d'I \ Yj, ==: - ata sinO ( -7^ -i- w

Les composantes de l'attraction R sont

D n 8 , . A D ,/8cose 3\

K^=o, Rj,— ^ ixaio^sine, R5=fia(o2| — jj;

on a donc

„ 3 du 3 .i/^os^e -i-2C0se

t'a— I-IYm— Rm^ 7««*>:77 = -, (Xawî

,, fiw^asinO jtn-i-cosô „ 31.^

L^= — i- i — -- , E- — aa)*acos6.

20 I -r- cos6 10 '

Cherchons maintenant la ligne V décrite dans le solide par l'extrémité M de l'axe OM qui représente la rotation instantanée : les coordonnées relatives de M sont /?, q, /*; /• restant égale à w, V est située dans un plan II qui coupe orthogonalement OZ en un point fixe P à la distance w du point O. Faisons PM = «, MPMq = \ et vojons comment varient ces coordonnées : on a d'abord

u"- = p^ -\- q^ =^ — +sin«6-j^ = wî(i -f-2COs6), (0) cosO — ; —

Différenlions la valeur de u- et reportons-nous à l'équation (4); nous aurons

(lut ^92

11^ -7-^ = tu* sin^O j-y ^ 2w6(i ces 6) ces 6(2 -t-cos6)

ou, en mettant pour cos8 sa valeur (6),

^"^ ''^~dt^ '-" -(3tu2-a2)(a2(0Î)(3tu'-4-w2).

La forme connue de cette équation nous conduit à calculer la vitesse aréolaire du point M : les équations d'Euler (5) nous donnent

riq dp „ • a / .

^~di~^^~di ==^ sinO(y?sino-ht7coscp)

OU, ce qui revient au mêiiii;,

u^ -r = co* sin*0 -,- — a>*(i — cosO), dt dt ^ ^'

et, en mettant pour cosO sa valeur (6),

dt K

Les équations (7) et (8) ont une forme caractéristique: le point M décrit une herpolhodie et, en identifiant ces t'*quations aux équations (5) et (3) du n"î217,nous aurons les éléments du mouvement de Poinsol correspondant. On trouve d'abord, en égalant les coefficients de lâ dans les

^^aleurs de -j-^i H = -; puis, par les valeurs de u- -^> , H oj . T i I 3

Enfin, si 'J désigne l'une des valeurs de u- qui annulent

du ^ . |,

-^ et SI 1 on pose

- sera égal au carré d'un demi-axe de la quadrique qui roule sur le plan fixe II; aux valeurs w^, 3(0-^, — 3(0^ de u correspondent pour- les valeurs — 2 0)2, o, 2W^. La quadrique cherchée est un hyperboloïde à deux nappes infiniment aplati et la polliodie sera un arc de Tliyperbole équilatère z- — x-— ao)-.

L'iierpolhodic V est comprise entre deux cercles qui

ont P pour centre, w et o) y/3 pour rayons; elle touche |e premier tandis qu'elle rencontre le second à angle droit et, en ces points de rencontre, elle présente un rebroussement. Lorsqu'une courbe plane pivote autour d'un point

4g2 RFxuEiL d'exercices

situé dans son plan, pour rouler sur un plan fixe, on re —

connaît sans peine, en se servant de l'expression — j— d^,

rajon de courbure, que ce rayon, en un point de la courl::^^ de contact, est égal à celui de la roulante au point corr^ ç. pondant, multiplié par le cosinus de Fangle que son pi ^iu fait avec le plan fixe. Il résulte de là que V n'a aucun po xnt d'inflexion ; cette courbe ressemble à une hypocycloïd^ , Le rayon vecteur PM tourne constamment dans le secs

positif; sa longueur croît depuis a> jusqu'à a)y/3, pour revenir à co et ainsi de suite. OM varie entre wy/âet 2W, ce qui limite l'arc d'hyperbole qui joue le rôle de polhodie. Quand OM est égal à 2(0, 0 est nul et le plan de l'hyperbole perpendiculaire au plan II.

Dans l'espace, les coordonnées du point M sont respec-

livement égales a la somme des projections de ->-> -17^ -Ti

surOX^, OY^, OZ, :

' ' dt ^ dt

qi - sini); -z sinO cos^ -^ >

d^'i ft d'^

Nous avons dit que les angles oeii^ sont toujours égaux; cela posé, il suffit de se reporter aux formules (2) du 11» 214 pour voir qu'on a constamment

il en résulte que le lieu du point M dans l'espace est une lierpolliodie Yi égale à V, mais décrite en sens contraire, Ou peut donner au solide S le mouvement qu'il prend réellement en le liant à un cône qui a le point O pour sommet, V pour base, et on faisant roulei ce cône sur un cône

fî:xe ayant Vi pour base. Ces deux cônes sont à chaque instant symétriques par rapport à leur plan tangent commun : ils coïncident momentanément quand la génératrice commune passe par un point de rebroussement de V et deV,.

Mouvement quelconque d'un solide.

222. On cherche d'abord le mouvement du centre de gravité, puis le mouvement relatif à des axes de direction constante dont Torigine coïncide avec ce centre; ce mouvement s'obtiendra comme celui d'un solide autour d'un point fixe, et en ne tenant compte que des forctss extérieures, parce que les forces apparentes disparaissent. Veut-on, par exemple, connaître le mouvement d'un solide pesant, abandonné dans l'espace, et dont les molécules soient attirées vers un centre fixe proportionnellement à la distance (Paris, 1867): les attractions et la pesanteur ont une résultante unique appliquée au centre de gravité; rien de plus facile que de reconnaître que ce centre décrit alors une ellipse; quant au solide, il tourne autour de son centre de gravité comme autour d'un point fixe quand il n'y a pas de forces extérieures ; ce mouvement relatif s'effectue donc suivant les lois données par Poinsot.

223. Mouvement d'un cylindre pesant homogène, abandonné sans vitesse initiale sur un plan incliné dépoli, de manière que ses génératrices restent toujours horizontales ; on tient compte de la résistance au roulement.

On peut réduire le cylindre à sa section médiane, par rapport à laquelle tout est symétrique; les réactions du plan pourront être remplacées par une force dont la composante normale est N, et la composante tangentielle H, dirigée dans le sens montant. La résistance au roulement

se traduit par ce fait que la réaction N s'exerce à une pi tite distance 8 en avant du point de contact géomëtriqi^^g et qu'elle a, par rapport à l'axe du cylindre, un mom^^jji — No, en vertu duquel elle tend à diminuer la vitesse j. rotation. Soient i l'angle du plan avec l'horizon, rr^^ j masse du cylindre, a son rayon, /= tang'f le coeffici. ^^^ de frottement, x la longueur parcourue parallèlement ^^ plan par le centre de gravité, 8 l'angle dont le cylind^f e h tourné autour de son axe, cette rotation constituant k mouvement relatif^ on a l'équation du mouvement da centre de gravité et celle du mouvement autour de Taxe;

— — rne sin i — H, - ma'^ -r- = H n — No.

dt^ ° ' 1 dt^

D'ailleurs, N est égal à mgcosi^ puisque le centre de gravité ne se déplace pas dans le sens de la normale au plan. Pour qu'il y ait roulement, il faut à la fois

(i) 772^ sin t> H, aH > No > m^o cosi.

Comme la limite extrême de II est fmg cosi^ pour que la seconde inégalité puisse avoir lieu, il faut y>> -> ce qui

est le cas ordinaire dans la pratique. Quand /< -> il n^

peut naître de mouvement de rotation ; si alors tang/</) le centre de gravité restera lui-même en repos; si tangi>/) on aura un glissement simple

-— ^=^(sini — /cosi), a: — - ^(sini— /cosi)^2, 0=o.