dr
maj^a — mg costal — 2/nw -^ sincp;
Drojection sur le plan des xy, estimée suivant la direc- 1 qui fait avec OX l'angle cp -h 90°, est
mw^rsincp coscp — mg sintat coscp.
V. est différent de zéro, ces projections augmentent indément avec le temps.
1 est remarquable que le mouvement relatif ne dépende nt de a; la force centrifuge augmente avec cette quan- , mais non pas sa projection sur Taxe du tube. En sup-
;ant <p z= -, on aura le cas d'un tube qui décrit un plan
tical en tournant autour d'un point du plan ; il n'y a pas simplification essentielle .
80. Mouvement relatif d'un point pesant assujetti ester sur un plan incliné P qui tourne avec une vire constante (o autour d'une verticale.
e prends pour axe des z Taxe de rotation, pour origine ►oint O où cette droite perce le plan, pour axe des ûo mzontale OH du plan; l'axe des ^ sera horizontal et pendiculaire à ZOH.
Soient i Tinclinaison constante du plan P sur l'horizon, 5a réaction comptée positivement au-dessus de la sur- 2, 1 la masse du mobile M; il suffît d'écrire les équais générales du mouvement relatif
d^x . dy
d'^y « i^T • • dx d^z ,
5i l'on remplace z pary tangi et qu'on élimine N entre équations (2), on a une équation qui, avec (1), indique nment se meut la projection horizontale de M :
d^y - . ... dx ,
dt^ J ° dt
Pour intégrer les équations simultanées (i), (3), on p(^ s&
or
X = c''*, y = \e^*-\- -^ tangt,
r et )w étant des constantes qui vérifieront les équations
r*= co'h- arcoX, Xr'= Xw'cos't — arwcos'i. On en tire
(4) X= et r* — (i — 3 cos' 0 '*' W H- a>* cos' t = o.
Cette équation admet quatre racines, deux à deux égaler ^t
de signes contraires ; r^ sera réel quand cos^ i sera < -; 1 ^s
signes que prennent dans ce cas les coefficients da la
seconde équation (4) prouvent que les deux valeurs d^ r sont > o, et les quatre de r réelles. Les intégrales cJu mouvement ont la forme
'^ V=-^tangiH (Aea*— A'ô-a*)^-....
En général, a; et y augmentent indéfiniment, à moins c|^e A et B ne soient nuls; faisons dans les équations précédentes et leurs dérivées A, B et f nuls :
^ ^ 0)2 aaw apo)
En éliminant A' et B' entre ces quatre équations, ^^ aura deux conditions auxquelles doivent satisfaire les données initiales du problème pour que ce mouvement paï*^^'
ier ait lieu; le mobile tendra vers le point E po\ir uel
point serait d'ailleurs une position d'équilibre relatif.
Juand cos^i> -» les racines de l'équation (4) sont
iginaires, et les intégrales du mouvement, avec des istantes réelles, prennent la forme
^ = ea* ( A cos p ^ -f- B sin ? ^) H- e-^^ ( A' cos ^ ^ -+- B' sin p t ), y = -^ tangiH
+ (B«-Ap-<o.^±^P)si„p.]+.
général, A et B ne sont pas nuls, et, pour des valeurs 5 grandes de i, les parties principales de ^ et ^ sont de orme
X = ae^^ cos(^t -f- A), y= a'e^^cos{^t-^ A');
s définissent un mouvement en spirale : le rayon teur augmente indéfiniment, et l'angle polaire croît
2 7C dans le temps -q- • Si A et B sont nuls, le mobile
ci vers la même position limite que dans le premier y mais il n'y arrive qu'après une infinité de circonvoons.
-iC cas de cos^î = - se déduirait des formules (5) par la
thode que d'Alembert applique à l'intégrale d'une équai linéaire dans le cas où l'équation caractéristique a des ines égales. On peut aussi faire tendre dans les forles (6) p vers zéro, cos p t vers i , sin P ^ vers P t, et poser
B p = C, B' p =: C ; on trouve à la limite , a étant — >
a? =(A -^Ct)e<^f-h{A'-+- C't)e-^f, ^=f,tang.-H[Aa-HC-5(Aa-C)H-C?^.]£'
>-OLt
Le rayon vecteur augmente, en général, indéfiniment, mais sa direction tend vers une limite déterminée.
Le cas où i= - , c'est-à-dire où le plan contient l'axe
de rotation, doit se traiter à l'aide des équations (i) et ( 2); comme y et ses dérivées sont évidemment nulles, elles se réduisent au système très simple
d^x , , dx d^z
Les intégrales sont, en tenant compte des circonstances initiales,
x= — ^ e«'H ? e-w', z^^Zo-^-Zot s^t^.
La trajectoire relative a une branche infinie dont la tangente tend vers l'horizontalité, mais elle n'a pas d'asymptote.
181. Un point matériel libre M est attiré vers un point O d'un plan horizontal par une force fonction de la distance F = <p(r) ; il se meut de manière à se trouver constamment sur une spirale logarithmique S qui aurait son pôle en O et tournerait autour de ce point avec une vitesse constante w. Déterminer la loi de la force F et la nature de la trajectoire, (Paris, 1874)
Il est naturel de traiter ce problème comme une ques- :.ion de mouvement relatif, bien qu'il soit possible et même plus court d'employer d'autres considérations. Si nous imaginons un plan horizontal qui tourne autour de O avec la vitesse w, nous savons que la trajectoire relative est la spirale
L'axe polaire est le rajon vecteur initial OA, dont la Ion-
gueur est a ; et [jl, <; -» désigne l'angle sous lequel la courbe
coupe ses rayons vecteurs. Supposons que la rotation w ait lieu dans le sens où croît 6 et que la masse de M soJt l'unité ; les forces apparentes sont (o'r, dirigée suivant OM, et
2(1) -j-, perpendiculaire à la tangente, de manière à faire
avec OM l'angle [jl. Écrivons les composantes de l'ac-
célération suivant OM et suivant sa perpendiculaire :
. . i d ^ d^ ds
'' r dl dt ^ dt'
liais rf5cos[jL= rf/-, et (2) donne
î est l'équation des aires par rapport à des axes fixes. Si on y remplace r M par tang[jL dr^ on en déduit
3) rtangj.^ +0)^2=0, - = (^--0)^^001^.,
df^ ^\r'^ J dt r \ r'^
L'équation (i) donne, en tenant compte de ce qui précède,
— — a>2 r cot' [JL.
sin* [X r^
L'action du point O se compose d'une attraction en raison inverse du cube de la distance et d'une répulsion proportionnelle à cette distance.
La loi du mouvement s'obtient en intégrant la seconde équation (3), où les variables se séparent :
, c — a^tii
2W^C0tLI. = L — •
' c — r^isi
Pour avoir la trajectoire absolue, en y représentant par ç l'angle polaire, écrivons
d'où
oyt = (^ — 0 = cp — tang {xL - >
(4) 2cpcotii-L-=L- — -^, rî =
La seconde équation (3) montre que, si h est la valeur
dr initiale de -j- > at
c ~ aA tangfjL-+- a^ta.
Quand c]>a2a)ouA>o,<p peut varier, dans la courbe(4),
de — 00 à + 00, r croissant alors de zéro à i/ - ; h étant > o ,
le mobile s'éloigne de son point de départ A pour tourner indéfiniment dans un cercle dont il s'approche de plus en plus.
Quand c est compris entre zéro et a-w, <f ne peut varier e de la valeur négative qui annule le dénominateur (4)
squ'à 4-00; 7' décroît de 00 jusqu'à l/-; la courbe est
^mptotique à un cercle et à une droite qui passe par le
le ; mais c'est du côté du cercle que le mobile se diri-
ra.
Enfin, quand c << o, <p peut varier de — 00 jusqu'à la
leur positive qui annule le dénominateur, r allant de zéro
l'infini ; mais le mobile ne décrit que la portion de courbe
li se rapproche du pôle.
Pour c = o, la trajectoire est une droite, et pour c = a^ lù
3st un cercle; mais, malgré la variété des cas examinés,
us n'avons pas le mouvement le plus général que puisse
oduire la force f (r) dans toutes les circonstances.
I 82. Un trièdre trirectangle OXYZ tourne avec une Gsse constante w autour de son arête OZ qui est ver- 3t/e, entraînant avec lui un plan P qui passe conrnment par OY et fait avec OXY un angle a dont la
^^ente esti/ -* Deux points pesants, A, B, de masse
citssuj ettis à rester, le premier sur OX, Vautre sur le CTi P, s^ attirent avec une force égale à aw^AB : il n'y ^€LS de résistances passives. Mouvement des points A, *<ir rapport au trièdre : conditions pour que la tratoire relative de B soit une parabole, (Agrégation,
-^es forces d'inertie d'entraînement sont des forces cen-
uges, perpendiculaires sur OZ et, comme les axes de
înparaison tournent toujours autour de OZ, les expres-
ris des composantes de la force centrifuge composée
II très simples. Si l'on désigne par u l'abscisse de A, par j^, z les coordonnées de B, on a immédiatement les
équations du mouvement relatif sous la forme
dt^
d^ X dv
dt^ ^ ' dt ^
fjl% V dx
-j-^ = — g — 2w*z4-N cos a.
En ajoutant la seconde à la quatrième multipliée par tanga, on forme une équation qui ne renferme plus N; il
suffit d'y remplacera para: tang a, tanga pari/- et ^ tanga
par A, pour avoir, après de simples réductions, les équation du mouvement relatif
,. ^ d^x , r.« . dy ,
/ox ^^y o dx
Pour intégrer ces équations, je commence par éliminer, à l'aide de différentiations, y entre (2) et (3), puis x entre l'équation résultante et l'équation (i); on trouve
a^6 a<* dt^
On obtient sans aucune difficulté l'intégrale de cette équation :
W trr G cos O) ^ H- G' sin 0) ^
-t Ecoso)M/ — -i-E'sino)^4 / — --h2F^-f-2F'
.Ai ^, . ^^ Ai
L'équation (i) nous donne alors la valeur de x
a? = — - E cos w ^ 4 / -7-
— -E'smw^i/ -7 hF^-f-F' —
5 y/ 5 21 2ito2
Enfin, si j'élimine -^ entre l'équation (3) et la dérivée
! l'équation (2), je trouve
^d^x . .dx , . du , ,
je puis former l'expression de j
\ y = G'coso)^ — G sinto^-h E'4 /— costo^l /^
-Ey/Hsinco.^^
^ht 2F
Les constantes introduites par l'intégration se détermint à Taide des valeurs initiales de Xj y, u et de leurs rivées premières^ mais, quelles que soient ces constantes, ist bien remarquable que les valeurs absolues de or, r, u gmentent toujours indéfiniment. Dans le cas général, le >uvement de la projection de B résulte de trois autres :
i^ Un mouvement sur une parabole du second degré;
a*^ Un mouvement oscillatoire, dont la période est — > * une parallèle à OX;
"* Un mouvement elliptique dont la période estl / -'«
Pour que le mouvement de B soit simplement parabo- ^le, il faut que les constantes G, G', E, E' s'annulent;
De S.-G. — Rec. l(\
les intégrales (4), (5), (6) deviennent
(7) u= hîiF^4-2F',
(8) ^ = :^'+F< + F'-^, y=ihi-^.
•Il 2IU>2 "^ 2IW t3i
Si, dans les équations (7) et (8) et leurs dérivées relatives au temps, on fait ^ = o, iJ vient
ih 2F
ui = 2F, .;i = F, ^i=;ni-
Pour que ces équations, ne renfermant que deux arbitraires F et F', soient compatibles, il doit exister quatre relations entre les données initiales :
Wo= 23*0 -f
2iaj2
Si Ton élimine t entre les équations (8) et si Ton remplace F, F' par les valeurs tirées des deux premières équations (9), on trouve pour l'équation de la parabole décrite par la projection de B
l'axe de cette parabole est toujours OX et son paramètre est le même dans tous les cas.
On pourrait intégrer les équations (i), (2), (3) en formant une série de combinaisons intégrables, ou en négligeant d'abord 2/2, cherchant des intégrales particulières de la forme
et faisant varier les constantes pour tenir compte de ih\ on trouve pour déterminer r une équation qui a deux ra-
luUes et, au point de vue de l'Analyse, je recommande zul au Lecteur.
. Mouvement apparent d'un point pesant à la ce de la Terre.
is les questions d'équilibre ou de mouvement relatif rps naturels à la surface de la Terre, on peut ne pas iéter du mouvement de translation autour du Soleil; e part, l'attraction terrestre et la force d'inertie d'entiient correspondant au mouvement diurne se comt en une seule force, le poids du corps; si donc nt compte de la pesanteur, on n'aura plus qu'une apparente à introduire, la force centrifuge com-
Qons pour axe des x la tangente à la méridienne 3 vers le sud, pour axe desj^ la tangente au parallèle ; du côté de l'est, pour axe des z la verticale ascen- ; l'axe w de la rotation diurne est dirigé vers le nord
1 à = 0,0000729; ses composantes suivant les
oordonnées sont, \ désignant la latitude boréale de
ne A,
p= — to cosX, ^=0, r=u>sinX.
équations du mouvement relatif d'un point de- ;nt
(P-x ^ . ^ dy
m—r-r = X-}- irrusi smA -h->
df^ dt
(. ^ dx ^ dz\
sinA —=- -\- cosA -j- \
d'^Y ^T I . ^ dx ^ dz
df^
m —rr =— ^g -^ Z H- 2wa> cosX-jj»
dt^ dt
îrchons le mouvement d'un point libre soumis à la action de la pesanteur : soient a. 6, c les composantes
de sa vitesse inilîale : les équations (i), dans lesquelles on supposera X, Y, Z nulles, admettent pour intégrales premières
dx ^7.) —= a4- 2 tocsin X,
(3) ^ =z b — 2w(a?sinX 4-^cosX),
(4) -j- =c — ^^-h^w^cosX.
Les résultats obtenus en intégrant ces équations par approximations successives sont trop connus pour que je les reprenne : je vais seulement interpréter géométriquement les intégrales rigoureuses. Posons
arsinX -h 2 cosX = Ç, -ssinX — a?cosX = Ç;
Ç, y et Ç sont les coordonnées du mobile M quand on prend pour axes : 1° la projection de Ax sur un plan parallèle à Téquateur, 2° Aj^, 3° la parallèle à l'axe du monde menée par A vers le pôle nord. On ajoutera membre à membre les équations (2) et (4), après les avoir multipliées par sinX et cosX ou par — cos)^ et sinX, et on aura, pour déterminer le mouvement,
^ =a — ^^cosXH-2u>y, ^ =6 — 2a>Ç, -^ =7 — ^^smX. Les intégrales sont, en supposant Ç, y, Ç nuls pour i=Oj
t = — • — ~ — — 1(1 — cos2w^) H sm2a)f,
/Ç-^cosX — a / h jo'cosXX . a
h( ^ — -— sin2a>;H cos2w^,
\2aj l^tsy' ] 2W '
Ç = Y ^ gt'^ sin X.
parties non périodiques de Ç, y, Ç correspondraient ouvement parabolique, les parties périodiques à un ment circulaire : on peut donc dire que M parcourt ouvement uniforme un cercle parallèle àl'équateur, :jue le centre de ce cercle décrit une parabole située a plan parallèle à Taxe du monde et à la ligne est- La projection de M sur Téquateur décrit une cj'cloïdc rcie ou allongée suivant que l'on a
résultats précédents ne s'appliquent point, dans la le, à des mouvements d'une grande étendue, car, î cas, on ne peut plus regarder la pesanteur comme lie en grandeur et en direction. Si la Terre agissait une sphère formée de couches concentriques et ènes, le mouvement absolu d'un point au-dessus de ice terrestre serait analogue à celui d'une planète et vement relatif qu'on en déduirait aisément s'écar- ►ien vite de celui que nous avons décrit.
Pour un point qui pénètre à l'intérieur du globe, n puits, par exemple, le mouvement relatif peut ir aisément si l'on regarde la Terre comme un ellipomogène. Menons par le centre de la Terre des axes les à AÇ, Ay, AÇ, et soient X, Y, Z les coordonnées ar rapport à ces axes. Les composantes de l'attrac- ; l'ellipsoïde sur un point intérieur sont, on le sait, orme — /?^X, — /?^Y, — q^X et les équations du ment relatif sont
d^^ , « «v»r dY
dl^
= — gr2Z.
L'intégrale de la dernière est bien connue et on peut élégamment intégrer les deux premières en les ajoutant après avoir multiplié tous les termes de la seconde par /, ce qui donne
équation linéaire dont on sait former l'intégrale : les constantes arbitraires sont déterminées par les circonstances initiales et l'on n'a qu'à séparer les parties réelles et les imaginaires pour avoir X et Y. Dans le cas simple où M part sans vitesse du point A dont les coordonnées sont Xq, o, Zo, on trouve
X = — |(/> -t- w ) cos(/? — 0))^ -f- (/? — a>) cos(/? -^ 0))^],
Y= -^[(/?-H««>) sin(/? — o))^— (/? — a>) sin(/? -mo)^],
Z = Zocosçr/.
On aura immédiatement les coordonnées Ç, y et Ç, qui ne sont autres que X — Xq, Y, Z — Zq, et si on les développe suivant les puissances de t^ on trouve
Mais — (/?2 — (o2)Xo et — ^'^Zq sont précisément les composantes du poids en A, et Ton a
(/?2— a)*)Xo= ^cosX, 5''Zo= ^sinX.
Si l'on remplace p'^ et q^ par leurs valeurs dans les équations (5), on aura Ç, jk et Ç en fonction de quantités connues et on pourra revenir aux coordonnées x^ y^ z,
Sm LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3'j5
r lesquelles on trouvera
^ = -g(jit^ cosX -4-. . .,
.a valeur de x peut se simplifier : si l'on désigne par R » le demi grand axe et l'excentricité de la méridienne estre, on trouve, en partant de l'équation delà normale îUipse,
cosX sinX c' y . . „^
diffère peu de ito^ et la valeur de x devient
our une hauteur de chute A on a une déviation ntale
=i"Vî
— cosX, ne déviation australe
ff = -r — sin2A.
f expériences de Reich, qui ont donné, pour un corps
bant librement, une déviation orientale moyenne très
>ine dee, ont accusé une déviation australe un peu plus
ide, tandis que o- est alors insensible*, M. Gilbert a
elé l'attention sur cette anomalie et sur les écarts
rmes que présentent les résultats obtenus par Reich. Il
L bien remarquer que l'écart entre l'extrémité B du fil
à plomb suspendu en A et le point de chute C d'un mobile partant de A doit être ^ <t. J'ai examiné la question dans les Nouvelles Annales (i883), mais on peut en rendre compte en quelques mots : prenons sur la normale en A une longueur AH = A; au point H, la direction de la pesanteur n'est plus AH comme en A, mais elle s'est rapprochée de l'équateur d'un angle sensiblement égal à
AOH; la mesure de l'angle OAH est environ -e* sina). et,
en prenant les arcs pour les sinus, on a
h he^ h
AOH = rr-OAH = — rr-sinaX = - w^siiiaX;
AB prend la direction de la pesanteur en H ou en B, et le
point B vient à une distance sin2X au nord de H et
BG est égal à 70-, mais c'est encore incomparablement moindre que la déviation observée par Reich et de nouvelles expériences seraient désirables.
1. Déterminer, en se fondant sur le théorème de Goriolis, les composantes, suivant le rayon vecteur et sa perpendiculaire, de l'accélération d'un point qui se meut dans un plan.
2. Montrer que la suraccélération d'un point animé de deux mouvements est la résultante des cinq grandeurs suivantes :
1° La suraccélération relative;
1° Celle d'entraînement;
3* 3w2pasin((o, Ça\ située dans un plan parallèle à Taxe de la rotation instantanée d'entraînement a> et à la vitesse relative p^, mais orthogonale à Va'i
4° 3PaYa) sin(Ya)> ^a) perpendiculaire sur p^» et sur l'accélération angulaire y^);
5* So^Ya sin((o, y^,) perpendiculaire sur a> et sur ^a* (Resal.)
On pourra employer la méthode de M. Gilbert, rappelée n* 176 et on invoquera le théorème de Rivais sur les accélérations dans un solide.
. Soient AA' une horizontale qui tourne avec une vitesse conite a> autour d'une verticale fixe OZ; déterminer les positions [uilibre relatif d'une barre pesante et homogène dont les extréés P, Q sont assujetties à rester, l'une sur OZ, l'autre sur AA'.
(Caen, 1881.) oient ; i la masse de la barre, 2c sa longueur, 6 son angle c OZ, cp l'angle de sa projection horizontale avec AA', a a la 5 courte distance de AA' à OZ.
.es forces d'inertie d'entraînement ont une résultante w'csinO
tle point d'application est aux — de PQ. On écrit les six équa-
is d'équilibre avec les réactions et on trouve deux solutions :
I* 9 = -, sinO = -:
20 cosO=-;^, si -^ <::^ci—a^.
4ca>- ^ti)^
. Mouvement relatif de la barre considérée à l'exercice préent, en supposant que A A' rencontre OZ. (Bordeaux, 1880.)
— — 0;*=(cosO — cosOo) -^ — w2(cosO-4-coseo) .
CLC I 2 C I
>n remarquera le cas où PQ s'écarte peu d'une position d'équie.
- Mouvement d'un point pesant enfermé dans un tube circulaire
ruant avec une vitesse constante w autour d'un de ses dia-
:.res, qui est vertical : discussion complète en supposant que le
ntsoit d'abord immobile par rapport au tube.
>ans le cas particulier, 6 mesurant l'écart avec la verticale des-
dante,
-7-1 = a)*(cosô — cosa)( — /Vr — cosa — cos6 ),
jj~^jr — cosa = k est > I, 6 varie de a à — a; pour A* = i, 6
îve à zéro après un temps infini; si A:< i, le mobile oscille de 't- et d'autre de la position d'équilibre sans atteindre la verticale centre.
• Mouvement d'un point M posé sur un plan horizontal par-
faitement poli et attaché par une tige de masse négligeable à un point A qui parcourt uniformément une circonférence située dans le plan donné. Cas où le rayon est égal à AM et le point M, à l'instant initial, est en repos absolu sur le prolongement du rayon OA. (Caen, 1879.)
On peut chercher le mouvement relatif à des axes de direction constante passant par A; si AM = a fait l'angle 6 avec OAo, on a
O'-j-j = R'o2sin(o)^ — 6);
on pose, pour intégrer,
Si R = a et Po= «(w-t- OJ,) — o, —~ = î?,wcos- 61.
7. Mouvement d'une bille pesante enfermée dans un tube droit qui tourne autour d'un de ses points dans un plan vertical; il y a frottement et résistance de l'air proportionnelle à la vitesse. (Lille, i885.)
-^ =^cosa)^-4-a)2r-2A:^- -^>^'
dr . .
tant que -7- >o; l'équation ne conviendra pas toujours.
8. Mouvement d'un point non pesant sur une parabole qui tourne uniformément autour de son axe et dont le foyer attire le mobile proportionnellement à la distance. (Besançon, 1884.)
9. Mouvement d'un point M non pesant enfermé dans un tube droit horizontal animé d'un mouvement hélicoïdal uniforme autour d'une verticale OZ qui attire M proportiounellement à la distance. (Grenoble, i885.)
10. Une bille pesante M est enfermée dans un tube rectiligne OA qui peut tourner autour d'une verticale OV avec laquelle il fait un angle constant 6; comment doit varier la vitesse o) avec laquelle tourne le plan AOVpourxjue OM soit delà forme A:(^H-a)', k et a étant constantes? Quel serait le mouvement de M si les conditions initiales étaient quelconques? (Agrégation, 1879.)
►M doit satisfaire à l'équation
-^-- — 0)2 r sin2 G — g cos 0 = o ;
