Tï'oiwer les surfaces de nweau pour un point dont

le poids est P, et qui est attiré vers un point fixe O par une force constante Q.

Prenons pour origine le poînt O, et pour axe des z une verticale dans le sens de la pesanteur \ les composantes de l'attraction du point O sont

-Q^ -Qj -Q2

^x' -+- 7' + 2* yjx^ -Jf j'-i- 2* sl-^"^ 4- j' -+-

en sorte que Téquation des surfaces de niveau sera

d'où

Vdz — 0 :^^. i^ — = 0,

^Ix^ -}-• J' -f- 0»

Les surfaces de niveau sont les lieux des points tels que leurs distances à l'origine et au plan z = c soient dans un rapport constant : ce sont des surfaces de révolution autoTir de Taxe des z, et leur méridienne est une conique ayant pour foyer l'origine, pour directrice la droite z z=z c^ ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que P sera <^Ç^^z=Ç^^ ^ Q î i^iais il ne faut prendre que les points pour lesquels z — c est > o, c'est-à-dire ceux qui sont au-dessous du plan z = c\ les autres correspondent au cas où Q serait négatif, c'est-à-dire au cas où le point serait repoussé de l'origine. Lorsque l'on a un ellipsoïde ou un paraboloïde, il faut que c soit négatif, et toute la surface répond à la question; dans le cas de Thyperboloïde, c peut être quelconque, et la partie utile est toujours la nappe inférieure de l'hyperboloïde.

La pression exercée sur la surface est dirigée suivant la partie de la normale qui va rencontrer l'axe des 2*, sa gran-

De s.-G. — Rec. 1

l8 RECUEIL d'exercices

deur est

y^X2 4- Y2 -H Z» = i /P^+ Q*— aPQ

Q2__aQ2 ^

Sur l'ellipsoïde, elle va de P + Q, au sommet supérieur, à Q — P, au point le plus bas ; dans Thyperboloïde, elle va de P + Q ou de P — Q à y/P^— Q^, selon que c est < o.

Cas où il y a des frottements.

14-, Lorsqu'un corps M est posé sur une surface naturelle qui n'est jamais parfaitement polie, une force tangenlielle quelconque ne suffit pas pour le faire glisser; elle doit dépasser une certaine limite qui est celle de la résistance de la surface au glissement; cette résistance est la force de frottement. On dit habituellement que la force de frottement est égale au produit de la pression normale N par un coefficient constant /; mais il faut bien entendre qu'il s'agit de la valeur maximum qu'elle puisse atteindre, alors que le glissement est près d'avoir lieu ; si le corps n'est pas près de glisser, la force de frottement n'est qu'une fraction, inconnue a priori, de/*N, mais égale et opposée à la projection de la force extérieure sur le plan tangent à la surface. Quand cette projection est précisément égale à /N, le corps M est sur le point de glisser suivant cette projection : la condition de cet équilibre limite est facile à exprimer, puisque N est égale à la composante normale de la force extérieure. De même, pour qu'un point soit près de glisser sur une courbe dépolie, il faut et il suffit que le rapport des composantes tangentielle et normale de la force extérieure soit égal à f.

Quand M glisse sur la surface, il se produit encore un

frottement proportionnel à la pression normale; mais le rapport est exprimé par un coefficient moindre que celui du frottement au départ. L'angle qui a pour tangente les coefficients précédents est dit angle de frottement : c'est l'angle de la normale à la surface et de sa réaction. Observons dès à présent que si deux surfaces, toutes deux mobiles, glissent l'une sur l'autre, elles sont soumises à des forces de frottement égales et opposées, dont la direction est celle du glissement relatif, c'est-à-dire qu'elle est parallèle au plan tangent commun.