JI

Les rayons vecteurs conservent des rapports constants, et les trajectoires sont descourbeshomothétiques. Les vitesses seront toujours parallèles et leurs rapports seront les mêmes que ceux des distances des points au centre de gravité O, c'est-à-dire qu'ils seront invariables. Il faut donc que, à l'origine, A, B, G soient en ligne droite, animés de vitesses parallèles et proportionnelles à OA, OB, OG ; il s'agit, bien entendu, des vitesses par rapport au centre de gravité.

Mais ce n'est pas tout : si je désigne par u^ la valeur commune des rapports (i), on aura, a, 6, c, u étant positifs,

r = zh au, ri = ± bu, rj = riz eu,

l^oiir que le point O soit le centre de gravité, il faut que les trois points ne soient pas d'un même côté par rapport à O. Supposons que A et B soient d'un certain côté, G de côté opposé ; on prendra + pour les deux premiers signes et — pour le troisième; on pourrait aussi prendre r2= cw, à condition d'adopter 6 + 7tpour angle polaire de C. Pour que O soit centre de gravité, il faut

(^a) Xa-h fjLÔ — vc = o.

4o6 RECUFIL d'exercices

L'équation des aires se réduit, pour les trois corps, à

M« d) = dt.

Cherchonsles composantes de l'accélération des trois points suivant leurs rayons vecteurs : en appelant y* l'attraction des unités de masse à l'unité de distance, on a pour le point A

d^r rfO« fil /y

dt^ '^ dt^ ~ {r—ri}* (r-Hrj)*'

^\dt^ ^dt')~ w4(« — ^;- "^ («-Hc)2j* On aurait de même pour B et C, B étant entre A et C

__ d^\ f\ X IL 1

dL'^ Pour que ces équations soient compatibles, on doit av( d\v

{a—ôy^ (a-+-cy (ù-hcY^ (a—ôY (a-hcY {ô-^i

L'équation (2) est une conséquence de celles-ci; car^ l'on y remplace a, 6, c par les quantités proportio ^nelles (3), elle est identiquement satisfaite. D'ailleurs, ^^ tenant compte de cette équation (2), on trouve que le s ystème (3) se réduit à une seule équation, où n'entrent jpas les masses,

^^f (b-v-cy (a-hc)2 "^ (a — 6)« ■"^*

Étant données les positions initiales des trois corps, 1'^

quation (2) permet d'en trouver le centre de gravité, et l'on peut s'assurer si la condition (4) est remplie. Dans ce cas, les trois mobiles décrivent des coniques homothétiques ayant O pour foyer commun, et les lois de leurs mouvements relatifs sont tout à fait analogues à celles du mouvement des planètes. Quant aux trajectoires absolues, ce sont des sortes d'hélices tracées sur des cylindres à base du second degré, courbes que M. Léopold Hugo a proposé de nommer ovhélites.

195. Une barre AB, de poids P, de longueur 2 a, homogène, s' appuie par ses deux extrémités contre un plan horizontal et un plan vertical pat^f ait ement polis; elle est dans un plan perpendiculaire à leur intersection en O, et primitivement maintenue en repos. Un animalM^ de poids Q, peut se mouvoir le long de cette tige, qui lui fournira une réaction longitudinale pour accélérer son mouvement. Quelle doit être la loi de ce mouvement pour que AB, abandonnée à elle-même, ne glisse pas le long des plans qui la soutiennent? L' animal est d'abord immobile à l 'extrémité supérieure B de la perche. ( W. Walton.)

On suppose que l'animal puisse se donner un mouvement continu. Soit x le chemin BM qu'il a parcouru, à l'époque ^, sur la perche, l'angle de AB avec l'horizon étant a. Les réactions des plans d'appui se rencontrent en un point C, quatrième sommet du rectangle formé sur AOB. La dérivée du moment de la quantité de mouvement de l'animal et de la barre par rapport au point C est égale à la. somme des moments des forces agissant sur le système. Le seul point en mouvement est M; les réactions des plans ont un moment nul; l'action que M reçoit de AB est une force intérieure, et Ton a

— asinsa — 7— - = aP cosa -\-('ia — 00) Q cosa

g dt^ ^ ^

4o8 RECUEIL d'exercices

d^x ex Ph-2Q

dV^ aasina aQsina

Intégrons en tenant compte de ce que, pour / = o, x et rfj: sont nuls,

5a( i—cosfi/ — C — ), \ \ aasina/

2Q./:^sin.4/I^; \ 2sma \ 2asina

dx^ P-fdt " <i

M aura à parcourir un espace %a — tt-^ ^ ce qui ne peul» ,t

s'interpréter qu'en supposant à AB un prolongement ri — . gide, mais sans masse, au delà de A. Si P est négligeabl*- ^e par rapport à Q, le maximum de la vitesse est enviror^ n

-r^ ; pour a = 2™, a= 60°, c'est près de 7 mètres pî

\ sir

sincc seconde.

La réaction longitudinale de la barre sur M se calcu Xe en écrivant que celle force avec la composante de Q prodiM- nt l'accélération du mobile^ il en résulte

Q c?2^ ^ . P-+-2Q ^, nf ^ .

F = — T— — Qsma= : — -^cos^4/ — ^ Qsma.

g di^ 2Sina y 2Sina

Cette force, d'abord positive, devient bientôt négative; l^ travail correspondant à la descente de M est d'ailleurs négatif. Puisque la force vive est nulle au commencemenL <3l à la fin, il faut que le travail de F soit égal et de signe contraire au travail du poids Q; ce travail est donc

— 2a(P -h 2Q) sina = f ¥ dx.

Pour avoir la réaction verticale exercée par le plan horizonlal, il suffit de prendre les moments des forces extérieures et de la quantité de mouvement par rapport a" |^

nt B; le moment de la quantité de mouvement est nul ;i que sa dérivée par rapport à t^ et l'on a

Pa-f-Qa?

(Pa -h Qa?) cosa — aaNcosa = o, N =

réaction du plan vertical se trouve d'une manière anale :

Ni= ^^^^ ' cota = -^ cost