I -f- 28f2 -4- 6)u^-he*u* du

{i — 6'u^Y{u — u^) di

On ne peut effectuer la quadrature, mais on reconnaît LC u partant de zéro croîtra jusqu'à i pour décroître ensuite jusqu'à zéro, revenir à i , et ainsi de suite : la durée d.e ces oscillations est constante. Si l'on néglige les termes SQ. e*, on a une valeur approchée de t en fonction de u :

/<7 6 I -H 2 £ w' dlz=. K — — ^^n.- du ,

V s slu-'u'

t , 7^6 r/ ^sx , . 2«-f-3 / —

'— Y/-.|^(^i+~jarccos(i-2i/)-e— ^^ — s/u^u "-•^ durée d'une demi-oscillation est

= ff I / — ( I -4- ^ s

^K^vr

t»a tension F du cordon se trouve en appliquant le tliéoeiîxe des forces vives à un déplacement infiniment petit de ^îi des poids P5

• ^^* /^ \ . ^ <3? I dx^

Sga nEcuEiL d'exercices

La dérîvée de -7- se déduit immédiatement de la valeur

donnée par (i) : elle est d'ailleurs très - compliquée •, je dirai seulement qu'elle est nulle pour a: = o et égale à

quand x atteint son maximum.

190. Une planche très- mince, de forme quelconque, est posée sur un cylindre droit horizontal sur lequel elle ne peut que rouler sans glisser ; déterminer la loi de ses oscillations quand on l'écarté de sa position d'équilibre.

On reconnaît d'abord que, dans la position d'équilibre, le centre de gravité G doit se trouver sur la génératrice de contact. En elFet, le moment de la réaction du cylindre par rapport à cette droite étant nul, il en doit être de même du moment du poids 5 cela exige, ou que G soit sur la génératrice, ou que la planclie soit verticale. Or cette dernière position ne peut être une position d'équilibre -, car il faudrait que le coefficient de frottement sur le cylindre fût infini. Soit A le point du cylindre qui coïncide avec G dans la position d'équilibre. La planche roulant sur le cylindre sans glisser ni pivoter, le point G ne sort pas de la section droite menée par A et décrit une développante de cette section. Prenons pour axes l'horizontale et la verticale menées par le centre de cette section, et désignons par a l'angle du rayon OA avec la verticale, et par Q l'angle du même rayon avec celui qui va au point de contact variable I; l'angle de ce rayon 01 avec la verticale ascendante est a -J- 0.

Pour évaluer la force vive, cherchons celle qui correspondrait à une masse égale à la masse m de la planche ac-

cumulée en G. Le mouvement de cette planche est une rotation instantanée avec la vitesse y- autour de la génératrice I, et, comme lA = R0, la première partie de la force vive est mR*6' — • Il faut y joindre la force vive cor-

respondant au mouvement relatif au centre de gravité, qui est encore un mouvement de rotation ^ si k est le rayon de gyration de la planclie par rapport à Taxe meiié en G parallèlement à la génératrice I, la seconde partie de la force

/i ve est mk^ — • D'autre part, l'ordonnée du point G, qui

L'ra connaître le travail de la pesanteur, s'obtient en pro- 3 tant 01 et IG sur la verticale :

jr — Rcos(0 -{- a) -i- RÔsinJO -f- a).

'c^quation des forces vives est donc, H désignant une con- ,a.iite,

: ) m(Jl'0'-l-/^) — — II— 2/wg'R[cos[0-f-a)-i-ôsiri[0H- a)].

Ce w

^Tx ne peut eifectuer l'intégration^ mais, si Ton appelle o) a. vitesse angulaire pour 0 = o, il est facile de voir si la blanche pourra devenir verticale. Avec cette donnée, l'él^alion (i) prend la forme

■^'®'-H ^'j ^ =A'<o'-h2gIi[cosa — ces (9 4- a)— Ô sin(0 -f- a)].

Le second membre décroît quand 9 augmente de zéro à

a. Pour que la planche atteigne Ja verticale, il faut lonc