MOUVEMENT DES SYSTÈMES MATÉRIELS

"183. Pour connaître le mouvement que doit prendre, so la s l'action de forces données, un système de points materai els assujettis à des liaisons plus ou moins nombreuses, il suffirait de déterminer le mouvement de chacun des points en adjoignant aux forces données celles qui représexiteraient reffet des liaisons : on aurait toujours autant ^'^cjuations que d'inconnues. Mais souvent un petit ^c^rnbre de données suffisent pour déterminer la position dix système considéré et on peut les obtenir en appliquant les théorèmes généraux, sur lesquels je vais seulement dc^riner quelques explications : il s'agit, dans chaque cas, d^ choisir les variables propres à déterminer le plus simploment la position du système mobile et les théorèmes S^ïxéraux dont l'application n'introduira pas d'inconnues ^ï^vitiles.

Je signalerai d'abord le principe de d'Alembert qui ra- ^^*^^ne la Dynamique à la Statique : il conduit directement ^ ^eux théorèmes d'une grande importance sur les quan- ^^t^s de mouvement : je rappelle que la quantité de mou- ^^^ «lient d'un point est une grandeur géométrique suscep- ^^-fc^le d'être représentée par un segment de droite égal ^ ^Tiv et dirigé suivant la vitesse, en sorte que l'on peut, P^x convention, appliquer à ces quantités les définitions ^ les opérations qui se rapportent aux forces.

Cela posé, la dérivée par rapport au temps de la somme

38 '2 RECUEIL B^EXE&CICES

des projections des quantités de mouvement sur un axe est égale à la somme des projections des forces extérieures appliquées au système : la dérivée de la somme des moments par rapport à un axe est égale à la somme des moments des mêmes forces. Ces théorèmes fournissent précisément six équations distinctes qui correspondent aux six équations de l'équilibre. On en a donné quelques interprétations remarquables : celle qui se rapporte au mouvement du centre de gravité et au théorème des aires est bien connue; M. Resal en a donné une autre, aussi élégante qu'avantageuse. Si l'on compose les forces extérieures comme des forces appliquées à un solide invariable, on a une résultante de translation R qui passe par un point O et un couple dont l'axe est une droite K; soient OP et OG la résultante des quantités de mouvement transportées parallèlement à elles-mêmes en O et l'axe du couple résultant de cette translation comme s'il s'agissait de forces : les vitesses des points P et G sont respectivement représentées, en grandeur et en direction, par les droites R et K. On sait que l'axe OG est perpendiculaire au plan du maximum des aires.

Vient ensuite le théorème des forces vives qui sufiSt souvent pour déterminer le mouvement du système lorsque ce système est à liaisons complètes, c'est-à-dire que sa position dans l'espace peut être définie par la valeur d'une seule quantité. Mais ici les forces intérieures peuvent intervenir : si la distance de deux points qui s'attirent avec une force F croît de di\ si un glissement d'étendue dr a lieu entre deux parties du système en développant une force de frottement F, il se produit dans les deux cas un travail égal à — Fûfr, qui n'existe plus s'il n'y a point de frottement ou si la distance des points qui s'attirent ne varie pas.

Quand un solide tourne autour d'un axe OZ avec une

vitesse (0, sa force vive est égale au produit de w^ par le moment d'inertie autour de OZ; nous étudierons plus loin les moments d'inertie : il suffira, dans ce Chapitre, de savoir que, pour une droite homogène de masse M et de long« eiir 2 a, le moment d'inertie autour d'une perpendiculaire

en son milieu est -Ma^; le moment d'inertie d'un cylindre

droit autour de son axe est - MR^ ; enfin le moment d'inertie

d'iiii corps quelconque autour d'une droite OZ est égal au "moment autour de la parallèle à OZ menée par le centre <ie gravité G augmenté du produit de la masse du corps par* le carré de la distance de G à OZ.

1 86. Généralisation du théorème de Kœnig,

D'après le théorème de Kœnig, la force vive d'un syst-ème matériel est égale à la force vive qui correspond au nri oxivement relatif à des axes de direction constante passant par le centre de gravité G, augmentée de la force vive d.'viiie masse égale à la masse totale M et concentrée au point mobile G. M. Gilbert a déterminé les points A qu'on pourrait substituer au point G, dans le cas où le système lïiobile est un solide S. Soient x^y^ z, v les coordonnées ^t la vitesse absolues d'un point de masse m appartenant ^u système; X, Y, Z, V celles du point A; x'y y\ z\ v^ les ^coordonnées et la vitesse de m relativement à des axes me- ^<^s par A parallèlement aux axes fixes; a, p, y les coordonnées relatives de G : on trouve, en ayant égard aux propriétés du centre de gravité,

^oxir que le théorème de Kœnig s'étende au point A, il

faut et il suffit que la dernière parenthèse s'annule ou que V soit perpendiculaire à la vitesse relative u de C. Soient OM Taxe du mouvement hélicoïdal de S ou axe de Mozzi, AP la parallèle menée par A : u est normale au plan APC; ce plan doit donc contenir V; or V est la résultante d'une vitesse de glissement parallèle à AP et d'une vitesse normale au plan OMAP; la première composante étant dans le plan APC, la seconde doit y être également : donc les plans APC et APOM doivent être perpendiculaires. Le lieu du point A est un cylindre droit ayant pour génératrices opposées l'axe de Mozzi et la parallèle menée par le centre de gravité.

Le calcul conduit au même résultat. Soient/?, q, r les composantes de la rotation instantanée de S, a, b, c celles de la vitesse absolue de C : les composantes de u seront gry — r^, /-a — py^p^ — 7^? et celles de V,

La condition pour que le théorème de Kœnîg s'applique au point A est donc

(1) 2(5rY-rP)(a-^Y + ^'P) = o.

Les coordonnées du point A, par rapport à des parallèles aux axes fixes menées par C, sont — a, — p, — y; l'équation (i) exprime donc que le lieu du point A dans S est une quadrique dans laquelle on reconnaîtra le cylindre de M. Gilbert. Un calcul analogue donne un hyperboloïde pour le lieu des points qui partagent la propriété du centre de gravité relative à la somme des moments des quantités de mouvement.

Principes des forces vives.

187. Mouvement d'une chaîne pesante, très mince ^ mais non homogène, enfermée dans un tube dont la for me

elle d'une cycloïde située dans un plan vertical avec use horizontale et le sommet en bas, (Puiseux.)

suffit de connaître le mouvement d'un point de la ae, par exemple du point A qui est le centre de gravité id la chaîne est en ligne droite. Le principe des forces > va nous donner notre unique inconnue : d'ailleurs la ion des parois du tube sur la chaîne est en chaque t normale au déplacement et son travail nul; la chaîne : parfaitement flexible et inextensible, les forces inté- •es ne donnent pas non plus de travail, et l'on ne doit • compte que du travail de la pesanteur, enons pour axes des x et des j^ la tangente et la nor-

au point le plus bas de la cj^cloïde, et appelons a le Q du cercle générateur, s l'arc de courbe à partir de jine; on sait que s'^ = Say. Soient r la valeur de s au t A, £ la densité au point M tel que l'arc MA soit égal V la vitesse de la chaîne, m sa masse. Si l'on suppose esse initiale nulle, le théorènie des forces vives donne, Qtégrales étant étendues à toute la chaîne,

s = r H- /, et / ne varie pas avec le temps ; donc

►, A étant le centre de gravité de la chaîne rectifiée, fudl = o, et %î= ;^ (rj— rî).

oint A se meut donc comme s'il était isolé, et toute la ae participe à ce mouvement tau tochrone bien connu. )ur avoir la tension T en M, je considère la partie MP i chaîne qui se trouve au-dessus : soient A' le point qui

De S.-C. — liée, 20

serait le centre de gravité de MP rectifié, arc OA' = r', m! la masse de MP, /' la distance rectifiée d'un de ses points à A'. Appliquons le théorème des forces vives à un déplacement infiniment petit de MP; on a, en prenant l'intégrale le long de MP,

f^ 1 m'pî = — T dr'-\- gd Çzi^y^^y) dU = --Tdr'^^d(r',^-r'^),

D'après la seconde équation (i),

, I , gr dr

dr étant égal à dr' ^ on a

La tension est indépendante du temps et toujours négative, c'est-à-dire que la chaîne tend partout à se replier et à se raccourcir.

La pression N dl exercée par un petit élément MM' sur le tube s'obtient en évaluant la force centripète pour cet élément; soient p le rayon de courbure de la cycloïde, a l'angle de ce rayon avec la verticale ; la projection de la tension en M' sur la normale en M est sensiblement égale

à T — : on aura donc

zdl — = ^dl — gzdl cosa -{- T — , N = h £'ecosa.

N est toujours positif : c'est dire que le fil appuie toujours sur le côté concave du tube.

188. Un fil flexible et inextensible est enroulé sur un cylindre mobile autour d'un axe horizontal, et porte à

r deux extrémités deux poids P e^ Q; déterminer le )uvement du système en supposant que P e^ Q aient e vitesse initiale a, mais que les fils qui les soutiennt restent verticaux ; on admet que l'air oppose au ouvement de P et de Çl une résistance proportionnelle : carré de la vitesse, (Paris, 1869.)

Soient P celle des deux masses qui descend d'abord-,

l^ quantité dont elle est descendue au bout du temps t;

q les masses de P et de Q, 2 m la masse du cylindre,

>on rayon, co sa vitesse angulaire, - la somme des forces

îstantes que Tair oppose au mouvement de P et de Q. La

ce vive du cylindre est y w' /' rf/w, ou w' multiplié par

moment d'inertie par rapport à Taxe, c'est-à-dire

«. X - R' w' = /n R' co* ^ mais, puisque le fil s'enroule sans

5ser sur le cylindre, Rco est égale à la vitesse commune e P et Q, et la force vive du cylindre est mw*, Applions le théorème du travail ik un déplacement infiniment ît du système :

d^ip -h q -\-m)v^ = g[p — q) dx djs..

exposons p^Çy et faisons

cë{p — (l) = ^^^ p-^q -^rn = p; £iura

— v^ K* — a^ cyL ^ '

iî a<^h^v croit constamment, pour devenir égal à À' ^XiA X est infini \ si au contraire a >> A", la vitesse décroîpour devenir égale à /: à la limite : le mouvement aura ï- indéfiniment dans le même sens, tant du moins que le xnet la longueur du fil. On peut avoir x en fonction du

temps, car la dernière équation donne évidemment

kt ^ £.

Revenons à l'équation (i) dans le cas où p<iq^ et fai sons cg{p — q) = — ^^î ^^ ^u^a

La vitesse est d'abord égale à «, mais elle va en diminu& et s'annule quand

(«» -f- X') e '■■J' = /•», ar= ~ L -—— -~ •

On sépare les variables comme précédemment, et Y

trouve

dtz^tcii.dxya'^'^k^'- k^e'^l , d'où

It /«-"^ . X- — = arc sm — rr: arc sin .

^V- sja^^v-k^ ^a}^k^

La valeur de x pour laquelle p» s'annule rend le prem

terme du second membre égal à -? et l'on a pour le t«-' (|ue P mettra à descendre

eu /-

r= -■- arc ces •

partir de ce moment, c'est Q qui descendra^ on ne irra plus employer les formules précédentes, mais la antité dont Q descend se calcule par les formules du îmier cas, en changeant p en ^, et faisant a= o. Supposons en dernier lieu p -= q'^ l'équation (i) devient

d.v^ id.r ^h " = : d ou v=Lae ^^\

vitesse diminue indéfiniment, mais elle ne s'annule que ur X infini 5 en remplaçant (^ par sa valeur, il vient

La tension de l'un des cordons se calcule en appliquant "juationdu travail au déplacement infiniment petit d'une i masses qui le terminent. Soit le cordon qui porte le Lds P, on a

d.p{^ = 2 pgd.v — 7.T d.r — 2 — d.r,

valeur de T s'obtient aisément, mais n'a rien de rerquable.

189. Un fil inextensible et sans masse passe sur deux \s petites poulies A ef B situées sur une horizontale^ et *%e à ses extrémités deux poids égaux P. ^u milieu de » on pose sur le fil un poids Ç^^ et on V abandonne sans esse initiale. Quel est le mouvement du système? Cas Q est beaucoup plus petit que P.

lie poids Q tend à suivre la verticale de son point de dé- "t, et, comme l'action du fil est symétrique par rapport ctte verticale, rien n'en fera dévier le mobile. Soient ^c z la quantité dont il descend et x celle dont montent ïnême temps les poids P, AB ^= ia^ q la masse de Q,

SgO BECDEIL d'exercices

p celle (le P. Le théorème des forces vives donne immédiatement

Or X est égal k T accroissement de la distance de Q à la poulie A : ■

ar = y a' -f- z' — a, « = Sjx^ -{- 2 «.r, dz=z -

sj x^-\- o.ax

Remplaçons z dans Téquation des forces vives :

o: est d*abord ^ o pour que sjx^ -\- lax soit réel^ mais, pour que le second membre de Téquation précédente reste positif, on doit avoir

(2) <7'(.r' -4- 2a^) >4/^'x', •«^(4p' — q^] <^2aq^.

Quand 2/7 est <^ ^, l'inégalité est toujours satisfaite, et le mouvement se continue indéfiniment dans le même sens, et, quand x devient très-grand, on a sensiblement

dr^

c'est dire que le mouvement se rapproche du mouvement uniformément accéléré. Lorsque ip^ q^ x a une limite

2 CLQ^

supérieure j—^ ^ à laquelle correspond la valeur

^apq

Pour étudier ce cas, il convient de transformer l'équation (i); or les inégalités précédentes montrent que

la -{-X

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Sgi

5St compris entre zéro et-^-* Posons donc d'où

X = 9 2 a -\- X = ; — ; ï CIX =

Substituant dans Téquation (i), il vient, après quelques rc^duclions,