S = / 7 Q . « T., = TT COS

J I — (cosa COS-* w -f- cosp sm^M)^ 2

TT COS -(P — a)

y/i -H 2 cos a COS p -h cos*a

^7: /1 -f- '/ cos a COS 3 -+- 2 sin a «in 8 ^^^2y i-h 2COsacosp -H cos^a

et la quantité soumise au dernier radical est ^ i . Le calcul est tout semblable à celui de M. Puiseux pour la différence d'azimut de deux plans dans lesquels l'angle du pendule sphérique avec la verticale est maximum pour l'un, minimum pour l'autre.

Le point A décrit, sur le plan horizontal, une courbe qui vient toucher alternativement les cercles de rayons Lia sina et 2a sin ^ ; mais, si ^ est obtus, la courbe, en passant d'un cercle à l'autre, va encore toucher le cercle de rajon ua qui enveloppe les deux premiers.

Lorsque y(a) est nul, c'est-à-dire lorsque

3^= ^atji^cosoL,

6 ne peut prendre d'autre valeur que a ; AB tourne d'un mouvement uniforme autour de OZ en décrivant un cône droit.

Les réactions de l'axe des z et du plan des xj se calculeront en exprimant que ces forces, appliquées en C avec le poids mg^ sont égales à la masse multipliée par l'accélération du point C; mais les résultats sont bien compliqués.

Cas particuliers, — Supposons o) == o : la barre ne sort pas du plan vertical XOZ; le point C reste sur un cercle vertical, et la loi de son mouvement, aussi bien que celle du mouvement de AB, est donnée par l'équation (3), qui prend la forme

v/cos6

COSi

H diminue de a à — a pour revenir à a, et ainsi de suite;

OC oscille comme un pendule de longueur - a. Soient Z

et X les réactions du plan horizontal fixe et de l'axe OZ, X ci z les coordonnées de G; on aura, par le théorème du mouvement du centre de gravité,.

T =^' ^"-ITn =Z + /n^;

df^ ' dt^

mais ^ = <2 sinO, z = a cosO, et l'équation du mouvement donne

-T-- = -■ - ( cos 0 — cosa), -,T = — T^-smO. Ces expressions permettent de calculer X et Z, et l'on

422 RECUEIL d'eXERGIGES

trouve

X = -j- sin6(6cosa — 9cos6),

Z = — ^ (6cosacosG — gcos^ô — i).

X est toujours de signe contraire à 0 et Z toujours négatif.

Un autre cas simple est celui où l'on suppose la barre non pesante : en faisant g= o dans l'équation (2), on en tire

sinaé/6 ,, ^ ,

= d^, tangacotO = cosi}^.

sin^Ô y/cos'^ a — fein* a cot^ 6

La surface engendrée par la droite AB a pour équation

(a?* -h y^ sin'a)(^H-a?cota)î = ^à^x^ cos^a.

199. Deux masses m, ml ^posées sur un plan horizontal, sont réunies par un fil flexible, de longueur invariable /, et guipasse dans un très petit anneau fixe O ; la masse m est attirée vers O avec une intensité inversement proportionnelle au carré de la distance; on imprime à m, m' des vitesses connues, et Von demande le mouvement qui en résultera; cas où la vitesse initiale de ml est nulle. (Paris, 1878.)

Soient r, / les distances O m, O/n' ; 9, 0' les angles de ces droites avec un axe fixe; a, a' les valeurs initiales de r, r' \

(0, w' celles de ^ > -7- ; w la vitesse initiale de glissement du

fil sur le point fixe O. Le théorème des aires est applicable au mouvement de chaque point en particulier :

dt ' dt '

on appliquera, au contraire, l'équation des forces vives au système entier, parce que le travail de la tension du fil disparaîtra, et, si l'on appelle A ^ m l'attraction exercée sur m à l'unité de distance, on aura

\dO dl^ j \r a)

Remplaçons —-9 — par leurs valeurs, et /•' par / — r\ nous aurons

dr^ r^ — {i

(m-hm']-— = (m-\- m']u^-^ ma^c^^

di^ ' ' r

[l — rY \r a^

Le second membre est positif pour /• = a, et, si w et w' ne sont pas nuls, il est négatif quand r est suffisamment voisin de o ou de l\ il y a donc toujours deux valeurs, a. et p, comprises entre o et /, et entre lesquelles r oscille, allant de Tune à Taulre dans un temps constant. La trajectoire de m sera formée d'arcs égaux compris entre les cercles de rayons a et j3, qu'elle touche alternativement^ celle de m a une forme analogue entre les cercles de rayons / — a et / — S. Pour que a soit égal à p, il faut que leur valeur commune soit a, ce qui suppose m = o, et exige que r=^ a annule la dérivée du second membre de l'équation (i); en observant que a' = l — a, cette condition donne

On pourra d'une infinité de manières satisfaire à cette rela-

lion, et alors les deux points se mouvront uniformcnient sur deux cercles.

Si l'on supp^ose o) = o, le second membre de l'équation (i) est ^ o pour les valeurs de r entre o et a; r aura une limite supérieure, moindre que /; mais, après l'avoir atteinte, il décroîtra jusqu'à zéro, et, si m peut dépasser le point O, il s'échappera, et Ton aurait à éludier le mouvement de deux points liés par un fil et dont Tun est attiré vers O, problème plus difficile que celui qui vient d'être résolu.

Dans le cas particulier proposé, u et lo' sont nuls. Je reprends l'équation (i), en j remplaçant dt par — ^ — :

Le radical s'annule pour r = a et pour r=ri = —, : — :•

Si /'i >> o, /• restera compris entre a et Ti , sinon il ira de a jusqu'à l'infini. On peut, du reste, intégrer la valeur de 6, et, en prenant les cosinus des deux membres, on trouve, pour la trajectoire de m.

Cette courbe est la transformée d'une conique ayant son fojcr au pôle et où l'on aurait augmenté les angles polaires

(le tous les points dans le rapport de \/in -|- m' à \ ni. On trouvera la position de m en fonction du temps delà même façon que pour le mouvement des planètes ; en général, cela revient à mettre dt dans l'équation (2) et à intégrer sa

aleur

, . , m r dr

(il

l est entendu que, si r dépasse /, m' traversera Taneau O, et les conditions du problème seront tout Litres.

200. Mouvement d'une droite pesante assujettie à ester sur la surface, parfaitement polie, d'un hyper- *oloïde de révolution dont l'axe est vertical.

Notre droite coïncidera successivement avec les diverses énératrices d'un système, et sa position sera connue si on donne l'angle ^ de sa projection sur le plan du cercle égorge avec un diamètre OXdjce cercle, et la distance r emprise entre le milieu M de la droite et le point G, où sa lirection perce le plan. Soient aie rayon du cercle de gorge,

l'angle des génératrices avec l'axe de la surface, qu'on ► rend pour axe des z ; l'angle de OC avec OX est, en coinp-

ant i^ dans un sens convenable, — f- ^> et les coordonnées

ectangulaires de M seront

I X = r sinô cos<J^ — a siin}^, i) ^ j' = r sin6 sinij^ -i- acos<J^,

\ z =z /'cosô;

* et /'sont positifs au-dessous du cercle de gorge.

Comme les réactions que la barre reçoit au\ divers points >ù elle touchela surface sont dirigées suivant les normales -orrespondantes, leur moment par rapport à OZ est nul, 'l la somme des moments des quantités de mouvement est "onstante. Cette somme est égale au moment donné par la

masse totale concentrée en M, plus celui qui correspond au mouvement relatif autour d'une verticale qui serait entraînée avec M; la première partie est

la seconde est, en appelant mk^ le moment d'inertie de la barre par rapport à son milieu, mk^ sin^O^; donc

(2) (a2-f-Â:2sin«6-t-r*siii2 6)--^ — asinG-T^= fx.

La force vive s'évalue comme il a déjà été fait, en deux parties : l'équation du travail est

dt^ ^ ^ di^

. ^dr d'h A ,

dt dt ^

Multiplions par a^-\- {r^-{- k^)s\n^^, élevons l'équation

(2) au carré et retranchons membre à membre : on élimine dif^ et il reste

dr^

(3) (r2-hA:2)sin*0-— rr.(a2-HA:2sin2GM-rîsin2e)(A-f-2^rcose)— jjLÎ.

Le second membre, étant du troisième degré, s'annule au moins pour une valeur de r; supposons que cela se présente à l'instant initial. Désignons par r^ et w les

valeurs correspondantes de r et de -17? et posons, pour

abréger,

a = csinG, 2^cosG = y sii^'^»

les équations (2) et (3) prennent une forme simple, en donnant à A et à [jl les valeurs qui rendent les deux membres

identiques pour trr^o:

(r2 + A:2) ^-- z=(r~ro)[Y(r24-c2-f-A:î)H-(rJ-T-c2-hA:*)w2(r-Hro)].

Si ro]> o, le trinôme entre crochets, /{r), est ^ o pour toute valeur positive de r; on en conclut que r ne peut varier que de r© àoo; mais, quand ro<o, il peut arriver quey*(r) s'annule pour une ou deux valeurs de r plus grandes que r©; dans le premier cas, qui répond à/(ro)-< o, ou Y -h 2a)2/'Q-< o, r devra varier entre Fq et la racine de /(r) = o qui est inférieure à j'q. Si les deux racines sont réelles et >> To, r variera encore de Fq à la plus petite, et la droite ne sortira pas d'une certaine zone comprise entre deux parallèles de Thyperboloïde. Dans le cas où Tune des racines de/(r) = o est /'q, et quelle que soit la grandeur de l'autre racine, on a

Y H- 2 0)2 To = o ;

M et tous les points de AB décrivent uniformément des parallèles. Quand y*(r) ne s'annule pas pour r^/'o, r va

de /'o à CX5. ~ s'obtient en remplaçant, dans (4), ;^ par sa valeur tirée de (5) ; mais, quand r est très grand, on a sensiblement dr = dt v^/'Y, r^ dJ/ —-= c dr ; donc ^ tend vers une limite finie, et le mouvement de M devient à peu près uniformément accéléré.

Quant (0=0, ou quand la barre part du repos, on peut intégrer (4) î

- s/k^-i- c' = arc tang , .. arc tanff ,

on en déduit la forme de la trajectoire de M.

201 . Moui^ement de deux points A, A', de masses m, /??/, assujettis à rester sur une circonférence dont le diamètre est égal à a et se repoussant avec une force

Cigale a — ^ » . (uaen, 1880.)

Soient 2O, 28' les angles des rayons OA, OA' avec une droite fixe OX ; a, w, 10' les valeurs initiales de 0' — 6,

-,- , -j- • Les réactions du cercle sont les seules forces exlédt dt

Heures agissant sur le système m, m^ et leurs moments

relatifs à O sont nuls : la somme des moments des quan-

lllés de mouvement par rapport à O est constante :

^6 , rfO'

/n -7 — \~ m -, - = /nco -h /n to ; dt dt

intégrant, on a, pour une direction convenable de OX,

(i) 7?i6 -H /n'6' = (ma)-f- m'a)') f.

Le théorème des forces vives donne encore

dt^ di^ sin^a sin2(e'— 6)

Si nous posons 0' — 0 = m, nous aurons, eu égard à l'équation (i),

i^ m 0) -^ m' to' m' u e = j— t n m -{- m m-\- m

1^, mto -4- m'w' mu 6' = r— t H j> m -h m m-\- m

En substituant ces valeurs et leurs dérivées dans l'équation (2), celle-ci donne, après quelques réductions simples,

du^ fCti)'— w)2sin2a-f-X2('m -I- /7?")lsin2«^ — X2(/7? -4- m')sin2a dt^ sin^asin^a

Posons encore

(o)'— 10)2 sin*a-+-A2(/?H-/?i )= ^ j

^ ^ ^ ^ sin^ji

quation (4) nous donnera

cosu = cosp cos

«inp

ngle ?/, ou 9' — 0, oscille entre ^ et t: — ^ ; sa valeur ant déterminée, les équations (3) font connaître complément la loi du mouvement. Quant à la pression de m sur cercle, elle est égale à la force centripète augmentée de con.posante normale de la force répulsive :

, /niM-^m'to' m' du\^ X^amm'

N = ama / -,- -î —^

\ m-\- m m-^ m dt 1 sin^ u

202. Un point M, de masse m^ peut se mouvoir dans tube rectiligne de masse égale posé sur un plan hoanlal : on imprime au système un mouvement inil et on demande le mouvement ultérieur et la pres- /^ N rfe M sur le tube; il n'y a pas de résistances ^sives, (Paris, 1887.)

!^oient 6 l'angle du tube avec une direction fixe, /• la tance du centre de gravité C du système au point M si qu'au centre O du tube, imk- le moment d'inertie lube autour d'une ])crpendiculaire menée y)ar le point Le centre de gravité G prend un mouvement rectiligne Xiniforme. Considérons ensuite le mouvement du sysc>e par rapport à des axes menés par C dans des directs fixes : la force vive du système et la somme des monts des quantités de mouvement par rapport à C restent restantes; on en conclut facilement deux relations de la

43o RECUEIL D*BXERCICES

forme

v/( r2 — A-2 ) ( |Jl2 /'2 H jjl2 /:2 X2 )

La dernière équation représente la trajectoire relative et se discutera sans peine : ce serait la trajectoire absolue si C était d'abord immobile. Enfin, en considérant le moment de la quantité de mouvement du tube autour du point O, on a

1. Sur une table horizontale dépolie est étendu en ligne droite un bout d'une chaîne mince, homogène et parfaitement flexible, dont l'autre bout pend librement en dehors de la table : mouvement de la chaîne quand on l'abandonne à l'action de la pesanteur; tension.

La position de la chaîne peut être définie par la longueur x qui est en dehors delà table; l'équation des forces vives donne

T dx^ d^ X

d-l-j-r = l—r-^ dx = £^x dx — f^(l — x)dx. a dt^ dt^ ^ *^*^ '

2. Un fil sans masse porte à une de ses extrémités un poids P; il s'enroule sur un cylindre horizontal de poids 2fji, puis traîne à son autre extrémité un poids Q posé sur un plan horizontal dépoli : mouvement du système en admettant que Tair oppose une résistance égale à kç^ et qu'entre le cylindre et le poids Q le fîJ est horizontal; tension du fil. (Toulouse, 1880.)

t a? la quantité dont a marché le chariot; forces vives