II. - mv
P+fx-4-Q .t/:r2
»n du fil attaché au chariot
Q d^ 'g dt^
VIouvement d'une barre pesante et homogène dont les exlés A, B glissent sur deux droites situées dans un même plan al et inclinées à 45* sur l'horizon ; pressions en A et B. {Voir du n<» 198.)
Une droite pesante et homogène peut tourner autour d'une
$ extrémités 0 dans un plan vertical P; l'autre extrémité A
e sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle ABC qui est mo-
lans le plan P et dont un côté AB peut glisser sur une ho-
Lale OX; il n'y a pas de résistances passives. Mouvement du
ne.
uffit de connaître l'angle AOX; théorème des forces vives.
Une tige homogène OA, mobile autour de O, est soutenue à e extrémité A par un fil qui va passer sur une très petite e B et se termine par un poids Q qui pend librement; la î OB est horizontale et égale à OA; mouvement du système lonné à l'action de la pesanteur. (Nancy, 1884.) )oids de OA, 2 a sa longueur, ô son angle avec l'horizon, /
leur du fil, BQ = x '. Z = a7-h4«sin-6; intégrale des forces
,P d^^ g dt^
Q dx^
~g dJ^
2Q(a7 — Xq) -+-2Pa(sin6 — sinOo).
Un cylindre droit homogène est posé sur un plan incliné P quel il ne peut que rouler sans glisser, ses génératrices reslorizontales; chercher le mouvement qu'il prendra sous Tine de la pesanteur et d'une attraction exercée par un point F^, proportionnelle aux masses et aux distances; réaction du Position d'équilibre. (Paris, 1884.) ce la distance de O à la génératrice de contact; force vive
A'^ — ^iM = îi^(^ — ^o)siniH-X«(a7Î — a?*).
Composante langentielle de ]a réaction
X — ( gsini — k'X ^- I m = —{gsmi — X^x),
7. Oscillations d'un cylindre elliptique homogène posé sur ^^ plan horizontal assez rugueux pour empêcher tout glissement. (Gaen, 1881.)
Lie moment d'inertie du cylindre autour de l'axe est m — •
si le grand axe de Tune des sections droites fait l'angle cp avec l'horizon,
a^-hb^ a* sin^cp -4- 6* cos*cp\ ^çp* 4 a2 sin*cp -h /y2 cos2^/^(î»
= 2^(A — /a^ sin2^-H 6* cos-o); quand o est très petit, ~^^ diffère peu de ^? ,^ >^r (t?- ^ ^•
8. En deux points A, B d'une horizontale sont attachés Aou\ fils de longueur l qui soutiennent les extrémités d'une droite pesante et homogène PQ; on écarte celte droite de sa positJo" d'équilibre en ayant soin que son milieu reste sur la verticale <!"' passe par le milieu de AB ; calculer le moment d'un couple capable de tenir la droite en équilibre et déterminer le mouvement qu.'*"^ prendra si on l'abandonne à l'action de la pesanteur. (Poitiers, i88/j.)
Soient AB -^ ia, PQ = 2c, 6 l'angle de AB avec PQ qui i-esie horizontale à la distance z au-dessous de AB :
/2= a^^ c^—2,ac cosO -\- z^\ -z— + 0 ^ ~l~i — '^SK^ ^° ^^
le couple pour i équilibre est horizontal : moment —
9. Déterminer le mouvement relatif d'une droite pesante ^^ ^\^' inogène dont les extrémités sont assujetties à rester sur un. ^5 <^*^' conférence qui tourne avec une vitesse constante to autour dl^ * "' de ses diamètres supposé vertical. (Paris, 1886.)
A la pesanteur on adjoint la force centrifuge; le travail d^ ^^^ ^
I Ac
force pour une masse dm est - (x}^{x^ — xl)clmi si la bar^^
longueur 2a fait l'angle 6 avec l'horizon, l'intégrale des forc
donne
-— ô^* ) zn% = 2^ v/H^-^«* cos6
r(R2 aî) sin*e -\- j cos^el -4- A.
Mouvement de deux points pesants qui se repoussent avec tensité réciproque au carré de la distance, les vitesses iniétant nulles.
;entre de gravité se meut verticalement et la droite qui joint >biles conserve une direction constante.
Sur un plan horizontal parfaitement poli est posé un prisme ulaire qui ne peut prendre qu'un mouvement de translation a vitesse est perpendiculaire aux arêtes; deux poids, posés 3 faces obliques du prisme, sont réunis par un fil tout entier me section droite : mouvement du système; tension du fil. écrit que la vitesse horizontale du centre de gravité est mte, puis l'on applique le théorème des forces vives; le mouit du prisme et les mouvements de glissement des poids miformément variés.
Mouvement de trois points assujettis à rester sur un plan
et s'attirant avec des intensités proportionnelles aux masses
: distances. En supposant que les trois masses soient égales
k l'instant initial les normales aux vitesses aillent passer au
de gravité G, chercher les conditions pour que les trois
:oires soient des ellipses égales. (Paris, 1884.)
un mouvement rectiligne et uniforme, et les trajectoires
* de ce point sont des ellipses; pour que les trajectoires
es soient aussi des ellipses, il faut que G soit immobile et,
3 cas particulier proposé, les mobiles seront aux sommets
.riangle équilatéral dont G est le centre, et leurs vitesses
égales.
Calculer la perte de force vive dans le choc direct de deux s imparfaitement élastiques. (Navier.) nt m, m' les masses; a, w', t', v' les vitesses initiales et fi- V la vitesse du centre de gravité, e le coefficient d'élasti- »n a
B S.-G. — Rec. 28
perte de force vive
14. Une barre pesante et homogène OA, mobile autour de son extrémité 0, qui est fixe, est d'abord en repos; on lui imprime une vitesse angulaire o) et, quand elle est dans le prolongement de sa position primitive, on rend le point 0 libre. Quel mouvement la barre va-t-elle prendre et que doit être o) pour que, à une certaine époque, la barre soit tout entière dans le plan horizontal qui passe par le point A©? (Paris, 1884.)
A l'instant oii la barre est rendue libre, sa vitesse angulaire est
eo' oui /to* J-; le milieu va décrire une parabole et la droite
tournera avec la vitesse co'; pour satisfaire à la condition proposée
co*
=îK^^^'-]-
iS. Mouvement de deux points qui s'attirent proportionnellement à leur distance et qui doivent rester sur deux cercles concentriques situés dans un même plan horizontal. (Paris, 1877.)
Suivre une marche analogue à celle du n* 201.
16. Une aiguille OA, de masse m, de longueur 2a, peut tourner dans un plan vertical autour de son extrémité 0 : on demande suivant quelle loi doit se déplacer un insecte de masse m qui glisse le long de l'aiguille pour que celle-ci tourne avec une vitesse constante o) sous l'action de la pesanteur. Pour ^ = o, l'insecte est en 0, l'aiguille horizontale et animée de la vitesse angulaire co. (W. Walton.)
Théorème sur la dérivée de la somme des moments des quantités de mouvement : si r est le chemin parcouru à l'époque t,
^sm'jit = 2w«( r— aL —
17. Étant donnés deux axes rectangulaires OX, OY, déterminer le mouvement d'une barre homogène AB de longueur 6a, assujettie à se mouvoir dans le plan OXY, l'extrémité A restant sur
X, et chacun des éléments de la barre étant attiré vers O par le force égale au produit de sa masse par sa distance au centre action : à Tinstant initial, les abscisses de A et de B sont — ia o, la vitesse de A nulle, celle de B égale à 3a. (Gaen, i883.) On cherchera Vx du centre de gravité et Ton appliquera le léorème des forces vives; 9 étant l'angle de AB avec la direction Y, on a
/- . c?e« SsinîO
^ at^ 1-1-3 sin' 6
T , (i/8-l-v/T5i)sine i/6cos6 -h i/i-h 3 sin^B - — : . jj ^ ' ' ' ^ arc cos -- - •
v/3 cose-Hv/î-i-"3sin2ë 2^3
18. Quatre points ayant des masses égales forment les sommets un losange articulé dont les côtés sont rigides et sans masse; le ^stème, soustrait à Faction de toute force extérieure, est assujetti
rester sur un plan fixe; on donne son mouvement initial e{^ on demande son mouvement ultérieur. Si deux sommets se chouent, on les supposera dénués d'élasticité. Cas où les vitesses titiales des milieux de deux côtés opposés du losange sont nulles. ]aen, 1884.)
Le centre de gravité a une vitesse constante v : les diagonales )urnent autour avec une vitesse constante co; r = acosc/,
= a sinc^. Dans le cas particulier, f^ = o, c = (u.
19. Un tube circulaire de masse [jl, mobile autour d*un de ses amètres qui est vertical, renferme une petite masse pesante m : 1 imprime au système un mouvement connu et Ton demande le ouvement ultérieur.
Soient 9 l'angle du rayon Om avec la verticale, ^ l'azimut du Ll)e,a, 2^, (D les valeurs initiales de 0, 0', ^'; les théorèmes des forces ^es et des moments des mv donnent sin^O d^ = (û sin^ a dt et
dt^
... sin*0 — sin*a
= ï*-i-cD* sin*a r-T-TT
* sin2 0
. sin*6 — sin*a cos6 — cosa
' ^ amsiQ^e ' ^° R
^O. Un tube rectiligne, mobile autour d'une verticale qu*il ren- ^t.re sous un angle donné, renferme une petite bille pesante; à estant initial, le tube est animé d'une vitesse de rotation donnée
et la vitesse relative de la bille est nulle; mouvement ultérieur du système. (Poitiers, i885.)
21. Deux points A, B, de même masse, réunis par une tige rigide et de masse négligeable, sont assujettis à rester chacun dans un plan horizontal donné et attirés par un centre 0 avec une intensité proportionnelle à la distance. Mouvement du système; condition pour que A et B se meuvent comme si la tige AB n'existait pas. (Paris, 1878.)
Le milieu G de AB décrit une ellipse et AB tourne avec une vitesse constante autour de la verticale passant par G.
22. Deux points A, B de masse m sont réunis par une tige rigide et sans masse; A est attiré vers un point P par une force mX^AP, B vers un point Q par une force mX^BQ; étudier le mouvement du système AB; tension de la tige. (Paris, i885.)
Le milieu G de AB se meut comme s'il était attiré proportionnellement à la distance par le milieu de PQ; cherchant alors les moments des attractions par rapport à trois axes passant par G, on voit qu'elles forment un couple situé dans le plan mené par AB et par GX parallèle à PQ ; le moment du couple est
mX'PQx GAsinAGX;
le mouvement relatif est celui de la tige d'un pendule sphérique.
23. Deux points A, B, soustraits à Faction de toute force extérieure, sont liés par un fil sans masse qui passe dans un petit anneau 0 : A est assujetti à rester sur une droite donnée, B sur un plan qui passe par le point 0 ; mouvement du système. (Marseille, 1880.)
21. Deux points A, B, réunis par un fil sans masse qui passe dans un très petit anneau 0, se repoussent avec une intensité proportionnelle à la distance; A est assujetti à rester sur un plan P qui passe en 0, B sur une droite OZ normale à P; mouvement du système. (Paris, 1881.)
Soient a, p les masses, OA = r, AO ■+■ OB = /; on a
25. Deux points pesants A, B sont réunis par un fil sans masse qui passe dans un petit anneau O; B est attiré, proportionnelle-
naenl à la dislance, par le point 0 et assujetti à rester sur un cylindre droit dont l'axe est la verticale du point 0. On suppose A. d'abord en repos, B animé d'une vitesse horizontale donnée et l'on demande le mouvement du système. (Grenoble, i885.)
26. Sur un cylindre droit, homogène, vertical, de masse 6m, s'enroule un fil qui, restant dans un plan horizontal, passe dans XI n petit anneau 0, et se termine par une masse m attirée vers le
point 0 par une force m -- ; la masse m étant lancée normale-
ment à Tq avec la vitesse ___ » trouver le mouvement du système. ( Paris, i865.)
27. Un tube rectiligne, mobile dans un plan horizontal autour de son milieu, contient de petites billes qui peuvent y glisser librement; le tube étant mis en mouvement, mais les vitesses relatives initiales des billes étant nulles, trouver le mouvement du système. (W. Walton.)
Les distances des billes au point fixe restent dans des rapports constants.
28. Mouvement de deux masses égales A, B, attirées vers un point G avec une intensité inversement proportionnelle au cube de la distance et fixées aux extrémités d'une droite de masse négligeable mobile autour de son milieu O; on suppose OG = OA.
AB étant égal à 2a, l'attraction à ^ — ? on trouve
,, ^tosin*aû?6
sin6 v/(Ht — t«>* sin*a)(sin2a — sin^Ô) -+- Ç* sin^asin^Ô
A discuter. Pour jx = Ç^ sin*a H- tu* sin*a, A, B décrivent des loxodromes.
29. Mouvement de deux points pesants A, B réunis par une tige sans masse de longueur /; A est assujetti à rester sur une sphère de rayon /, B sur le diamètre vertical de cette sphère. (Nancy, i883.)
30. Mouvement de deux tiges OA, AB articulées en A et mobiles dans un plan horizontal, l'extrémité 0 de OA restant fixe ;
les masses des tiges sont égales; AB a une longueur double de OA et son milieu G est attiré vers O par une force réciproque au cube de la distance; enfin, à l'instant initial, les tiges sont en repos et l'angle OAB =45^ (Paris, i885.)
Equation des forces vives et conservation de la somme des moments des quantités de mouvement autour de O.
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