Une chaîne homogène, attachée à une masse m

V une de ses extrémités A, est en partie pelotonnée

^ un point B d^un plan horizontal ; on a communiqué

>2 une certaine vitesse Po? de manière qu'une portion

la chaîne s'est déroulée; cette portion est en ligne

dite et dans le prolongement de la vitesse du point A.,

*• admet que la portion restante se déroule sans effort,

Von demande le mouvem.ent du point A. (Smith' s

^ze, 1870, solved by prof essor Cayley,)

Le mouvement clierclié est évidemment rectilîgne. Soient a? la distance de A à B à Tépoque it, u la vitesse de A, a la valeur initiale de x, (x la masse de Tunité de longueur de la chaîne, a -f- i sa longueur totale. Puisque la chaîne se déroule sans résistance, la projection de la quantité de mouvement sur la direction AB sera constante 5 donc

el, comme i^ = --^f on intègre immédiatement

Cette équation donne le temps que la chaîne met à se dérouler :

L'équation (i) montre que, après ce temps, la vitesse est

1^0 — ~ — , ; la force vive correspondante est

li^a ~\- oj -^ m '■

Ce n'est qu'une portion de la force vive initiale; la perte est due aux petits chocs que produisaient les divers éléments de la chaîne passant d'une vitesse nulle à une vitesse finie; elle est d'autant moindre que la masse terminale m est plus grande.

La tension au point C, qui est à la distance c de Textrémité A de la chaîne, se calcule en appliquant le théorème des forces vives à un petit déplacement de CA :

d(ii.c -h m)v^= — 2Tax. T = - — ■ ■ — pj .

Quand toute la chaîne est déroulée, il est évident que le mouvement devient rectiligne et uniforme, la tension nulle.

192. Une tige rigide dont la masse est négligeable porte à ses extrémités A e^ B deux masses égales à m : la masse A est assujettie à glisser sur une droite VÇl parfaitement polie faisant l'angle i avec Vhorizon. Mouvement du système en supposant la position et la vitesse initiales de B données dans le plan vertical qui passe par la droite PQ^; pression exercée sur PQ et tension deAB,

Je prends pour axe des x PQ, et pour axe des y une perpendiculaire située dans le même plan vertical et dirigée vers le bas; je pose AB = 2a, je désigne son milieu par C et son angle avec l'axe des j^ psir ^î j'appelle x l'abscisse de C; quant à son ordonnée, c'est j^ = a cos9.

Le centre de gravité G du sjstème se meut comme un point de masse 2 m, auquel serait appliquée une force verticale 2mg et une force — N parallèle à OY; les équations de son mouvement sont donc

(i) — ^ =^sin/, 2/71 -7^ =: 2 /w^ ces/ — N.

La première s'intègre immédiatement :

dx , I .

-5- = tf H- fi'^ sm/, X =2 x^ -\- et -^ - sO sm/. dt 2

L^ projection de C sur PQ a donc un mouvement uni for- '^^ment accéléré. Quant à 9, on peut le déduire du théorettxç des forces vives. La force vive du système est celle 1^1 correspond à la masse 2/w concentrée en C, plus celle 4^ï correspond au mouvement relatif autour de C. La seule '^ï'ce qui donne du travail est la pesanteur, et son travail ^st le môme que si toute la masse était réunie en C : si donc

SgS RECUEIL d'exercices

a et (0 sont les valeurs initiales de 9 et de ^> on aura

= 2m(c2-h a^ cousin* a -V- a*a>*) -1- 4m^[(^ — ^o) sini -V- a(cosô — cosa)cosi].

Remplaçons ^ et -^ par leurs valeurs ; tout ce qui dépend

de ces quantités disparaît (*), et il vient, en divisant par 2 ma,

(2) a(i -f- sin*6)-7-^ = a(i -hsin2a)a)2-^ 2^cosi(cosO — cosa).

Posons a(i + sin^a) w^ — 2^cosi cosa = ighcosi^ on aura

, , <iô2 .cose-f-yi

( 2 ) a -j-r = 2 £- COS l T-TK '

Nous n'avons pas eu à dire dans quel sens on comptait les valeurs positives de 9; l'équation (2) montre que le mouvement relatif autour de C est symétrique par rapport à une droite perpendiculaire à PQ, et Ton peut supposer que 9 soit d'abord croissant. La constante h ne saurait être inférieure à — i ; mais elle peut être ^ i . Si A >► 1, <fO ne pourra s'annuler, en sorte que 9 croîtra indéfiniment, les révolutions relatives de AB se faisant dans un temps constant. La trajectoire du point B sera une courbe sinueuse,

(*) Cette réduction pouvait se prévoir; car, si l'on cherche le mouvement relatif à deux axes dont l'un coïnciderait avec PQ, l'autre lui serait perpendiculaire et passerait par G. les forces apparentes qu'il faudrait introduire seraient deux forces — mg sin i, parallèles k PQ, appliquées à A et B ; mais ces forces se réduiraient à une seule — am^sin/, appliquée en G, égale et directement opposée à la résultante des actions de la pesanteur estimées suivant PQ.

SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. SqQ

comprise entre deux droites parallèles à PQ, à une distance aa, de part et d'autre; mais les points de rencontre de la courbe avec PQ deviennent de plus en plus espacés.

La valeur A = i ne permet pas d'intégrer l'équation ( 2 ) ; mais, en l'adoptant, 0 croîtra jusqu'à tc, pour n'y arriver qu'après un temps infini.

Quand A<^i, on peut le faire égal à — cos^, et 9 oscillera entre les valeurs P et — P pendant des intervalles égaux, mais plus longs que ceux d'un pen'dule simple, de longueur a, oscillant entre les mêmes limites. Quand (3 est très petit, on peut, dans la formule (2), négliger les termes diu deuxième ordre par rapport à ceux qu'on a dans chaque membre, et, se rappelant que h = — cosp, on a

, . /g cos i , / a . 6

=zdti/- j t = i/ larcsin-T-;

\ a \ gcosi [i

les oscillations très petites sont isochrones avec celles du

Pendule de lonerueur — r»

^ cost

On peut aller jusqu'à la limite, — i , de h. Son expres-

on montre que cela exige une double condition, w = o,

==0, c'est-à-dire que, à l'origine, AB soit perpendicu-

ï'e sur PQ et animée d'une vitesse de translation paral-

e à cette droite. Dans ce cas, 0 doit rester constamment

l ; AB est toujours perpendiculaire à PQ, et se déplace

ti mouvement uniformément accéléré.

^a pression exercée sur la droite PQ est donnée par la

)nde équation (1)

/ . d^y\ l . .t^î . .dn\

im( ^cosi -^ j = 2mf ^cosi-t-acosô-y^ -+- a sin 6 -^~ j •

//fi lation (2) donne -j-; en différentiant ses deux mem-

bres et divisant par — -> on trouve

d^B , . ^ 5t -f-cos'6 -4- 2//cnsO

a -,-• = — g ces/ sm 0 ; : ^, o

dt^ ^ (i4-sin^e)^

Substituant dans la valeur de N et réduisant,

. cos^O -h là cosô -f- 2

N = 2mgco%i .——- »

° (i-i-sin'O)»

Le numérateur est positif quand cos0 Test lui-même, puisque A ]> — i . Si on le regarde comme un trinôme du deuxième degré en cos0, on trouve que les deux valeurs qui pourraient T annuler ont pour produit a *, Tune au moins est inadmissible, et, pour que l'autre soit acceptable, elle doit être comprise entre zéro et — i •, le numérateur

doit être négatif pour cos9= — i, ce qui donne /i^--

C'est donc seulement quand la rotation relative autour de C est continue et assez rapide que N peut devenir négatif.

La tension F de la barre AB s'obtient en exprimant que N est la résultante du poids de A estimé suivant O Y et de la composante de F suivant la inême direction; on a ainsi

N = mg' cos / -h F cos 0, d'où

„ N — myo-cosî .4A-k6cop6 — cos^O F = 5 = mff cos i :— .

Le numérateur diminue quand 0 croît de o à ir; si /i < i , 0 ne peut augmenter que jusqu'à la valeur p, dont le cosinus est — h; or, pour cette valeur, le numérateur est

cos (3(2 — cos^P); si donc P <^ -? F est toujours positif;

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. /foi

quand ^ est > -> F devient nul et négatif. Il en sera de même quand h sera ^ i , mais •<] y En résumé, F ne peut devenir négatif que si h est compris entre zéro et - •

193. Sur un plan horizontal, parfaitement poli, repose un parallélépipède rectangle; dans la section verticale médiane, on a creusé un canal de forme connue dans lequel peut glisser sans frottement une petite ma^se m. On suppose que le prisme soit d'abord immobile et quon laisse tomber m en un point connu du canal, et l'on demande le mouvement du système, en admettant que le prisme aura un mouvement de translation parallèle au plan du canal; cas où ce canal est une cycloïde dont le sommet est au point le plus bas, et où Von néglige le carré du rapport de la masse m à la masse M du prisme, (Paris, 1 87 1 .)

Prenons des axes coordonnés dans le plan du canal, l'origine au point de départ de m, OX horizontal, OY dans le sens de la pesanteur ; les coordonnées relatives du point/w sont liées par l'équation du canal y(a:,^)= o. Considérons, au contraire, des axes fixes qui auraient coïncidé avec les axes mobiles à l'origine du mouvement, et désignons para:, la quantité dont le point O du prisme s'est déplacé horizontalement; les coordonnées absolues de/7isont^-|-^i €t^. Cela posé, le problème n'a que deux inconnues, x^ , et J une des quantités x^y o\x un paramètre qui les détermine. ^^ le système du prisme et de m n'est soumis qu'à l'action ^^ la pesanteur et à la réaction verticale du plan fixe ; le centre de gravité, d'abord immobile, restera sur une verti- ^»^le, ce qui donne, après une simplification évidente,

^^ théorème des forces vives fournît la seconde équation

De S.-G. — Rec, 26

402 B.ECUEIL d'exercices

nécessaire

,, dx} I dx\ dx dxt dx^ dy^\

li suffit de remplacer —p par sa valeur obtenue en diSeren-

tiant (i) pour avoir entre x^y et f une relation propre à déterminer en fonction de t le lieu occupé par m dans le canal ; on trouve ainsi

M dx^ dy^

Connaissant ^ et j^ en fonction de t^ on a ^^ à Taide de l'équation (i), et le problème est résolu.

Lorsque le tube a la forme d'une cycloïde et que m part de l'un de ses points de rebroussement, on peut écrire

a? = a(M — sinM), y =z a{\ — cosm);

et, si l'on pose m = Me, l'équation ( 2) devient

L I 4- e ^ \ dt^ ° ^

Je divise par i — cosm, et je sépare les variables :

(3) dt

1/^ =±dui/i — sin»i u.

On est conduit à effectuer une intégrale elliptique de

deuxième espèce ; mais la forme de l'équation montre qj^j^B"® Uy qui croît d'abord, ira jusqu'à 2tc, sans dépasser ce^ tte limite si le tube est formé d'une seule branche de cjcloï(^E3e; du deviendra ensuite négatif, et u décroîtra jusqu'à zef^isro pour croître de nouveau. Le temps de ces oscillations ^st constant, et la moitié correspond à la descente, l'ais- *^^

moitié à la montée de m. Les coordonnées absolues de ce point sont