avec la verticale. Il y a une autre tige, symétrique de CS par rapport à OA, qui est aussi reliée à la glissière B. Soient a, / les longueurs AC, CS, 9 l'angle de CS avec la verticale. Admettons qu'on puisse négliger le poids des tiges et traiter les boules S comme des points matériels : pour que le système soit en équilibre relatif, il faut et il suffit que le poids mg d'une boule S et la force d'inertie d'entraînement F| qu'on doit lui supposer appliquée se fassent équilibre en tenant compte de ce que S est assujetti à rester sur un cercle U dont le centre est en C. Le mouvement d'entraînement est ici un mouvement uniforme sur un

cercle dont l'axe est OA; F| est donc une force centrifuge <lirigée suivant la perpendiculaire PS abaissée de S sur OA et égale à mco^PS. Égalons à zéro la somme des projections de F| et de mg sur la tangente à U; il vient, en supposant S et C de part et d'autre de OA,

/na)*(/sin6 — a) cosO — m^sinô = o, ou

(i) /cos6 — acotô— ^ =/(6)=o.

La figure suppose 9 compris entre a et t: — a, a étant le plus petit arc positif dont le sinus est y; pour ces valeurs limites, /(9) est négatif aussi bien que pour 6 = ; d'ailleurs, la dérivée

s'annule quand 0 atteint la valeur ^ dont le sinus est i/ y •

On trouve facilement que sif{^) est positif, ou si

l'équation (i) a deux racines admissibles, l'une entre a et p, l'autre entre ^ et - ; si l'inégalité est renversée, l'appareil ne peut plus être en équilibre relatif dans les conditions où il doit fonctionner.

Soit 6| une racine de l'équation (i) : si l'on donne à co une variation infiniment petite 8co, la valeur de 9 qui convient à l'équilibre varie d'une quantité 80 déterminée par l'équation (i)

(a — /sin3ei)u>-''

^•ï»- ^ LW d^'^' 1 autour d »^^ «ne /«['^^

«^^'^ "'^:. TU^« '^Cif^ ^ ^" '■'de ^ v'^^ ^^nf -«^

,Is a^es ^r ; ioVsVèto^ V^rç^^ ^^.^, e*^ p^-

début à« «*°^ ^ ^ .

SUB LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. SSq

Les constantes A et B se déterminent à l'aide des vaeurs initiales a et c(ù de x et de Vj et, si l'on représente

J i -{- f'^ par /i, on trouve

:: est supposé ]> o ; s'il en est de même pour a, M marche -oujours dans le même sens; c'est encore ce qui a lieu si "i<o et {n — /)c + a>>o; mais, si cette dernière inégalité est renversée, M s'arrête pour une valeur négative de a:, puis revient sur ses pas et s'éloigne indéfiniment : dans cette seconde période, l'équation (i) n'est plus applicable ; il faudrait y changer /en — /.

179. Mouvement d*un point pesant M renfermé dans un tube rectiligne qui tourne avec une vitesse constante iù autour d'un axe horizontal; pression sur le ?M 6e (Agrégation, i85o).

Cherchons lé mouvement de M par rapport à un système d'axes rectangulaires mobiles auxquels le tube soit lié invariablement, l'axe des x coïncidant avec l'axe de rotation, et l'axe dçs z avec la perpendiculaire commune à cette droite et au tube.

Soient a la plus courte distance OA; <f l'angle du tube sivec OX; r la distance AM du mobile au point où le tube coupe OZ; m la masse de M. Si l'on commence à compter le temps à partir du moment où OA est en sens contraire de la pesanteur, le poids du mobile aura pour composantes

X = o, Y = — m^sino)^, Z = — m^costo^.

XjCs composantes de la force d'inertie d'entraînement sont Xi=o, Yj — mto^y = /nw^r sincp, Zi=/nato*;

36o jKECUEIL d'exercices

en fin la force centrifuge composée sera parallèle à Taxe des

;s, égale k7.miù -TT sincp, et, en supposant cp aîgu et positif,

dr du même sens que OZ quand ^ < o. On pourra décomposer

Y et Yi en deux forces, les unes suivant l'axe du tube, les autres perpendiculaires ; les deux premières sont les seules forces tangentielles et ont pour somme (Y H- Y^ ) sincp. L'équation différentielle du mouvement est donc

m -j— = mtsi^r sin'cp — mg sinw^ sincp;

c'est une équation linéaire à second membre, dont l'intégrale est

S" sin CD w2(i -hsin^çp)

On détermine A et B par les valeurs initiales de r et de -;- :

* at

4 r» / A T>x • ^ sin CD ,

Ah-B =ro, (A — B)wsincpH -^ ,-i-— = r'.,

^ ^ ^ w(i-i- sin^cp) "

En général, A est différent de zéro, et le mouvement finit par avoir lieu toujours dans le même sens et avec une vitesse de plus en plus grande. Si A et B étaient nuls, ce qui exigerait

^ sincp

To =0, To = —--^ r-4 j

' " w(i-f-sin«cpj

le mouvement serait simplement oscillatoire.

La pression exercée sur le tube est égale à la somme géométrique des composantes, normales au tube, de la pesanteur et des forces apparentes ; sa projection sur OZ est