a 2tanga
\ 2Sina
96. Une tige homogène AB, de masse [jl, de longueur est assujettie à tourner autour de son milieu O dans plan horizontal; sur cette tige peut glisser un anw M, de masse m, attiré vers O par une force pro~ tionnelle à la dislance. Déterminer le mouvement du ième, connaissant, à l'origine du temps, la vitesse an- ^aire to de la barre^ la distance c de yi à O et la vi- *e u de glissement de M sur AB. Cas où [jl = 3 m, :(2, M = o. (Paris, 1870.)
-<a position de la barre est déterminée à chaque instant l'angle 6 qu'elle fait avec sa direction initiale, et la ition de M sera connue si l'on donne sa distance r au it O. Les forces extérieures sont l'attraction du point O l'anneau et sa réaction sur la barre; la somme des moits des quantités de mouvement par rapport à ce point :ionstante, ou, si Ton veut, la conservation des aires a - Le moment de la quantité de mouvement de AB est
dt'
rincipe des aires donne
^Juatîon des forces vives est aussi applicable; si l'attrac-
4lO RECUEIL D^EXERCICES
lion de O sur M est représentée par k^mr^ son travail est - k^m{c^ — r-)^ et l'on trouve
Éliminant -3- entre les deux équations et séparant 1( variables, on trouve
On ne pourra pas effectuer l'intégration, mais les éq lions (i) et (2) donnent une idée très complète du mou ment; la première montre que rfô ne peut s'annuler changer de signe : la tige tourne donc toujours dans même sens et d'autant moins vite que r* est plus grand, dénominateur de la seconde doit rester positif, et pour c ^dt r ne doit pas devenir infini. Il y a deux cas à distingm-jer selon le signe de la partie indépendante de r :
Pour r = c, le dénominateur f{r) est égal à
mc'-f- - fia* ) a«, >o;
pour r = 00, il est < o; il y a toujours une racine r' comprise entre c et 00, mais, pour r = o, f{r) = H. Si donc H < o, il y aura une racine r^' <^c\ le mobile M restera compris entre deux cercles, dont le centre est en O, et dojat les rayons sont r', r''; la trajectoire sera formée d'une suite de branches superposables, allant d'un cercle à l'autre c'ï
les touchant aux points communs. Si H > o, il n'y a pas de racine entre c et o; r à partir de r^ pourra décroître jusqu'à zéro, et même prendre des valeurs négatives jusqu'à — r'; les branches dont se compose la trajectoire sont limitées au cercle de rayon r', et elles passent toutes à l'origine pour revenir toucher le cercle. Enfin, quand H = o, r pourra croître jusqu'à r', et diminuer ensuite jusqu'à zéro, mais il n'y arrivera qu'après un temps infini, parce que le coefficient de dr contient /* en facteur commun au dénominateur, ce qui rend infinie l'intégrale qui a zéro
pour limite. D'ailleurs -j- tend vers ( i H ) co ; la courbe
^ dt \ (jLa2 I '
décrite est une spirale asymptote au pôle.
Un cas très simple est celui où r^z^r"] et, comme ils sont séparés par c, leur valeur commune est nécessairement c] f{c) doit être nul, ce qui exige w = o; ensuite le produit des racines dey(/*) = o doit être c* ; donc
dans ce cas, l'anneau décrit un cercle d'un mouvement uniforme.
Cette discussion s'applique sans modification au cas particulier proposé; seulement une des racines de /(r) = o est c, ou a : nous n'avons qu'à récrire les équations (i) et (2) avec les simplifications de forme qui résultent des Valeurs numériques adoptées; on a
, dt
Quand (1)=:^, la quantité sousle radical est — k'(r'^ — ^'")"î on voit que r doit toujours rester égal à a, et le lieu de M
est un cercle. Si A'<^(i)y/2, le lieu est une courbe lobée
4l2 RECUEIL d'exercices
comprise entre deux cercles concentriques de rayons a
et a i/-^ I • Les branches passent à l'origine lorsque
A>(i)y/2. Enfin, pour /r = a>y/2, la trajectoire est une spirale dont l'équation s'obtient en éliminant dt entre les deux équations du mouvement :
. __ =t a* ûfr /à __ ^ 1 à^ dr / a^
Il faut prendre le signe — , parce que r ne peut que décroître à partir de a; on peut mettre l'intégrale sous l'une ou l'autre forme
Cherchons la pression N de l'anneau sur la barre dans le cas particulier, qui du reste ne diffère pas essentiellement du cas général. L'accélération du mouvement angulaire de AB est due à cette pression. Si donc on prend par rapport à O le moment de cette force et la dérivée du moment des quantités de mouvement, on a
Mais
dt^
ivT T , d^^
3 ^ dt^
4 «2 cor dr ^a^tar \f{k^ — 5ta>'^)«* -k î^a^io^r^ — k^r^
(a^-V-r^y dt
{a^-hr^y
donc
^ (a2H-r2)2 (]lomme la tige a son centre de gravité immobile et
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. ^l'6
u'elle est uniquement sollicitée par la pression N et la éaction du point O, cette réaction est égale et parallèle N, mais de sens contraire.
197. On donne un cône droit dont l'axe est vertical t le sommet en haut; un point pesant M assujetti à ester sur la surface convexe est attaché à un Jil flexible, nextensible et sans masse qui passe dans un très petit rou O au sommet du cône, pour s'enrouler sur une oulie C et se terminer par un poids M'; trouver le mouentent du système en supposant que W soit d'abord nimobile, et que, par suite, M ait une vitesse horizonaie c. (Paris, 187a.)
Soient r la distance OM, 9 l'angle dont a tourné le plan néridien qui contient cette droite, cp le demi angle du cône, n.^ m\ 2 [JL les masses de M, M' et de G. Le point M est solicité par la pesanteur, la réaction du cône et la traction »i fil; ces trois forces étant dans le plan méridien de M, *ur moment par rapport à l'axe est nul, et l'intégrale des ires est applicable au mouvement de la projection de M ïr un plan horizontal; a étant la valeur initiale de r, i a
r' sin (p -7- •= ca\
> pliquons à tout le système le théorème des forces vives •esanteur est la seule force extérieure ou intérieure qui ne un travail; la force vive de M est
mv'^ ou m ( -j— -h r2 sin'cp -,.„ ) ,
e de M' est m! -r-^t et celle de la poulie est le produit son moment d'inertie par le carré de sa vitesse angulaire
4l4 RECUEIL d'exercices
(o; R étant le rayon de la poulie, on a aînsî -R^x 2[jlc«>2.
laquelle s'enroule le fil, ou -7- et l'on a en définitive
maïs Ro) est la vitesse d'un point de la circonférence ^ur
dt
^m -h m -\- II) -jY -h mr^ sin*<p -rj — mc'= ig{m cos<p — m) (r* —^)*
En éliminant tour à tour dt et rfO entre cette équatî^^ et (i), on obtient deux équations propres à détermia^r» Tune la trajectoire de m, l'autre la loi du mouvement :
, . . ,^ . ac dr \fm -f- m' -4- ix
(2) sin<paO =
(3) dt=^
rb.rdr \l m -f- m' -4- ji.
^mc^{r'^ — a*) -h 'ig{m coscp — m) (r — a)r*
Quand ml est égal à m coscp, on peut intégrer ces éq tions : la première donne
= aséc (6 sinol /
U suffit de multiplier r par sincp pour avoir en fonct^*-^^^ de 0 le rayon vecteur d'un point de la projection horiz -^c:^ "'^' taie de la trajectoire du point M; c'est une courbe d ^:^^^ le rayon vecteur est a sincp pour 6 = o, et devient i pour
asincp \
JQ-
ce lieu se déduit d'une ligne droite en augmentant -'^^
angles polaires de ses divers points dans un rapport C5 stant; il y a une asymptote à distance finie du pôle. Dans le cas particulier considéré, l'équation (3) doJ^
ur la loi du mouvement,
^yr>
faut un temps infini à M pour parcourir sa trajectoire; îst bien entendu qu'il sera arrêté si la longueur du fil est ie; maïs cette impossibilité ne peut être prévue par nos nations, qui nous indiquent du moins Tépoque où elle înt à se produire.
Revenons au cas général, et posons rsincp^ p,asincp = a, 4- m' -h [Ji. = ^ ; l'équation (2) deviendra l'équation de projection horizontale de la trajectoire :
/-: — zh OLC do v/X" ysincp = — —
p /(p — a) ['ig{m coscp — m') p^-h me- sincp (p -î- a)j
Quand m coscp — /n'<o, la quantité entre crochets nnule pour une valeur positive, j3, de p et pour une vair négative; d^ n'est réel que si p est compris entre a et la projection est donc comprise entre deux cercles de ons a et p, qu'elle vient toucher alternativement. Ces i:x cercles se confondent et le mouvement de M est unirne quand g{m' — mcos^)=- mc^cL, Si de l'identité
2^ (/n coscp — m') p2^ mc^ sincp (p -ha)= o
tire 2^(/72 coso — m') pour le substituer dans (4), elle tjd la forme
odO = zti/y m
OL^do sin
m p/(p a)({i-p)v/apH-p(a-h3)
il est aisé de ramener à la forme type des intégrales ptiques de troisième espèce, en posant
p = a sin' M 4- P cos' u.
4l6 RECUEIL d'exercices
Dans le cas où m coscp — m'^ o, la quantité entre crochets sous le radical (4) est positive pour toutes les valeurs positives de p ; ce rayon vecteur doit donc être toujours ;> a, et il grandit indéfiniment, mais cela exige un temps infini. Comme le coefficient de rfp a un dénominateur de
Tordre de p*', l'intégrale prise de p = a à p = oosera finie, et à p infini répond une valeur finie 0< de 6; j'ajoute que l'asymptote correspondante passe au pôle, car la distance de ce point à l'asymptote peut s'écrire
lim p ( 01 — 0 ; = lim = lim -p = lim p* — .
1 dp cep
Or p2 -7- est nul pour p infini, puisque le numérateur est
dp
de degré inférieur au dénominateur.
Dans ce dernier cas, il peut se faire que la quantité entre crochets soit un carré parfait; on trouve alors
a9 smcp = aa"^ 4 / —
^ p(2a-i- p)vp — « On peut intégrer :
- 6 1 / — sin cp = arc tang i / arc tang 4 / ^- ;
mais cette intégrale, tout en précisant la valeur de 9 qui répond à une valeur donnée de p, ne nous montre pas les propriétés de la courbe plus nettement que son équation difierentielle.
La tension du fil ne varie pas depuis le point M jusqu'à la poulie, elle serait donnée par l'expression de l'accélération de M suivant le rayon vecteur ; mais il est plus facile de la calculer en appliquant le théorème des forces vives à un petit déplacement du système formé de C et du poids
M'. Les forces extérieures qui sollicitent ce système sont la tension T du fil COM et le poids de M'; le déplacement du point d'application est pour toutes deux dr\ donc
c/(/n'-f- (a) ^— =i{ll^m'g)dr.
Mais l'équation (3) donne
(m-T- m' -\- \x) ^— - = mc'^—mc'*'— ~- ig{m coso — m' ){r — a).
On n'a qu'à différentier, substituer et diviser par a dr : (m -h m'-h |jl)T = mg[{m' -^ fi)cosçp -♦- m'] h- m{m'-^ (x) — :. -.
La tension du fil CM' est égale à T ZT ?- "^TJl ' Q^^^nt
â la pression N exercée par M sur le cône, on l'obtient en calculant la composante de la force qui sollicite M, estimée suivant la normale extérieure au cône;
— mr sin cp cos cp -^ = N — mg sin cp,
-, . / a^ c2 cos o N = m sin cp ^ '
Ces calculs s'appliquent au cas où cp sera égal à 90 degrés, c'est-à-dire où le point M sera posé sur un plan horizontal.
198. Mouvement d'une barre pesante et homogène AB, dont une extrémité A reste sur un plan horizontaly tandis que l'extrémité B suit une verticale. Il n'y a pas de frottement y et y à V origine^ la vitesse du point B est nulle. Cas particuliers.
Prenons la verticale donnée pour axe des.z, le sens positif étant de haut en bas, le plan horizontal pour plan XOY, et supposons l'axe des x dirigé vers la position ini-
De S.-G. — Rcc, 27
4l8 RECUEIL d'exercices
tiale de A. Soient 2 a la longueur de la barre, C son point milieu, 8 l'angle COZ, ^ l'angle du plan GOZ avec ZOX ou l'azimut du plan qui contient AB. Le triangle AOB étant rectangle, la médiane GO est égale à a, et l'angle de AB avec la verticale à 6.
Le théorème des aires s'applique à la projection du mouvement sur OXY. Si l'on désigne par dm la masse d'un élément M pris sur AB, par r la distance BM, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OZ est
/•2sm20 ^ dm= ^à^msinH-/; .g at 5 dt
tu étant la valeur initiale de -— et a celle de 6; on «a donc
(i) sin^ô — ~ =:wsin'a.
dt
Le théorème des forces vives nous donne une seconde équation; le travail des réactions est nul, et il ne reste que celui du poids mg appliqué en C. Quant à la force vive, on peut la décomposer en deux parties : i°la force vive d'un point de masse /n. animé du même mouvement que le centre de gravité G; 2° la force vive qui correspond -au mouvement de la barre relativement à des axes menés par G dans des directions fixes. Or, la vitesse absolue de G et la vitesse relative d'un point de la barre situé à la distance p de G sont égales au produit de a ou de p par
\/ -j-^ + sin2 9 — !l ; et comme, pour ^ = o, 8' est nul et A' égal à w, on trouve pour l'équation des forces vives
maî-h \ maA ( -nr -^ sin^ô -^ ) — ^ /na^w» sin^a 3 / \dt^ dt^ J 3
= 2/?z^a(cos6 — cosa).
Éliminant dt, puis d^ entre celte équation et l'équation (i).
on a tour à tour une équation de la trajectoire du point G et la loi du mouvement.
. 2a(o2 sin*a.^ =: sin*6(cos6 — cosa)[3^(i — cos^O)
— 2a w* sin2a(cosa -h cos6)],
, ia sin*6 -> ^ =(cos6 — cosa) r3fi'(i — cos*6) (3) \ df ■ /L ev }
— 2aci>î sin2a(cosa -\- cosO)].
Le second membre de l'équation (3) est un polynôme du troisième degré en cosO, négatif pour cosO =: zb i ; comme il s'annule pour la valeur cosa, il s'annulera, en général, pour une autre valeur cosj3 aussi comprise entre 4- i et — i . Pour
que -j soit réel, il faut que 6 reste compris entre a et ^;
quand il variera de l'une de ces limites à l'autre, ^ et i croîtront de quantités constantes t^ et tt^. Il est facile de voir si P est^a : désignons par y(9) la quantité entre crochets dans les équations (2) et (3); on a
f{oL) = {Zg — 4ûtw*cosa) sin^a;
suivant que /(a) est ^o, on doit donner à 8 des valeurs ^a et p sera lui-même ^a.
Nous pouvons supposer que a représente la plus petite des limites entre lesquelles doit varier 9; elle est nécessairement <^ - > et p <^ 7t — a. Je dis que ifi est ^ - •
Si, dans l'équation (2), je remplace Z'g par sa valeur tirée de l'identité ^(P)=:o, j'en déduirai pour d^ la valeur
rfc sina sin p rf6 sin 6/^008 6 — cosa)(cosp — cos 6 ) y/cos ô (cos a -i- cos p ) 4- i-t- cos a cos p
Mais on a
cosO(cosa H- cosp)-4-i-}- cosa cosp < i-f- 2 cosa cos^ h- cos^a,
V I H- 2Cos<y cosp -h cos^a
J'JL SI
' sina sin 8 <i?0
sinÔv/(cosa — cosO)(cosO — cos^)
Pour calculer cette intégrale S, posons
cos 6 = cos a cos* u -+• cos p sin' u ;
il vîent
^ /'2 2 sin a sin 8 e/w S — a
