A-B)(A-C) V"" G2-AH

t Ton en déduit q^ et r^ par permutations tournantes. Eu gard à ces résultats, la valeur de udu donne

l suffit d'éliminer dt entre les équations (3) et (5) pour voir l'équation de l'herpolhodie.

La vitesse aréolaire du pôle s'exprime par une fonction

inéaire de w^ et m -7- par la racine carrée d'un polynôme

i^(w2)du troisième degré en U'\ le coefficient de u^ est îssentiellement négatif et le terme constant est égal et de ligne contraire au carré du terme constant dans la vitesse iréolaire; il en résulte, et l'on s'en assure en ajoutant les îquations (3) et (5) après les avoir élevées au carré, que '- est une fonction bicarrée de u. Si j'appelle u», U2, U3 es racines de F(m2) dans l'ordre où elles se présentent 5OUS le radical (5), on a, en se rappelant nos conventions sur la grandeur de A, B, C,

et U' variera entre U| et 'Ji, L'herpolhodie est comprise entre deux cercles qu'elle va toucher alternativement , M. de Sparre a montré qu'elle n'a pas de points d'inflexion, mais la démonstration de ce curieux théorème nous entraînerait trop loin et je renverrai le lecteur à une Note sur le mouvement d^un solide autour d^ un point fixe que j'ai publiée chez M. Gauthier- Villars en 1887.

Quand AH — G^ ou G- — CH s'annulent, l'herpolhodie se réduit à un point; si c'est BH — G-, son équation ne

dépend plus que des fonctions élémentaires : les équations (3) et (5) deviennent

dk /îî du r^^r—. r, (A-B)(B-C)1

après avoir éliminé dt^ on intégre aisément et il vient

i (ea).v/îi^.e-a>VB).

Voyons quelle est, dans le cas général, la position relative des cônes (G) et (Ci ) ; le premier est du second degré et a pour axe OZ, le second est transcendant, mais partout concave vers OP, qui est pour lui comme une sorte d'axe. Considérons Tins tant où la génératrice de contact passe au sommet n de la polhodie qui est dans le plan OXZ: une figure très simple montre que, suivant que OZ coïncide avec Taxe majeur ou avec l'axe mineur de E, c*est-à-dire suivant que A est ^G ou BH^G^, la perpendiculaire OP abaissée sur le plan tangent à E au point n tombe en dehors de (G) ou biem à son intérieur entre O/i et OZ. Dans le premier cas, les deux cônes sont extérieurs l'un à l'autre ; dans le second, ils sont situés du même côté de ieur plan tangent commun; mais ZOn est le minimum de Taugle des génératrices de (G) avec OZ, tandis que P0« est le maximum de l'angle des génératrices de (Ci)avec OP; et cependant ZOn est > POn; il faut en conclure que le cône fixe (d ) est tout entier à l'intérieur de (C)quï roule sur lui en l'enveloppant.

Quand le mouvement d'un point [x dans un plan est défini par des équations de la forme

n étant égal à — h^^ on peut se demander si la trajectoire V est une herpolhodie : il faut, pour qu'il en soit ainsi, qu'on puisse trouver pour A, B, C, G, H des valeurs qui rendent les équations (3) et (5) identiques à (6). On voit

d'abord qu'il faut prendre H = Ar^, G = =h — > le signe ±

étant choisi de telle sorte que G soit positif; on fera aussi

T = Si alors on sait résoudre l'équation ^(^u^)=zOy

on égalera les racines aux quantités Ui, U2, U3 en évidence sous le radical (5) et l'on en déduira successivement A, B, G; sinon, on remplacera dans ^{u^) l'inconnue u^ par

^^ — fj et l'on obtiendra une équation du troisième degré

en V ayant pour racines A, B, C.

H n'arrivera pas toujours que les valeurs obtenues pour A, B, C puissent représenter les moments principaux d'un solide, quantités essentiellement positives et dont chacune est moindre que la somme des deux autres; s'il n'en est pas ainsi, V ne sera pas une véritable herpolhodie. Mais alors, soit S une quadrique définie, avec les valeurs trouvées pour A, B, G, par l'équation

si elle pivote autour de son centre O de manière à toucher en un point variable [x un plan fixe mené à la distance

-çT = X du point O, l'axe instantané de rotation étant dirigé suivant Ojjl et éggl à A*. 0|Ji, le mouvement de S aura la plus grande analogie avec celui du solide de Poinsot et M. Darboux lui donne, dans une acception générale, le nom de mouvement de Poinsot; le lieu des points de contact [JL est la ligne V et conserve le nom à^ herpolhodie; il peut y avoir des points d'inflexion ou de rebroussement. Enfin les composantes de la rotation de S suivant ses axes

J2 RECUEIL D i:.

atisfont à des équations de la forme

dp B-C

dt "" A"*" ^''' • • • '

qui devlennenC une généralisation de celles d'Euler.

218. Mouvement d'un anneau homogène S dont le centre O est immobile et coïncide avec celui dUin anneau fixe beaucoup plus grand que S, et dont les molécules sont attirées par celles du grand anneau suivant la loi de Newton; le mouvement initial de S est donné. Discussion,

Prenons le centre O pour origine, les plans du grand et du petit anneau pour plans des x^ y^ et des xy : la position de S sera définie par les trois angles d'Euler. Soient M et m les masses des deux anneaux, R et a leurs rayons, / le coefficient de l'attraction : on a vu (n° 85) que les forces appliquées à S peuvent se réduire à un couple dont Taxe est dirigé suivant la ligne des nœuds OU et dont le

moment est y /Mm -^ sinOcosO, en négligeant les termes

en j^« Le moment d'inertie C est ma^^ A et B étant égau^

chacun à la moitié de C; le mouvement de S peut étr

déterminé à l'aide des équations de M. Resal, qui, en pc

sant

et divisant par -ma-, deviennent

-j — 4^'* sin 0 cos 0 -h 2 r^' sin G = — fx sin 6 cos 0,

sinO^-}-20'iJ;'cosO-.xrO'=o, % = o.

dt ^ dt

La dernière montre que rsera constant; la secon

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. ^'ji

ègve en multipliant tous ses termes par sinO; et, si l'on lésigne par a, e, !J les valeurs initiales de 9, ^', <{>', on trouve

i) <}^' sin^e -r- 2rcos6 = Çsin^a -h arcosa;

;ette intégrale exprime que la projection de G SurOZ^ est luUe, puisque les composantes de G suivant OU, OV, 3Z sont A 9', A^' sinO et G r ou 2 A r; on aurait pu Técrire i priori, car la vitesse de l'extrémilé de Taxe du couple les quantités de mouvement G est représentée par Taxe lu couple résultant des forces extérieures; elle est donc Dcrpendiculaire sur OZ,, et la projection de G sur cette droite constante aussi bien que sur OZ.

Enfin, multiplions la première équation de M. Resal Dar 28', la seconde par 2^'sinO et ajoutons membre à nembre : on peut intégrer les deux membres et il vient

e'2-f-ij>'2sin2e = £2-4-Ç2sin2a-h {jl(cos20 — cos2a);

c'est l'intégrale des forces vives : si l'on y remplace ^' par sa valeur tirée de l'équation (i), il vient, après de simples réductions,

/ G'îsin^O = £2(i__cos«ô)-f-(cos6 — cosa) [2) } X i [f^(ï — cos20) — Ç2sin2a] (cos6 M-cosa)

\ H-4^Csin2a — 4r2(cos0 — cosa)j.

Cette équation permet de déterminer 0 en fonction de t ; e second membre est un polynôme du quatrième degré en îos9; si nous le désignons par F(cosO), nous aurons

F(cosa) = eîgin-a

3) F(ii=i) = — (iqzcosa)2(2r— Çcosa^zÇ)^-

Écartons les cas particuliers dans lesquels F(i) ou :^ ( — i) s'annule : nous pouvons supposer a compris entre

o et TT, et 6 ne peut atteindre aucune de ces limites ; quan^n on fait croître 8 de a jusqu'à tî ou quand on le fait décroît^^ de a à zéro, on rencontre deux valeurs, 8| et 82? pour le^ quelles F(cos8) s'annule et devient négatif; 6 ne varier qu'entre 84 et O2 et, en général, il oscille d'une lim à l'autre dans un temps fini. Toutefois, si l'équatii F ( cos 8 ) = o admet une racine double cos ^ comprise ei cos8| et cos 82, P deviendra une limite vers laquelh tendra indéfiniment sans jamais l'atteindre; en effet, ^t^^i notre hypothèse, l'équation (2) donne pour rf^ une \'SL^eui de la forme

//v 7 . sinOrfO

(4) dt=±

(cosp— cos6)/F,(cos6)

et, si l'on intègre jusqu'à 8 = p, ^ devient infini. Dans tous les cas, une fois 6 connu en fonction de t, Véquation (i) déterminera ^,

Cherchons quelles doivent être les conditions initiales du mouvement pour que 8 garde une valeur constante, qui ne sera autre que a : il faut évidemment que e soit nul et que cos a annule F (cos 6); mais ce ne doit pas être une racine simple, car a se confondrait avec l'une des limites 64 , 82 que 6 ne doit pas franchir, et la valeur de dt tirée de (2) prendrait la forme

COS0 — cosa)Fj(cos6)

F2(cosa) n'étant pas nul; au bout d'un temps limité B dif" férerait de a d'une quantité finie. Si, au contraire, cos» est racine multiple de F(cos8)= o, la valeur de dt prendra la forme (4), sauf le changement de ^ en a, et si l'on intègre à partir de a, il faudrait un temps infini pour que 8 atteignît une valeur différente de cette limite ; c'est donc la condition nécessaire et suffisante pour que 9 ne varie

pas; elle suppose que le coefficient de cos8 — cosa dans l'équation (a) s'annule pour 8 = a; les conditions initiales demandées sont donc

e = o, (|ji — ^*) cosa-f- 2rÇ =^ o;

si elles sont remplies, S aura un mouvement de précession uniforme.

On obtient encore des résultats simples quand on suppose l'axe OZ primitivement immobile, mais la vitesse r de rotation de l'anneau autour de cette droite extrêmement considérable. Pour peu que 8 s'écarte de a, F(cos8) devient négatif; si donc on pose 8 == a — x, x devra rester très petit et, dans les équations (i) et (a), après avoir fait e = !J=o, on pourra remplacer les autres termes par leur partie principale que donne la formule de Taylor : on aura

On voit que l'intégrale de la seconde équation peut se mettre sous la forme

a sinaa , rc = * ,, , (i — cos2rO; 8 r' '

en substituant dans la première équation, on en tire

Soit P le point d'intersection de l'axe OZ avec une sphère dont le centre est en O et le rayon égal à l'unité : ce point décrit une épicycloïde sphérique engendrée par

un cercle (c) de rayon ^ ^ — > roulant sur un cercle (ci),

lieu des points pour lesquels 8 = a. Soient, à l'époque t^ Q le point de contact des deux cercles, I le point d'intefsection de la sphère avec l'axe instantané : la vitesse an-

gulaire de S étant sensiblement égale à /•, la vitesse du point P sera égale à rPI et normale à l'arc PI; mais, comme P appartient au cercle (c) qui roule sur (ct) avec une vitesse angulaire égale à ar, sa vitesse a aussi pour valeur 27'PQ et elle est normale à PQ; on en conclut que le point I s'obtient en prolongeant PQ d'une longueur égale; on peut regarder ce point comme le centre de courbure de l'épicycloïde en P; il a pour lieu une autre épicycloïde qui sera la directrice du cône (Ci). Quant au lieu(C) des axes instantanés par rapport à l'anneau, on voit aisément que c'est une portion de plan limitée par deux droites dont OZ est la bissectrice et dont l'angle est égal à

• Ces résultats peuvent se vérifier parle calcul.

Revenons enfin aux cas que j'ai exclus au début, ceux dans lesquels F(i) ou F( — i) s'annulent : si ces deux quantités sont nulles à la fois, r et ^ seront aussi nuls, à moins que 0 ne soit constamment égal à o ou à tc, et l'anneau prendra un mouvement analogue à celui du pendule, la ligne des nœuds restant fixe. Supposons que F(i) s'annule seul ; on aura

(5) 2r = Ç(i-+- cosa).

On peut diviser l'équation (2) par i — cosO et l'on en déduit

( (1 -+- cos6)0'2=:(£2|. jjLcos^O — jJLCOs2a)(i-4- cosO)

( — 2Ç2(i4-cosa) (cosa — cos6).

Soit<ï>(cosO) le second membre : il est positif pour 0 ==0 et pour 9 =:= a, négatif pour 0 = 7t et, dans tous les cas, 0 ne pourra dépasser une certaine valeur Oi comprise entre a et 7c. Entre cosa et i, l'équation <ï>(cosô)= o peut avoir deux racines ou n'en pas avoir; dans le premier cas, 0 aura une limite inférieure 60 et, en général, oscillera

entre Q| et O2 ; dans le second cas, 8 variera depuis Oj jusqu'à — 9|, OZ ira coïncider un nombre infini de fois avec OZ<. J'indiquerai un exemple numérique dans lequel nous saurons effectuer toutes les intégrations.

Soient a = ->/*=- ? [jl = 8 î^^ : la condition ( 5 ) est satis-

faite et l'on peut appliquer l'équation (6), qui donne successivement

(1 -{- cose)e'2 = Ç2(8 cos^O -t- 8 cos^e -h a cosO),

cos i e <fo

(^3 — 4 sinî 1 0 j i/ 1 — 2 sin2 i 0

On voit que 0 doit commencer par décroître; si î^ est

positif, on prendra d'abord le signe — et l'on aura, en

intégrant,

col2 - 0 = I -T- - tangîÇf 4 / 7 •

On trouve ensuite, en ayant égard à la valeur de cot- 0,

dt l -r- COS 0 ' "^ /^

3 + 2tang2Ç«^-

i}; — t{;o = 2^ — arc lang f 4/ | tangÇ/ l/- ^ On a enfin

û^^ dt 2 ^ 1 dt 2

et l'intégration est immédiate. On voit quecpett}/ augmentent sans cesse. Le point de rencontre de OZ avec une sphère dont le centre est en O se meut d'abord tangentiellement

est àa«*

ai^

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des

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ntes-

„ ces èc\'

cos

tey

cos

le pôle décrit dans le solide une courbe V située dans un plan n qui coupe normalement OZ en un point P tel que OP = n. Déterminons la position du point M dans le plan par des coordonnées polaires PM = u^ MPMq = \. On a

w» = /?2 H- </« = 0'2-f- f »sin«0,

ou, ayant égard à l'équation (3),

M* (5) u^=^iu.(h — cos6), cosO = A •

Différentions la première, élevons au carré et tenons compte de Téquation (4)î nous aurons

M* -T-^ = 2|ji3(A — cose)(i— cos«6)-— {jLî(Â: — //icose)2. Si l'on y remplace cos6 par sa valeur (5), il vient

= — -- u6-^ ^-^ — j-^ a*-i-...— fx2(/:— //lA)*.

D'autre part, on a, pour la vitesse aréolaire du point M,

1^2— =-( ^-o^\' 2 dt i\ dt ^ dt )'

mais les deux premières équations d'Euler donnent

^ =(i— /)/i^-+-[j.sin6coscp, ^ =(/— i)/>/i— iisinesincp;

On a donc

W^--f =(/—^)'^(p^-^ Ç^)— (JisinO(/?siiicp -h q cos o)

= {/— i)nu^^ \i.^' sin» 0 = (/— i) /la» — \â.{k —fn cos 0) ,

48o RECUEIL d'exercices

OU, en remplaçant cosO par sa valeur (4),

(Ci bis) w2^ =- tll^t nu^-^ }i,(fnh — k).

Les équations (6) et (6 bis) montrent (217) que V est une lierpolhodie, dans l'acception générale du mot, et nous savons déterminer les éléments du mouvement de Poinsot correspondant; en particulier, l'identification

donne ■- pour la constante H des forces vives. Soit F le

cône à base de polhodie qui, dans le mouvement de Poinsot considéré, roulerait sur le cône (C) dont la base est V et qu'on devrait supposer immobile : F tournerait autour

de OM avec une vitesse égale à OM y/H ou à - •

Cherchons maintenant le lieu V| du point M dans l'espace. Soient Xi^ y\^ z^ ses coordonnées ; on a d'abord

(7) ^î -^y\ -\- z] r=z pi -\- ^2-+- ,.2^ n2-+-2{x(/i — cosO);

puis, z^ étant égal à la somme des projections de 0', o', ^' sur 0Z|,

^i= cp'cosô -+-^'= /cosO -^ -ysin^O = /{-\-(i—f)n ces 6. L'élimination de cosO entre cette équation et (7) donne

(i -/)n{xl +7? ^. ^2)^ 2 ,^5j = (^^^f)n{n^^ -f- 2 ji/i) -h 2 ^k.

La courbe V^ est donc située sur une sphère; on l'obtiendrait en faisant pivoter l'herpolhodie V autour de O de manière qu'elle roule sur la sphère, mais elle est compliquée et je ne l'étudierai pas. Arrêtons-nous au cas àef=z \ , l'ellipsoïde central au point O se réduisant à une sphère : Z\ est constamment égal à A", et V^ est contenue dans un plan horizontal IIi qui coupe OZj en un point fixe P< ;

soient P, M = W|, MP<M|,o = 1,. On a

si donc on se reporte à l'équation (6), si Ton y remplace u par sa valeur en w,, h par A, -^ -^— P — et / par i, on aura

(8) I /jxA:-.u/iAi-f-^

= — - Wf -f- . . . — {Jl2( /l — ^ /il )2.

Nous sommes conduits à chercher la vitesse aréolaire ; nous exprimerons, en suivant la méthode du n** 217 pour trouver Therpolhodie, qu'elle est égale à la somme des projections, sur le plan IIi, des vitesses aréolaires

\ I dr dq\ \ ( dp dr\ \ { dq dq\

\VTt-'-Tt)' -A'' wt - p Tt) ' lyp-di-'d-t)

traitées comme des aires contenues dans les pla»s OYZ, OZX, OXY; ces plans font avec Ui des angles dont les cosinus sont sinOsincp, sinOcoscp et cos8; les dérivées de /?, q, r sont données par les équations d'Euler, qui se simplifient beaucoup quand f=^ i , et Ton a

(9) "î ""^/^ — \Ln — \kk cos^ — - ku\ -\- \i.{n — khi).

Les équations (8) et (9) ont une forme caractéristique et V, est encore une herpolhodie; on trouvera, comme pour V, que le cône F' qui, dans le mouvement de Poinsot correspondant, roulerait sur le cône (Ci) doit tourner avec la

vitesse - autour de la génératrice OM. Ainsi le mouve-

De S.-G. — Rec. 3i

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Quand y a une valeur quelconque, imaginons un système

S' d'axes OX'Y'Z' se mouvant de manière que OZ' coïncide toujours avec OZ et que OX', OY' fassent avec OX, OY des angles égaux à (/ — \)nt. Les angles 8 et A qui servent à définir la position de S conviennent à S', mais l'angle (f doit être remplacé par ^ = ©-h(/ — i)nt; le mouvement de S' est déterminé par les équations (2), (3) et par l'équation

(1 his) <i>'-;- <j;'cos 0 =/n.

Si Ton pose y*/? = n\ on voit que ce mouvement est de même espèce que celui de S dans le cas de /= i ; quant au mouvement du solide tel que je le considère maintenant, il peut être défini en disant que S est animé d^ln mouvement de rotation uniforme par rapport à S' tandis que S' se meut suivant la loi de Jacobi. On peut montrer que le cône F qui est animé d'un mouvement de Poinsot dans l'espace absolu et relativement à S' possède aussi un mouvement de Poinsot relativement à S , ce qui établit le théorème de Jacobi dans le cas de y quelconque; mais, pour la démonstration de ce dernier point, je renverrai à la Note XVII de M. Darboux au Cours de Despeyrous,

220. Rechercher les couples capables de communiquer à un solide le mouvement résultant de deux mouvements de Poinsot associés.

Soit S un solide donné, mobile autour d'un point fixe O pour lequel l'ellipsoïde d'inertie est quelconque : nous allons chercher le couple R qu'il faudrait faire agir sur S pour que ce solide se meuve comme s'il était lié à un cône (C) qui aurait pour base une herpolhodie V, et qui roulerait sur un cône (C^) ayant pour base une autre herpolhodie Vi suivant une loi telle qu'un cône Payant pour directrice une polhodie U puisse être animé d'un mouvement de

Poinsot par rapport à (C) et par rapport à (Ci). Nous supposerons que R dépende seulement de la position de S et que Tun des axes principaux au point O soit perpendiculaire au plan II qui contient V.

Je dis d'abord qu'à une polhodie U correspondent toujours deux herpolhodies V, V, . Soit [x le mouvement de Poinsot caractérisé par U et V : à l'instant t, le cône F qui a pour directrice U est animé, autour d'une génératrice OM, d'une rotation dont les composantes/?', </', z*' suivant les axes de F sont liées au temps par des équations de la forme

, dp' lll) — a , , dq' O — A» , , dr' Ao — l(l> , ,

^'^ ii^—jr'i'^^ -dT-~-^-'p^ -d-t^-^—Q-p^'

Attribuons maintenant à F un mouvement [jl' tel qu'à l'instant t le cône tourne autour de OM avec une vitesse dont les composantes soient — />', — q' ^ — r' ; je dis que [x' est encore un mouvement de Poinsot. Il suffit, pour le démontrer, de trouver des quantités X' , lib', & telles qu'on ait

dt " x ^ ^ ^^ ^' •"'

or on reconnaît que ces équations sont compatibles avec les équations (i) si l'on a

A.' ift/ G'

Les rapports de al>', i)l>'. G' étant seuls déterminés, on peut choisir les valeurs absolues de manière que X'p'^ + . . . soit égal à Xp''^-\-. . . ; la polhodie dans le mouvement ^ sera symétrique de U et l'herpolhodie une courbe V; mais on peut évidemment leur substituer U et la courbe Vj, symétrique de V par rapport au point O, ce qui établit la proposition.

Nous (lirons que les mouvements [jl, ^' sont associés. Si, pendant que Y roule sur le cône fixe (C<) suivant les règles du mouvement (x', il entraîne le cône (C) qui lui correspond dans le mouvement (x, leur position relative étant constamment celle que prévoit la théorie de Poinsot, le mouvement du cône (C) résultera des mouvements [X, (x'; la rotation instantanée à l'époque t aura pour composantes — 2/?', — 2c/, — 2/^. L'angle POP| des perpendiculaires aux plans de V et de Y^ aura un cosinus de la forme

G G' ~ G G' "G Ty''

mais, 0) étant la vitesse de rotation de (C), on a

on en conclut, en éliminant p'^, q'^^, /'-, que cosPOPj est une fonction linéaire de w^.

Soient maintenant OX, OY, OZ les trois axes principaux de S au point O, le dernier coïncidant avec OP; A, B, C les moments principaux d'inertie;/?, ^, r les composantes de la rotation w suivant les axes principaux; nous choisirons les axes fixes de manière que 0Z| coïncide avec OP, et nous définirons la position de S à l'aide des angles 8, <p, ^j;. Par hypothèse, les projections de (o sur OZ et sur OZi sont constantes :

(i) r = /?, /'cos6 -4-/? sin6 sincp H- ^ sin6 coscp = A-.

Nous avons aussi vu que w^ doit être une fonction linéaire de cos9 et, comme r est constant, nous pourrons écrire

Si nous posons, pour abréger,

F = 4/ iD cosO -f-'2L— ^^ ^—jr — ^ ,

\ sin^O

486 lŒcuEiL d'exercices

les équations (i) et (2) nous donneront

k — h cos6 , p -- sino —-r h r COS9,

k — /? cos 0 -, .

et = cos es r—^ r sin 9.

D'autre part, si nous différentions les équations (i) et (2) en tenant compte des relations qui existent entre cp', ^'^ 8' et /?, gr, r, il se fait de grandes réductions et il reste

dr . dp dq

dt ' ' dt ' dt

P di'^'^'di^ DsinO(y sincp— y?coscp), d'où l'on tire

-;- = — D sin 6 cos o. — ,- — D sin6 sinco. dt ' dt

Cela posé, les équations d'Euler donnent immédiatement les moments des couples composants du couple cherché :

^ ^ \ sin 8 ^ ♦ / '

M = BD sinO sincp +(A — C)^( -^^ . ^ ^ sincp -4- F coscp ) ,

N =(B — A)f (D cose -f- E — F2)sin2o -+- F ^-^— ^-^ cosaccl . ^ ^ L^ ' ' sin 6 ' J

Si A, B, G sont égaux, le couple obtenu est de la même forme que celui qui agit dans le cas d'un solide pesant et ce couple détermine toujours un mouvement résultant de deux mouvements de Poinsot; quand A, B, G sont différents, un pareil mouvement ne se produit que si les conditions initiales sont choisies d'une manière convenable.

221. Soit S un cône droit , homogène , dont le sommet O est immobile et dont chaque élément m est attiré vers

un point fixe ¥ par une force égale au produit de mP par une constante w^ et par la masse de m \ la hauteur

OH de S est égale à a, le rayon de base àia^ OF à -=a\

enfin, à un instant donné, FOH est droit et S tourne

avec la vitesse {ù^Jt. autour de la bissectrice de cet angle. Déterminer le mouvement ultérieur du cône et la réaction du point fixe; montrer que V extrémité de V axe OM qui représente la rotation instantanée décrit dans le solide et dans V espace deux herpolhodies et chercher les quadriques correspondantes ; indiquer la position relative des cônes décrits par l'axe instantané.

(Agrégation, 1887).

Prenons trois axes fixes 0X|, OY,, 0Z| et trois axes mobiles avec le cône, OX, OY, OZ, 0Z| coïncidant avec OF, OZ avec OH : la position de S peut être définie par les angles 8, cp, ^,

On cherche d'abord les moments principaux d'inertie en O et l'on trouve aisément qu'ils sont égaux entre eux et au

produit de ^ a^ par la masse jjl de S. On sait d'ailleurs que

les attractions données ont une résultante R appliquée au centre de gravité G et représentée par [jlw^GF. Le couple provenant de la translation de cette force en O a son axe dirigé suivant l'intersection OU des plans OXY, OX^Yi et son moment est égal à

— [1102 GF.OGsinOGF = — [10)2 OG.OFsinGOF = — - {xa«w2 sine.

Nous pouvons obtenir les trois équations du mouvement en exprimant que les projections, sur OZ et sur OZ^, de l'axe du couple des quantités de mouvement sont constantes et en appliquant le théorème des forces vives : les constantes qui figurent dans les trois équations se déduisent aisément des conditions initiales et l'on trouve, après de

simples réductions,

do « (W

(gi) sin*0-T^ -f- /-cosô = o),

(3) -,-x -^ sin^O-T^ = wM- ^ojîcosO.

^ ^ éi/* dt^

De la seconde équation on tire, eu égard à la première,

d'h co

t/^ I -h cos 6

el, si l'on substitue cette valeur dans (3), on en déduit , , ^0* . cos6(2 -h cos6)

(^'> rfi? = -' ■:;t—'

cos* - 0

en posant sin - 0 = ^^, on aurait le temps au moj^en d'une intégrale elliptique de première espèce; mais l'équation (4) suffit pour montrer que 6 décroît depuis - jusquà

— ^ pour revenir à -, et ainsi de suite ; au contraire, i( aug-

mente constamment et sans limite. Sur une sphère décrite du point O comme centre avec a pour rayon, le point H aura une trajectoire formée en général d'une infinité de boucles qui toucheropt le grand cercle situé dans le plan OX^Yi et s'entrecouperont au point qui est sur la partie positive de OZi. L'équation (i) donne enfin

do 0) cos 6 (o d^ ^

dt I ^- cosO "" I H- cos 6 ~ dt'

on peut faire en sorte que ^ et ^ s'annulent pour ^ = o; ces deux angles resteront toujours égaux entre eux.

Les équations (i), (a), (3) auraient pu se déduire des équations de M. Resal et aussi, en se rappelant les rela-

lions qui en^istent enlre /;, q^ r et <p, tj^, 8, des équations d'Euler, lesquelles se réduisent à la forme suivante

(5) -7-= — (o^sinOcosQ, -/- = w' sin6 smco, -^=0. ^ ' dt '' dt '' dt

J'engage le lecteur à faire les calculs et je passe à la recherche de la réaction E exercée par le point fixe : sa projection sur un axe quelconque s'obtient en retranchant la projection de l'attraction R sur cet axe du produit de \x. par l'accélération du centre de gravité estimée suivant la même droite. On a, par exemple,

Ejr, = (A-^^ — Rx,, 071= -asinôsin»^, ...;

les équations (2), (4) et leurs dérivées feraient connaître les dérivées de 6 et de tj^ dont on aurait besoin. On aura plus vite les composantes de E suivant OX, OY, OZ si l'on se rappelle les formules de Rivais qui expriment les composantes de l'accélération d'un point lié invariablement au système OXYZ, soit, en appelant û la vitesse de rotation du cône,

^x = p{px -^ qy -^rz) — Û«a7-+- z -^ —y ^, . . ..

Remplaçons x^ y^ z par les coordonnées o, o, - a de G,

^' ^»^par leurs valeurs (5) et, après cela, faisons

<p = o : nous aurons les projections de l'accélération du centre de gravité sur OU, sur la droite OV perpendiculaire à OU dans le plan des xy, et sur OZ :

3 rfO