X-2io2-f-a^R ( cosa -f-a ) ^o
3q4 recueil d'exercices
Quand cette inégalité n'est pas vérifiée, la planche s'arrête pour une valeur de 0 égale à p j l'équation (i) peut s'écrire
(K»0«-hA:»)-T7 =2R^[co3(p-4-a)-+-psin(8-i-a; ai
— cos(0 -h a) — 6 sin(0 -!- a;].
Pour que le second membre reste positif, il faut que 8 varie entre (3 et une valeur comprise entre zéro et — P, car, pour 9 = 0, la quantité entre crochets est > o, comme
étant supérieure à
cos (P -+-a)H-sinpsin(P -^-a) — cos a,
c'est-à-dire à (i — cos^) cos([3 + a); pour 0 = — p, elle devient
2psinacosj5 — 2sinasinp <^ o.
Il est remarquable dans tous les cas que le mouvement ne dépende pas de la forme de la planche, maïs seulement de A*. Quand (3 est très-petit, et par suite ^, on peut dëve-
loppcr — par la formule de Taylor, et, eu se bornant aux
termes principaux, avoir
/'— =:R5^(p' — G»)cosa, O==pcos-Η ^ -,
les petites oscillations sont isochrones entre elles et à celles
d'un pendule de loncrueur =;— ^ — • En observant le temps ^ ° Rcosa ^
d'une de ces oscillations, on peut en déduire soit H, soit h. Si Ton veut calculer la réaction normale N et la réaction tangentielle T du cylindre, on projettera sur 01 et sur la tangente en I l'accélération du centre de gravité multipliée par in\ ces projections sont égales aux projections correspondantes du poids mg^ augmentées de N sur 01, de T sur
SI311 LÀ MÉGÂIfIQUE RATIONNELLE. 3g5
tangente. A l'époque f, la vitesse de G est égale àR0-parallèle à 01; à Tépoque t-h dt^ elle est
^,^dQ ^ ^dB\ dt dt /
fait l'angle d9 avec 01. La différence entre les projecns de ces vitesses, divisée par dt^ donne les projections Taccéléralion, et Ton trouve
^^R (^^. + 0 ^ j = N - /n^cos (Ô -h a],
mRG — =T 4-/?î2'sin(0 -f-a).
- s'obtient en différentiant Féquation (2) par rapport au
nps, et divisant ensuite par 2 -— •
Quand on ne suppose pas le glissement absolument imssible, il faut, pour que le mouvement ait lieu comme il té dit, que T reste </N; sinon il y a glissement, et le iblème est tout différenl.
Mouvement du centre de gravité.
