hV ,, vî-f-a* , aî-r
3 carré du rayon relatif à la diagonale du parallélépipède rconscrit est
e rayon de gyralion d'une sphère autour d'un diamètre
205. Moment d'inertie d'un triangle ABC par rapjrt à diverses droites ; conséquences pour un polygone ^gulier, une pyramide régulière, un polyèdrefréguer.
Prenons pour origine le centre de gravité O du triangle, Dur axe des x la médiane OA, dont la longueur totale t m, pour axe des y une parallèle à BC; soit 6 l'angle s axes; le moment d'inertie relatif à la médiane est
1=1 dxfy^ sin3 0 dy
tL3f •m
f dx' I y^ sin^ 6 c?^ =
m a' sin'6 Ï8
i ,ysont les côtés du triangle; sa surface eslS = -masinO; ^c
juoment d'inertie par rapport à OA, et, par analogie, moments relatifs à OB et OC sont inversement propor-
tionnels aux carrés de ces droites; l'ellipsoïde central enO coupe le plan du triangle suivant une ellipse E homothétique à l'ellipse E' circonscrite à ABC et ajant son centre
O 5 le rapport de similitude est 'w 1/ ^ t ô '^^ = ô 1/ — ' >
le demi-diamètre de E' parallèle à BC est -=*, celui de E
sera — ==? et le moment d'inertie correspondant I' = — - • Sv/2S ^ 9*
Le moment d'inertie autour d'une perpendiculaire en O au plan du triangle sera
jy ( J^' -H J^ -I- 2.rj ces 0 ) sin 0 dxdj-
= -: — T = - ^OL sm0 T + -n = S .—. — - .
sm^e 2 \2\ i8y 36
Le carré du rayon de gyration, relatif à une normale au plan menée par A, est
-7 4- -TT -H - m'— - m}-{- -y a».
24 lo 9 2. 24
Considérons un polygone régulier de n côtés, dont l'apollième est m, l'aire S, le côté a et le rayon du cercle circonscrit R-, par le centre de ce cercle, menons deux diamètres rectangulaires OX, OY et une perpendiculaire OZ; le moment d'inertie autour de OZ est la somme des moments des triangles ayant O pour sommet :
A et B sont évidemment égaux : or, d'après une propriété commune à toutes les figures planes, ils ont pour somme G :
chacun d'eux est donc égal à -C
Soit maintenant une pyramide régulière dont la hauteur est h et dont la base a pour côté a, pour apothème w, pour aire S ; le résultat précédent donne le moment d'inertie autour de la hauteur
r^Sx^ (
1 ] dx = — \ m^-\
Le moment A autour d'une perpendiculaire quelconque à la hauteur menée par le sommet sera
On reconnaît facilement que, j30ur un polyèdre régulier homogène, l'ellipsoïde d'inertie relatif au centre de figure O est une sphère : les moments d'inertie autour d'une droite quelconque passant en O ont la même valeur [x.
Soient : a l'arête du polyèdre 5 h le rayon de la sphère inscrite ; y le nombre des faces; S l'aire d'une de ces faces ; m son apothème : on a, en reprenant les valeurs précédentes de A et de C,
ji= -.f(x^-hy^-hz^)dm—(f = A. — ( 2m2+ — --+-4A*
206. Moments d^ inertie d'un tore autour de son axe et d'un diamètre de son équateur.
Soient R le rayon du cercle générateur, a la distance de son centre à l'axe \ x^ y^ z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M, u sa distance au centre P du cercle générateur dans le plan duquel il est contenu, i^ l'azimut de ce plan, 6 l'angle de PM avec l'axe du tore ; le système de coordonnées m, tj^ et 6 est souvent utile quand on considère un tore, et donne
a? = (a-h Msin6)cos<J^, ^ = (a -+- Msin6) siinj^, z=mcos6. On pourra découper le plan du cercle en petites surfaces
iidud^ qui, en tournant autour de OZ, engendrent des volumes (a -^ u sid^) u du d^ d^ ; on a pour le volume du tore
o Jo •/ o
Le moment par rapport à Taxe du tore est, en intégrant entre les mêmes limites,
G "///[a + u sinQYududQd^ = nn^aK^ ( ^*-*- 7 R' ) •
Les moments autour de OX et de OY sont A=:fff{y-^z^)dxdxdz=B=fffia:^-hz')da:dfdz=:^'^^
A = B = -fff[{^ H- « sin0)*-4- 2a^cos'ô](a + u sinôj ududQd^
207. Déterminer j en Vun des sommets O d'un parai" lélépipède rectangle homogène, les m,oments principaux et les axes principaux d'inertie : double méthode.
Soient 2a, 2 p, ay les arêtes, e la densité^ on peut supposer que la masse du solide, Sa^ye, soit égale à l'unité. Au centre de gravité, les ax.es principaux sont les parallèles GX, GY, GZ aux arêtes et les moments principaux
D'après un théorème dû à Binet et très élégamment démontré dans une des Notes de M. Darboux à la suite du Cours de Mécanique de Despeyrous, les axes principaux d'inertie en O sont les normales aux trois surfaces hoiuofocales à l'ellipsoïde de Mac-Cullagh C relatif à G, qui
passent par le point O. Une surface homofocale à C a une équation de la forme
pour qu'elle passe au point O dont les coordonnées sont — a, — p, — Y, il faut qu'on ait, en mettant pour a^, 6', c^ leurs valeurs
^^^ ps-H^î—SX "^ Y'-+-«'--3X "^aî-hpî— 3X ""■^*
Cette équation est satisfaite pour trois valeurs réelles de )^ : à Tune quelconque d'entre elles correspond une surface (i) dont la normale ON au point O est l'un des axes principaux cherchés ; le moment d'inertie correspondant k^ est égal à )^ 4- a^ -|- p2 | ^2 ^^ Pon peut dire que les trois moments principaux cherchés sont les racines de l'équation
Les cosinus directeurs de l'axe ON autour duquel le moment d'inertie est u= k^ sont proportionnels aux quantités
et le problème est résolu aussi explicitement qu'on peut
le demander dans le cas général où l'équation (3) ne peut
être résolue que parla formule peu pratique de Cardan. Si
l'on fait
les racines de l'équation (3) sont i2, -^ zizy/3i et l'on peut
se rendre compte des résultats numériques.
Nous allons résoudre le problème en considérant l'ellîp-
soïde d'inertie P relatif au point O : si l'on prend pour axes les trois arêtes qui se coupent en ce point, l'équation de P sera de la forme
Ax--^- By^-+- Cz^ — :tDyz — 2Ezx — 7. Yxy = i, en posant
/ / {y'^-\- z^)tdxdy dz-=. ^- — ^r-^y
et
^îa ^Jp ^SY D= 1 1 / yztdx dy dz=:^^'^^ ....
Les moments principaux d'inertie sont égaux aux inverses des carrés des axes de P, c'est-à-dire aux racines de l'équation en S qui, sous la forme donnée par Jacobi, est ici
il suffit de remplacer A, D par les valeurs données il n'y a qu'un instant, B, C, E, F par les valeurs analogues, pour voir que cette équation ne diffère de (3) que par le changement de u en S. On sait aussi que les cosinus directeurs des axes de P sont proportionnels à
d(a + ^~s) '"PY(4p'+4ï2+3a2-3S)' *"^
et cela revient à dire qu'ils sont proportionnels aux fractions (4).
Si l'on suppose p = y, C devient un ellipsoïde de révolution autour de GX et l'une des familles de surfaces orthogonales se réduit au système des plans méridiens : ce sera celle des hyperboloïdes à une ou à deux nappes suivant que p est > a ou <; a. L'un des axe» principaux
n O est normal au plan OGX et le moment d'inertie cor-
espondant égal à ^ ; les deux autres moments
rincipaux sont donnés par l'équation
3a2-^8p«— 3A:2 4a*-r- yfi*— 3X:»
L'où
Quand a, p, y sont égaux, le solide devenant un cube, * est un ellipsoïde de révolution autour de OG; le moment
L'inertie autour de cette droite est ^ a^ ; les autres moments principaux sont égaux à -0- a^.
208. Condition pour qu ^une droite donnée D soit axe irincipal dHnertie en Vun de sespointsM: applications.
Rapportons le corps considéré à trois axes rectangulaires lont l'un, OX par exemple, coïncide avec D et soient Xt^ /, , Zi les coordonnées du centre de gravité G, h l'abscisse lu point M^ on doit avoir
I) I,my{x' — h) = ^mxy — MA^i=o, ^mzx — MAzi = o; ;es équations donnent pour h deux valeurs
'Lmxy ^mxz ^^ M^i ' "MIT'
:[ui doivent être égales et finies. Quand y^ et z^ sont difi'érents de zéro, il faut et il suffit que l'on ait
Zi S mxy =zjri^mzx
pour que D soit axe principal en un de ses points qui sera 3ien déterminé; si l'une des coordonnées, jKi par exemple, îst nulle, il faut et il suffit que le numérateur corresponlant Ymxy soit nul. Enfin, quand y^ et z^ sont tous deux
nuls, la droite D ne sera axe principal que sî ^mxy et ^mxz s'annulent tous deux; mais alors elle sera axe prin — cipal en chacun de ses points.
Cherchons la condition pour qu'une arête AB d'ui rétraèdre ABCD soit axe principal pour le solide en l'ui de ses points. Prenons pour axe des x la droite AB^ pou — r axe des y la perpendiculaire abaissée du milieu P de CEUD sur AB, pour axe des z une perpendiculaire aux deu ^ autres axes. Le plan ABP, étant un plan diamétral, coi^^tient G et Z\ est nul : il faut donc que ^mxz soit aus ^i nul. Mais le tétraèdre peut être décomposé en élémen ^s égaux, deux à deux situés sur une parallèle à CD à Ja même distance du plan diamétral ABP; leurs z sont égam^jai et de signes contraires; mais celui doutiez est positif aim Ta une abscisse toujours plus grande ou toujours plus pet î. le que celui dont le z est négatif et Yimxz ne sera pas n^-»l; on n'échappera à cette conclusion que si la direction de CZÎD est perpendiculaire à celle de AB, et c'est précisément la condition demandée.
Il y a une seconde manière de décider si une droite D est axe principal en l'un de ses points M : si on lui mèfle en ce point un plan perpendiculaire, ce plan sera tangenf, en ce point même, à l'une des surfaces homofocales à l'e/llpsoïde de Mac-CuUagh C relatif au centre de gravité. Oï soient, par rapport aux axes principaux de G,
les équations de C et de D : on trouve aisément que le lieu des points de contact des surfaces homofocales à C avec des plans perpendiculaires sur D peut être représenté par les équations
(^2 — c2)PYa? H- ( c2— a2)Ya^ -h (a*— 6*)ap^ = o, {aLX-\~ p^H- •^z){^x — oLy) = (a*— 6*)aP;
c'est une hyperbole équilatère H située dans un plan P parallèle à D, ayant pour centre le point G et pour asymptote une parallèle àD : donc, pour que le point M existe, il faut et il suffît que D rencontre H et, pour cela, qu'elle ait un de ses points, par exemple le point/?, q^ r, dans le
plan P :
,• (62__c2)Py/>-{-(c2— a2)Ya^ -h(a2— 62)a3r = o;
alors D rencontrera l'hyperbole en un point unique à distance finie, à moins qu'elle ne passe en G, et nous savons ce qui arrive dans ce cas.
Cherchons enfin le cône formé par les droites D qui passent par un point donné O et sont des axes principaux en un de leurs points M, ce qui revient à dire qu'elles sont en ce point normales à l'une des surfaces homofocales de C : une telle surface a pour équation
quand on prend pour origine le point O et pour axes des parallèles aux axes principaux en G. Pour que la normale en un point (^, y^ z) passe en O, il faut qu'on ait
Multipliant haut et bas la première fraction par x — x^^ la seconde par y — jKo la troisième par z — z^ et combinant, on voit que chacune des fractions est égale, en vertu de (i), à x{x — x^) -^ y{y — y^) -\' z{z ■-- z^)] on peut aussi mettre les fractions (2) sous la forme
De S.-G. — Rec, 29
45o RECUEIL d'eXERCTCES
et voir qu'elles sont égales aux fractions
y or
Il suffît d'égaler ces valeurs deux à deux pour trouver que le Heu des points M est l'intersection des tieux surfaces
(b^ — c^)xiyz -t- (c* — a^)yiZx -+- (a* — b^)zixy = o, (a?* -+-^'-4- z^ — xxi — yy^ — z^\){^y\ — y^\) = (^^ — b^)opy\
la première est un cône du second degré dont l'origine est le sommet : c'est le cône demandé.
Monvement autour d'un axe fixe.
209. Considérons un système d'axes coordonnés rectangulaires et un solide dont deux points A et B sont fixés sur l'axe des z] le solide ne peut que tourner autour de OZ, et il est soumis en A et B aux réactions des appuis, dont nous désignerons les composantes par X|, Y|, Z|, X2, Y2, Z2. Il suffît d'écrire les théorèmes généraux sur l'accroissement des projections et des moments des quantités de mouvement du système, pour avoir six équations d'où l'on déduit le mouvement du corps et les réactions aux points fixes.
Soient a, b les z des points A, B; X, Y, Z les composantes d'une force extérieure appliquée au point (^, y, z) : 6 l'angle dont le corps a tourné à l'époque f ; to la vitesse
angulaire -7:' et 10'= -j-; x^, y^^ Zx les coordonnées du
centre de gravité G, M la masse totale, I = M^^ j^ moment d'inertie autour de OZ, ^myz = a, ^nixz = 3- On a, en
observant que chaque point décrit un cercle autour de OZ,
dy d^y . , d^z
-^ = (ÛX, —TT ~~ — '"' '^ -^ ''^ '^
= dix, —r^=—Ui^y-^b)'x, -y— z= o;
et les équations du mouvement deviennent
Xi -H Xj-h SX -H M{o)^Xi -+- oi'yi) = o,
Y, -+- Yî-h 2 Y -i- M(w2jKi - wVi) = o,
Zi-hZî4-2Z = o,
aYi-f- ^> Y2— 2(^Z z Y) -h loîa — a>'p = o,
aXi-h^X2 — 2(a:Z — zX)-hto*p-h(u'a=o, MX:2w'=:r 2(a7Y— jkX).
La dernière fait connaître la loi du mouvement; les première, deuxième, quatrième et cinquième, X^jXo, Yi, Ya; a troisième donne la somme Z| -{- Z2, mais Z| et Z2 ne Deiivent êlre déterminés isolément, ce qui tient à l'hypothèse d'une rigidité absolue du corps mobile.
Supposons que les forces extérieures soient nulles ou se 'éduisent à un couple dont le plan est perpendiculaire sur \JB : si cette droite est un axe principal d'inertie pour le ^enUre de gravité, le solide tournera spontanément autour le AB sans qu'il soit nécessaire de fixer les deux points A îl B. Si AB ne passe plus au centre de gravité, mais est ixe principal d'inertie par rapport au point A, il suffira Je fixer ce point, B restant libre, pour que le solide tourne indéfiniment autour de AB. Prenons dans ce cas le point \. pour origine et faisons passer le plan des ûoz par le centre de gravité. La réaction R du point A aura pour composantes — Ma)2:r4 et Mto'j?^ : le couple N pourra être réalisé par une force — R appliquée en A et par une force
R appliquée en un point P de coordonnées — > o, o : c'est
le centre de percussion. Si le solide était uniquement sol-
licite par une force égale à Rel appliquée en P, 11 pourrait tourner autour de OZ sans qu'aucun point de cet axe subît de pression.
210. Un parallélépipède rectangle homogène pesant est fixé par les extrémités P, Q d'aune de ses arêtes j qui est verticale : quelle vitesse faudrait-il lui donner pour que le point fixe inf é rieur (^n' éprouvât aucune pression?
Soient 2C la longueur de PQ : si l'on prend cette arête pour axe des z et son milieu pour origine, a, 3 sont toujours nuls et les équations (A) deviennent
Xi-h X2-h M(ti)*.ri -h oi'yi ) = o,
Y,-h Y^-H M(to*j'i — oi'xi) — o,
Zj-h Z2— M^ = o,
c(Y, -Y2)-^Mj,^- = o,
c( X 1 — X2) -H M Xx g — o,
to' = o.
La vitesse angulaire conserve la valeur constante w, et si Ton veut que X2 = Yo^^ o, on déduit des équations précédentes
X,4-Mxiw2 = Yi-HM^,to2= cYi-hMvi^ = cXi-h Ma?i^=o.
Pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit que
C{ù'-=z g\ la réaction en P a pour composantes — ^-^— >
— ' ^' S Mg-; sa direction prolongée passe au centre du parallélépipède.
21 1 . Déterminer la forme dhin pendule composéj assujetti à certaines conditions, de façon à rendre minimum la longueur du pendule simple synchrone. ^
Avec une quantité de matière donnée, on peut toujours former un pendule composé qui oscille aussi vite ou aussi lentement qu'on voudra; il suffît de lui donner la forme d'une très longue aiguille et de la faire osciller autour d'une
parallèle à son axe qui en soit très voisine, ou d'une perpendiculaire à cet axe. Mais, si Ton impose certaines conditions à la forme du pendule, la longueur du pendule simple synchrone ne peut être inférieure à une certaine limite finie. On sait que, si a est la distance du centre de gravité G à Taxe de suspension supposé horizontal, k le rayon de gyration autour d'une parallèle à cet axe menée par G, la lon-
gueur du pendule simple synchrone est l'=:.a-\ ; la
forme du pendule étant donnée, / ne peut être minimum que si a = A"*, alors / = 2 A", et Ton est ramené à former un corps de masse et d'espèce données, tel que son moment d'inertie, par rapport à un axe de direction donnée passant au centre de gravité, soit minimum. Il faut pour cela que, si Ton enlève ou qu'on ajoute une masse infiniment petite en des points quelconques de la surface, sans que cette surface cesse de remplir les conditions géométriques qui lui sontimposées, le moment d'inertie autour de Taxe donné éprouve une variation qui soit indépendante de Tendroit où l'on a retiré ou apporté de la matière^ : sinon, en enlevant de la matière aux points les plus sensibles pour la rapporter en d'autres moins sensibles, on diminuerait le moment d'inertie, qui, par suite, n'eût pas été ixiinimum.
Supposons que le pendule cherché doive être un cylindre droit, d'épaisseur li et de masse m, oscillant autour d'une parallèle à ses génératrices, et menons la parallèle OX par le centre de gravité O. Si l'on veut retirer une petite quantité de matière sans changer la nature du pendule, il faut que cette petite masse soit répartie uniformément le long d'une génératrice : pour que la diminution correspondante du moment d'inertie soit constante, il faut que toutes les génératrices soient équidistantes de l'axe; la base du cylindre sera un cercle, et l'axe de suspension passera au milieu du côté du carré inscrit.
Demandons que le pendule soit de révolution a ulour d'an axe qui coupe à angle droit l'axe de suspension. SoitOXla parallèle à ce second axe par le centre de gravité : la masse dm qu'on enlève doit être répartie uniformément le long d'un parallèle de la surface; si r est le rayon, z la distance du plan du parallèle à l'axe, la variation du moment est
js l - /î ) dm .
Pour que ce soit une constante, il faut que l'équation d( la surface soit
c'est un ellipsoïde de révolution aplati dont le volume, ég^- ^] au volume donné, est -tzc'^] et l'on di k^=ci/ -z*
212. Une planche rectangulaire homogène et tm^ès mince est fixée aux extrémités A e^ B d'une de ses are €es qui fait un angle i avec la verticale; mouvement de la planche quand on V écarte de sa position d'équilibre; réaction des deux gonds.
Je prends AB pour axe des ^, son milieu O pour origine, la perpendiculaire à AB contenue dans le même plan vertical que cette droite pour axe des x et une perpendiculaire à ces deux droites pour axe des j^; soient 2 a la longueur AB, 2C la largeur de la planche. Le poids mg est appliqué au centre de gravité G, et ses composantes sont
X = /n^sint, Y = o, Z — — mgcosi; on a évidemment
a = Hmyz = 0, p = Zmxz = o.
J'appelle 8 l'angle du plan de la porte avecZOXct Xi,^ Zi, X2, Y2, Za les composantes des réactions de A et de
Les équations générales deviennent
X, -h X2 H- mg sini -h me [tù* cos 9 4-«'sinô) =: o, Y, -I- Yj -h //zc(w'sinô — w'cosô) = o, ( I ) ^ Z, -H Z, — mg cosi =z o,
a (Y, — Yj) -h c/wo' CCS / sin 9 = o, a (X, — Xj) ■+- cmg cosi cosô = o,
- /nc^w' = — cmg sinô sin/.
La dernière donne, en multipliant par (i>dt = dd et intégrant,
2c(w^ — o)J) =: 3g^(cos6 — cosOo) siui.
Les oscillations sont isochrones à celles d'un pendule de
Ac longueur -r-î; — :• Les premières équations (i) nous donneront Xi, Xj, Y,, Y,; mais, il est un peu plus simple de chercher les composantes des réactions dans le plan de la planche, parallèlement à OG, et suivant une normale à son plan 5 je désigne ces composantes par Pi, P,, Ni, Nj et
je pose
3^sin/, ^ ,.
w'==-5 COS0— k);
h est <^ — I si la rotation est continue. On a d'ailleurs P=:Xcosô +Ysin9, N = Ycosô — Xsinô;
sî donc on ajoute la première et la deuxième équation (i), après les avoir multipliées par cosô et sin0, ou par — sinô et COS0J on a
^ ^ ^f! sin / , ^ ^ , .
P.-î-P2 = 5cos9 — 3A ;
N, H- N2 =: - mg sin i sin 9.
456 EECUEIL d'exercices
Ajoutons au contraire la quatrième et la cinquième après
t . ,. , sinô cosô cosô sinô
avoir multiplie par et ? ou par et ; on
trouve
■r> ^ cmsrcosi
P, — Pa = ^ , N, — N,=:0.
On peut ainsi calculer immédiatement les P et les N. Comme Ni = N,, sans que Pi soit égal à Pj, les deux réactions n'ont pas de résultante, à moins que cosi ne soit nul, c'est-à-dire AB horizontal ^ alors
P, = P, = -Jl ( 3 /z — 5 cos 0 ) , N , =: N, = -n^ sin 0,
, Ni
Si Wa = o et Ôn=i -"i h est nul etrr^ == tans'd: la lan-
2 P, lO ^ '
gente de l'angle de la réaction avec le plan de la porte est
proportionnelle à tango.
213. Oscillations d'une aiguille aimantée mobile autour dUin axe horizontal qui passe par son centre de gravité O; influence du frottement qui s'exerce sur V axe quand V aiguille oscille dans le plan du méridien magnétique.
L'influence de la Terre sur une aiguille symétrique par rapporta son centre de gravité peut être représentée par l'action de deux forces F égales, parallèles et de sens contraires, appliquées eu deux points P, P', symétriques par rapport à O ; l'angle i de ces deux forces avec l'horizon est l'inclinaison, et le plan vertical qui leur est parallèle est le plan du méridien magnétique. Fpeut être remplacée par une composante verticale F sinî, et une composante horizontale Fcost; si donc l'axe deraiguillefaitl'angleaavecle méridien magnétique, Fcos/ se décompose en deux autres, Fcos ; sina, dans le plan où peut se mouvoir l'aiguille, Fcos^cosa parallèle à l'axe : l'aimant sera en équilibre quand l'angle i'
de P'P avec rhorîzon est tel que
cot/'= sînacot/.
Écartons PP' d'un angle 9 de sa position d'équilibre-, si PP'= 2/, Taîmant est soumis au couple
2F/sinô v^sin'/ -I- cos'/sin'a; en appelant mk^ le moment d'inertie, on a
mÂ^ùn' =r — 2 F/ s:n0 y i — cos'/cos'a, /7z/-2(w*— wj) = ■^Fl{cos9 — cos9o) v'^i — cos^^cos'a.
Li'aiguille prend un mouvement pendulaire, d'où l'on iéduit l'intensité des forces F« Supposons l'aiguille assu-
I eltîe à rester dans le méridien : a =s - • Soient p le rayon
ie l'axe de suspension, 2 a la distance des points d'appui, iont le milieu est en O 5 je prends cet axe pour axe des z, .'axe des j^ étant suivant la direction d'équilibi^e et l'axe les a: perpendiculaire aux deux autres-, et je désigne par 9 .'angle de OP avec OY, le sens des angles positifs étant
-el que pour OX, 9 = • Les composantes du poids sont
mg'sini, mgcosi et o, tandis que F est parallèle à OY. Par raison de symétrie, les points d'appui n'ont pas à fournir de réaction parallèle à OZ; leurs actions, égales entre elles, ont pour composantes X et Y ; la force de frottement en chaque point d'appui est donc sincp y/X^-f-Y^. Comme a?^,^^, ^|, a, p sont nuls, les troisième, quatrième et cinquième équations générales deviennent des identités, et les autres donnent, o désignant l'angle de frottement,
iX-\- mgsini= Oj 2 Y-f- m^cosr = o, mk^w' = — 2F/sin6-f-2psincpv/X*-i- Y*.
Le signe du dernier terme est pris en supposant que 8 parte d'une valeur initiale positive 'k pour décroître. Oru ^ lire de nos équations
^ = coti, 2 /X^ -H Y» = m^,
La réaction de chaque appui est toujours verticale et égal^^^e à la moitié du poids. L'équalion du mouvement devient
mk^fji' = — 2F/ sinô -f- mg^ sinfp.
Pour que le mouvement naisse, il faut
2F/ sin> ^ mg^ sincp;
s'il en est ainsi, intégrons en multipliant par 2(jidt = 2C^6: mk^(»r=z 4F/(cosO — cosX) -f- 2mgp[0 — X) siny.
Cette formule est applicable jusqu'à ce que 6 ait atteint une valeur Aj pour laquelle œ s'annule. A cause de la petitesse de josiiicj), Xi ne diffère pas beaucoup do — 1] écrivons que 0)* s'annule pour 6 ==■ — l-\- h^
2F/[cos(X — h] — cos>] — mg^[i\ — h) sinjp =o.
Développons cos(X — h) par la formule de Taylor, et négligeons les termes du deuxième ordre :
„,, . ^ ^ . , wfi'p'Xsinç
2F/i^SmA — 2/72^ûA Sm-y =: G, h =: ' ' . ^•
F / sin X
si X est peutconsidérable, -r^- diffère peu de i, A est sensi- ^ sin). ^ ^
bleraent constant, et l'on voit que l'amplitude des oscillations décroît suivant une progression arithmétique*, quand
le sinus de cette amplitude est devenu <r J., > l'aiguilk
s'arrête, faisant en général un petit angle avec OY.
Mouvement autour d'un point fixe.
214-. Considérons un solide assujetti à tourner autour d'un point O et sollicité par des forces quelconques^ le mouvement élémentaire est une rotation autour d'un axe instantané 01, et il suffirait de connaître la grandeur et la direction de la droite 01 = w qui représente cette rotation à chaque instant pour être ramené à une question de Calcul intégral. Menons trois axes rectangulaires fixes OX^, 0Y<, OZ,; la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à 0X< est de la forme
la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des moments des forces extérieures, mais elle est difficile à calculer à cause des S qui y figurent et qui varient avec le temps. Aussi Euler a-t-il cherché les projections p, q, r de OI sur les axes principaux OX, OY, OZ relatifs au point O; ces axes sont mobiles, mais il suffit de connaître leur position à un instant donné pour avoir celle du corps. Soient A, B, G les moments d'inertie principaux au point O : les moments des quantités de mouvement par rapport à OX, OY, OZ ont pour sommes respectives A/?, Bgr, Gr; ces sommes sont égales aux projections de l'axe G du couple résultant des quantités de mouvement et l'on a
le plan du couple lui-même, défini par Téquation
Apx 4- Bqy -h Crz = o^
est le plan diamétral conjugué de l'axe instantané 01 par rapport à l'ellipsoïde central. Le moment d'inertie du
solide autour de 01 a pour valeur
on en conclut que la somme [xw des moments des quantités de mouvement par rapport à 01 est égale à la projection de G sur 01 et que la force vive est A/?^ ~\- Bgr^ -f- Cr^.
En exprimant que la vitesse de l'extrémité de l'axe OR = G du couple des quantités de mouvement a ses projections sur OX, OY, OZ égales à celles de l'axe OR du couple résultant des forces extérieures, M. Resal obtient d'une façon très élégante les équations d'Euler :
A^f -i-(G-B)yr = L, (,) { Bj?+(A-C)r/>=M,
En général, ces équations ne peuvent s'intégrer directement parce que L, M, N ne sont pas exprimés en fonction de p, q^ r, mais en fonction des trois paramètres propres à définir la position du solide dans l'espace. Les paramètres qu'on emploie le plus souvent sont les trois angles d'Euler. Supposons qu'il faille une rotation positive de 90® autour de OZ pour amener OX sur OY, et ainsi de suite, et soit OU une moitié de l'intersection des plans OX^ Y^ et OXY : nous appelons t}» l'angle dont il faut faire tourner OX| autour de 0Z| dans le sens positif pour le faire coïncider avec OU, cp l'angle dont il faut faire tourner dans le sens positif OU autour de OZ pour l'amener sur OX, et 6 l'angle dont 0Z| doit tourner autour de OU pour coïncider avec OZ5 ces trois angles peuvent prendre des valeurs quelconques. On établit en Cinématique les trois
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. ^6l
relations suivantes :
/. = sm8smcp-^-4-coscp-j-^,
(a) ^^=siQecoscp--smcp-^^,
ft d^ do dt dt
Ces relations permettent de transformer les équations (i) en un système de trois équations du second ordre entre '|i, <p, 9 et ^; on peut aussi conserver les six équations simultanées (i) et (2).
Quand deux des moments principaux, A et B par exemple, sont égaux, rien ne distingue, dans le plan de l'équateur de l'ellipsoïde central, les droites que nous avons prises pour axes des x et des^ et Ton peut supposer qu'à un instant donné, cp soit nul. Dans cette hypothèse, les
valeurs de /?, q et celles de ^j -^ qu'on obtient en diffé-
rentiant les deux premières équations (2) se réduisent à
^0 . ^d^ t/^O . ^do d^ . .(i2.^ d^ d'\^ ^0 do
-T-> sin6-r> -r-r -H SI Q 6 V- -r^ sin 0 -Vi- + cos 6 -; — r- ; — r-*
dt dt dt^ dt dt df^ dt dt dt dt
Portons ces valeurs dans les deux premières équations d'Euler où nous remplacerons L et M par des quantités P, Q pour rappeler qu'on prend les projections de l'axe OR sur. OU et sur une perpendiculaire, puis réduisons les coefficients de A en tenant compte de la troisième équation (2); enfin écrivons la troisième équation d'Euler où le terme en A — B disparaît et nous aurons
(„ JA(.,..g*.co..SS)-C,J]=Q,
Ces équations sont dues à M. Resal : comme l'instant t auquel elles se rapportent est quelconque, elles subsistent pendant toute la durée du mouvement et ont l'avantage de ne contenir <p que par ses deux premières dérivées.
Il va de soi que, si l'application des théorèmes généraux de la Dynamique peut fournir une ou plusieurs équations entre/;, y, /% <p, 4», 6 et t, on aura le droit de les substituer à pareil nombre des équations (i) et (a) dont l'intégration pourra être facilitée par cette substitution. On sait que la force vive est égale à Ap^-\- Bg^-h C/-,
Quant aux composantes de la réaction exercée en O sur le solide, on les calculera en exprimant que le centre de gravité se meut comme un point de masse M sollicité par cette réaction et parla résultante de translation des forces extérieures.
215. Influence des forces extérieures sur la rotation du solide. Application,
Bien que les axes OX, OY, OZ soient mobiles, on a vu en Cinématique que les valeurs de dp, dq, dr correspondant à un temps dt représentent les composantes de la vitesse de rotation acquise pendant ce temps suivant les droites qui, à Tinstant t, coïncident avec OX, OY, OZ. Or les équations d'Euler montrent que ces composantes sont formées de deux parties :
les premières parties sont acquises sous l'influence seule de l'inertie, les secondes ont pour résultante la rotation diù communiquée spécialement par les forces extérieures et l'on voit que l'axe de cette rotation élémentaire est dirigé suivant le diamètre de Tellipsoïde central E con-
jugué au plan du couple résultant des forces extérieures. Soient R le moment de ce couple, i l'angle de son axe avec le diamètre 01 conjugué à son plan par rapport à E : on a
. hhdt M Udt
N ^dt dv^ r /Ldty "I
mais la quantité entre crochets est égale au moment
d'inertie [jl du solide autour de 01 ; dto est donc égal à
Rcost ,, dt.
Considérons, par exemple, un cube homogène mobile autour d'un de ses sommets O et cherchons le mouvement que lui communiquera, au bout d'un temps dt^ une force F appliquée normalement au point M d'une des faces qui se coupent en O. Soient OA, OB, OC les arêtes, de longueur 2 a, qui aboutissent en O et supposons M situé dans la face OBC. Comme il nous suffit d'appliquer les résultats énoncés il n'y a qu'un instant, nous prendrons pour axes coordonnés les arêtes OA, OB, OC, et les résultats actuels seront plus faciles à discuter. Si la masse du cube est 3m, on trouve pour l'équation de E
ma^[S(x^-\-y^-i- z^) — 6{yz -\- zx 4-a?^)] = i.
Soient o, h, c les coordonnées du point M; le plan du couple résultant de la translation de F en O a pour équation cy — 6^ = o; son diamètre conjugué 01,
a des cosinus directeurs déterminés par les équations
ces cosinus définissent la direction de l'axe rfw. Pour en
calculer la grandeur, remarquons que le moment R
rgal à F^6- -r C^ ] puis les cosinus directeurs de OR élar:::^
O, ; — r^rr^ > -; > OU a
COSl =
enfin, nous pouvons écrire
.a = /na«[ii(aî-4-p2 4-Y*) — 3(a-4-p-i-Y)*]
= 1 1 /na* —-n ttt-^ ttt
= 22 ma*
En substituant ces valeurs dans la formule générale, il se présenle de grandes réductions et Ton trouve
doj= rv/4362-h43c2— 786c.
22 ma* '
On retrouverait les résultats précédents en égalant les moments des quantités de mouvement par rapport à OA, OB, OC aux moments de Timpulsion élémentaire de la force F.
216. Remarques relatives au cas oà il n*y a pas de forces extérieures.
Lorsqu'il n'j a pas de forces extérieures ou que ces forces ont une résultante passant parle point fixe, le solide se meut suivant les lois que Poinsot a mises en lumière. L'axe du couple résultant des quantités de mouvement conserve une direction fixe dans l'espace, OK, et une grandeur constante G ; la force vive H est aussi constante. L'ellipsoïde d'inertie E relatif au point O se déplace de manière à être toujours tangent à un plan ET, mené à une
distance 8 = ^ du point fixe perpendiculairement à OK el
que j'appellerai le/?/a/? //x<?; j^appellerai aussi pôle lepoinl de contact variable M de E avec II. L'axe instantané de rotation est dirigé suivant OM et la vitesse angulaire du solide autour de cette droite est
(i) w = OMv/n = p/n,
OM étant égal à p ; la projection de l'axe représentatif de cette rotation sur OK est
to cosMOK = /:,-•
Poinsot a reconnu que plusieurs quantités, qui dépendent du mouvement du solide, restent constantes. Signalons d'abord la somme des carrés des distances des sommets de E à Taxe OK :
2i(.— Kox,= .2i -9: ="i:i
En second lieu, prenons sur les axes principaux des longueurs Oa, Oj3, Ov égales à y/A, \/B, ^/C : je dis que la somme des aires décrites par les projections deOa, O^, Oy sur le plan II est proportionnelle au temps. En effet, la vitesse aréolaire de la projection du point a est égale à la moitié de la quantité de mouvement, par rapport à OK, d'une masse égale à Tunilé et placée en a : les moments de cette quantité de mouvement par rapport à OX, OY, OZ étant o, A/jr, Ar, son moment relatif à OK sera
on en conclut aisément que les aires considérées ont pour
De S.-G. — Rec. 3o
rEC«»^^
^'E^Eivcic^'
Mnus suÇV ^ Ae ces ^^ . el ^ " r- -i ^ CH ? ^^
*''"":: *-- ifde^A-e »:;.::». d.J^*'^-
L'herpolhodie est la courbe U décrite par le pôle M dans le plan II ; M. Darboux a fait connaître une méthode bien préférable à celle de Poinsot pour en trouver l'équation. Soient M, Mj les positions du pôle aux époques t et ^-h dt^ W la position occupée, à l'instant t^ par le point du solide qui doit venir coïncider avec Mi, P le point où la droite OK rencontre II. Le cône (G) qui a pour sommet le point O et pour base la polhodie devant rouler sans glisser sur le cône fixe (Ci) qui a l'herpolhodie pour base, les triangles OMM| , OMM' sont équivalents, leurs plans font un angle infiniment petit et PMMi est égal à la projection de OMM' sur le plan U ou encore à la somme des projections des triangles e^., e^, e^. suivant lesquels OMM' se projette sur les plans OYZ, OZX, OXY.
Déterminons la position du point M dans le plan U par sa dislance u au point P et par l'angle \ de PM avec un
axe fixe PMo : le secteur PMMi a pour mesure - u^ rfX.
Lçs coordonnées x^ y^ z du pôle dans le solide sont égales
à — i — > — ou, (i) n" 216, à ■—, ~=9 -7=: on a donc o> là ^ ^ ^ V/H v/H /H
-u'/ ^ ^\ ^ i g dr — rdg
tjc^± -{y dz - z dy) = -± -^ 2 1;
mais les deux dernières équations d'Euler donnent ici ^ B(A -B)o5-+-G(A— C)r» , AH — G» ,,
-''-= bcH /' * = -ÏÏBCîr ^ '^'^
On a donc, en additionnant les projections de e^c, e^, tz sur II,
,^ ^ , J^ V^AdAH — G2 . HJ'— G* ,
(0 ± a» rfX == 2, -f nBGÎI- ^ ''^ == ÂBCÏÎG '^''
en désignant SA^/?- par J=^. On a d'ailleurs
2AV^ = GS i:A/>2=II, Zp''=Up'-=n(u^-^ ^\ .
Éliminant /?2, q^y /'- entre ces équations et celle qui définit J^, on trouve
