MOUVEMENT DUN CORPS SOLIDE

Des moments d'inertie.

Étant donnés les moments principaux d'inertie A, B, C in corps quelconque relativement à un point O et ses ons de gjration principaux a, 6, c, on sait que le moment aertie I autour d'une droite OP qui fait avec les axes ncipaux d'inertie les angles a, p, y et le rajon de gyran correspondant k ont pour valeurs

I = A cos^a H- B cos^p -4- Ccos^y, k^ z= a^ cos^a ■+- b^ cos^p -+- c^ cos^y-

3n peut représenter OI par l'inverse du carré du demimètre de l'ellipsoïde central dirigé suivant OP, k par la tance du point O au plan perpendiculaire sur OP et gent à l'ellipsoïde réciproque ou ellipsoïde de Macllagh.

Î03. Moments d'inertie de l 'aire d 'une ellipse autour ses deux axes et de la normale à son plan^ menée par zentre; cylindre elliptique.

ioient a, ^ les demi-axes, A, B, G les moments dendés; on à

= Ify^ doc dy, B = ffx^ dx dy, G = //(a?« -f-^^») dx dy.

Pour calculer A, j'intègre d'abord par rapport à x^ et trouve

A = 2/ ■ôy^dys/^^'-y^.

■t akM^1^\k*u .'\t 11 r" J^.'^i

44o RECUEIL D'EXERfciCES

Posons y ==■ ^ cos y, dy = — p sin ^d^, et nous aurons

sin' y cos^ffdff = - af' 1 sin*2«pr/^ = -r 7^ap^ o ^ Jo 4

On en conclut immédiatement

Les rayons principaux de gyrati on sont- [B, -a, - y/a*-4~(b^.

Ce dernier serait le rayon de gyration d*un cylindre elliptique droit autour de son axe; quant au carré du rayon relatif au grand axe de la section moyenne du cylindre, c'est, en désignant la hauteur par 2 A,

^pX.V'Ki^'"^''''''^^^'^^'''-

ifi'+i

204. Moment d'inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport à ses axes et à la diagonale du parallélépipède rectangle circonscrit.

Je désigne par «, (3, y les demi-axes et je pose

hz=fffx}dxdydz, h' = Jx^dm, h^z^^Jz^dm.

Dans /i, si on laisse x constant, l'intégrale relative à y et à z est l'aire de l'ellipse suivant laquelle l'ellipsoïde est coupé par le plan parallèle au plan yz à la distance x\

donc

On trouverait de même h' et li" \ et, comme les moments principaux d'inertie sont h' -^h"^...^ on en déduit les

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 44 ï

rrés des rayons de gjration