CC'C

Soit maintenant/^ - : pour que les deux inégalités (i)

puissent être satisfaites, il faut tangi >> -; sinon il y a encore arrêt; au contraire, si cette inégalité est vérifiée,

11 peut y avoir roulement simple ou roulement compliqué ie glissement. Pour qu'il j ait roulement simple, il faut qu'on ait

dx d^ d^ ^

on peut alors déduire des équations du mouvement

Mais H doit êire <C.fmgcosi : il faut donc

tangi< Zf — i-\

si cela a lieu, le centre du cylindre prend un mouvement uniformément accéléré, raccéléralion étant réduite à peu près dans le rapport de 2 à 3, parce qu'une partie de la pesanteur sert à accélérer le mouvement de rotation.

Quand tangt sera supérieur à Zf — 2 -> H sera égal à sa

limite /mgcost^ et Ton aura roulement avec glissement:

d^x "dt

X rf^G / 0 \

- = ^(sint— /cosi), et— = ^cosilf— -j;

il est remarquable que le mouvement du centre de gravilé soit indépendant de S dès qu'il y a glissement.

224. Déterminer le mouvement dUine sphère homogène, posée sur un plan horizontal assez rugueux pour empêcher tout glissement ; les molécules de la sphère sont attirées vers un point O du plan avec une force proportionnelle à la distance ; on néglige la résistance au roulement, (Question de Licence généralisée.)

Je prends le point O pour origine, le plan donné pour plan des xy^ une verticale pour axe des ^; soient x^y^ a

les coordonnées du centre S de la sphère, m sa niasse; attractions de O sur les divers points de la sphère ont résultante appliquée en S, et dont les projections sur axes sont — [x^mo:, — [x^/ny, — [x^ma. Au point de c:^ ^ tact C de la sphère et du plan, la sphère éprouve une r^^^^ tion dont les composantes sont X, Y, Z; on a, poix>.y^ mouvement du centre de gravité,

'di

o -.- niff -•- m[jL'rt — Z.

Pour étudier le mouvement autour de S, on pourra mener par ce point des axes ScTi, Sj'i, Ssi parallèles aux axes fixes, sans être obligé de prendre des axes liés au corps mobile; cela tient à ce que toute droite passant au centre d'une sphère est axe principal, et le moment d'inertie correspondant invariable. Soient/), gr, ries composantes de la rotation autourdeSjrj,Sj'«,S.3i : X, Ysontles seules forces dont le moment ne soit pas nul, et le théorème sur les moments des quantités de mouvement donne trois nouvelles équations :

/ \ 2 - c//> 1 dq ^ dr

(2) ■ ma*-f-=aY, - ma* -7^ — — aX, -7- = o. ^ ^ "} dt > dt ' dt

Il faut encore deux équations pour pouvoir déterminer nos inconnues a', r, X, Y, Z, p^, q^ r] on les obtient en écrivant que la vitesse du point C est nulle; ses projections sur OX et OY sont les sommes des projections de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative par rapport au système Sx^Y\^\ ; on a donc

, .y , dx dv

Ces équations permellent de remplacer les deux premières du système (2) par les suivantes :

éliminant X et Y entre ces équations et les deux premières du groupe (1), on a

Ce système connu montre que le point S, ainsi que le point C, décrit une ellipse dont le centre estsur OZ5 comptons le temps à partir du passage à l'un des sommets, et supposons qu'on ait alors ^ = o, ^ = c, (^ = A : les intégrales du mpuvement seront

X ^ c cos

^'v/7-' ^=ïs/V^^'\A-

Les équations (3) donnent ensuite

quant à /*, c'est une constante. Il résulte de ces formules que, si Ton mène par l'origine une droite qui, à chaque instant, représente en grandeur et en direction l'axe de la rotation instantanée, le lieu des extrémités de cette droite sera une ellipse horizontale.

Les équations (4) et (5) nous donnent les composantes horizontales de la réaction du plan

La résultante de ces deux forces est dirigée suivant OC et égale à - [ji^mOC; pour que le mouvement ait lieu sans

De S.-G. — Rec, 82

glissement, comme on l'a supposé, il faut qu'elle soit inférieure à Z multiplié par le coefficient de frottement :

Si l'inégalité n'est pas toujours vérifiée, il y a glissement, et le problème devient plus compliqué.

225. Mouvement d'une sphère homogène y posée sur un plan horizontal dépoli, qui tourne uniformément autour d\ine verticale, (Walton.)

Prenons pour axe des z l'axe de rotation, et pour axes des X et desy deux droites rectangulaires, fixes dans l'espace, et passant par le point où OZ perce le plan. Le problème est analogue au précédent, si ce n'est qu^ [x est nul, et que la vitesse de C, au lieu d'être nulle, est égale à celle du point du plan qui coïncide avec lui. Le système (3) sera remplacé par le suivant :

dicc d'y

Le système (5), donné par l'élimination de p, q, X, Y, devient

d^x dy d^Y dx

Intégrant,

dx , dy ,

7^ H-2wj^::=7a7o-+-2W7o, 7^j — 2a)a? = 77o— awiCo.

Posons y^y^—l'^^.y,^ x — x^-\-\^ = y ,, ce

qui revient à transporter l'origine en un point connu A: on aura

dxi dyx

L'Intégration de ces équations ou leur interprétation géométrique prouve que le point C décrit un cercle dont le

centre est en A, avec une vitesse angulaire -co; sa trajectoire apparente sur le plan sera épicycloïdale ; X et Y ont une résultante constamment dirigée vers A et de grandeur Invariable.

Forces instantanées.

226. On appelle force instantanée une force très grande F qui agit pendant un temps excessivement court 6, mais

dont rimpulsion / F dt est finie; c'est cet élément qu'on

introduit dans le calcul sous le nom de percussion et qu'on peut représenter par un segment rectiligne dont la direction est celle de F. Quand on cherche Teffet de forces instantanées sur un système matériel, on regarde leurs directions comme constantes et l'on néglige, pendant le temps très court où se produit la percussion, les déplacements des points du système et l'action des forces ordinaires. La projection, sur un axe, de la quantité de mouvement communiquée au système est égale à là somme des projections des percussions, et son moment par rapport à un axe est égal à la somme des moments des, percussions.

Quand le système est un solide S de masse M, le centre de gravité O acquiert une vitesse égale à la résultante des percussions divisée par M; en même temps, S reçoit un mouvement de rotation dont l'axe est dirigé suivant le diamètre 01 de l'ellipsoïde central conjugué au plan du couple résultant de la translation des percussions au point O; la vitesse de la rotation est égale à la projection de l'axe du couple sur 01 divisée par le moment d'inertie autour de OL Le mouvement résultant pour S est en général un mouvement hélicoïdal; si la translation acquise est perpendiculaire sur 01, le mouvement acquis est une

5oO RFXUEIL d'exercices

Simple rotation autour d'une parallèle à Of, laquelle est axe principal d'inertie au pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur sa direction.

227. Une barre homogène OA, de masse m, de Ion-gueur 2a, peut tourner sur un plan horizontal autour de son extrémité O, qui est fixe; en A est articulée une barre égale AB, qui se meut aussi sans frottement sur le plan' horizontal. Les deux barres étant primitivement en ligne droite et en repos, on applique, en un point S de AB, une percussion perpendiculaire P : déterminer le mouvement initial des deux barres et les réactions qui se produisent en O et en A au moment du choc.

Soient OX la droite qui coïncide d'abord avec OAB, s la distance AS, a, p les vitesses angulaires de OA et de AB après le choc; le moment de la percussion par rapport à O est égal à la somme des moments des quantités de mouvement des deux barres. Pour calculer la partie de cette somme fournie par AB, je remarque que son centre de gravité a pour vitesse 2aa-f-aP; le moment de la quantité de mouvement, en y supposant la masse concentrée, est 3 ma (2 a CL -\- a ^); il (aui y ajouter la somme correspondant au mouvement relatif autour de ce centre, -^ma^ p. Ontj

(i) |ma2a-i-3/na2(2a-f-p)4- -ma^'^ = P{ia-T-s).

La somme des moments des quantités de mouvement de AB par rapport à A est égale au moment de la percussion P, car la réaction de OA en A a un moment nul :

(2) ma2(2a-h P) -h Ima^-^ = Ps.

Les équations (i) et (2) donnent les vitesses angulaires

SUR LA. MÉCANIQUE RATIONNELLE. 5oi

initiales

Rien de plus facile que de discuter ces formules. Par exemple, pour que a et ^ soient égaux ou que les barres

restent d'abord en ligne droite, il faut 5 = —a, La percussion Q, que AB reçoit en A par suite de sa liaison avec OA, s'obtient en exprimant la vitesse acquise parle centre de gravité de AB :

(2a-r-3)a= -^, Q — ^P=— -maa.

La percussion R, que reçoit O, se déduit de la vitesse du centre de gravité de OA :

a%— (Q-4-R), R=— -/naa=-Q.

Pour avoir le mouvement ultérieur du système, on exprime que la force vive et la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à O restent constantes ; 9 étant l'angle AOX, h le supplément de l'angle OAB, on trouve, après des calculs assez simples,

d^ 7(3— a)2 — 12(4 g^ -4-3 a3-^-^^)(i—costi;) dt^ i6 — 9Cos2t}/

û?ô iia-+-5p — (2-4-3 cosi);)^);^ dt 2(5 -h 3 cost}/)

La discussion générale du mouvement est compliquée. Quand a est égal à P, on voit que ^ doit rester constamment nul et que 9 croît proportionnellement au temps.

228. Une barre très mince se meut sur un plan horizontal parfaitement poli; le centre instantané de rotation coïncide avec Vun de ses points, A, lorsqu elle ren-

5o2 RECUEIL d'exercices

contre un obstacle fixe M; déterminer la grandeur de la percussion et le mouvement ultérieur de la barre,

(Agrégation, 1872.)

Soient v^ ^ les vitesses du centre de gravité O avant et après le choc; co, co' les vitesses de rotation correspondantes ; /nR2 le moment d'inertie autour de O ; :c l'abscisse OM, comptée positivement à droite du point O, — a Tabscisse du point A ; v est perpendiculaire à la barre et égale à ao). Après le choc, en supposant la barre dépourvue d'élasticité, M reste momentanément en repos et est centre instantané de rotation ; v^ est perpendiculaire sur AO et égale à — cu'jc. Le moment de la quantité de mouvement par rapport à M est constant :

(0 d'où

— mvx H- mYJ'ixi = — mv' x -h mK'o)', mto(K'— ax) = /?i(o'(K*-h^*);

, K*— ax , vx{ax — K*) 0) = w, t^ = — 1

Soit B le point conjugué de A, à droite de O, et tel que OA X OB = K^ ; quand M est à droite de B, co' est de sens^ contraire à o), v' de même signe que v] quand M est entr^ O et B, Cl)' est de même signe que co, v' de signe contraire

à i^; il j a une sorte de réflexion. En discutant la \aleuT:' de v' ^ on trouve qu'elle est maximum ou minimum, égale

k \a± \/a- ■+ K^) — pour^r = — a± y/a^4- K^. La gran-

deur de la percussion reçue par l'obstacle est mesurée par la variation de la quantité de mouvement de la barre projetée sur une perpendiculaire,

K^mç(x-ha) ^ ^ 372 -h K2

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 5o3

Elle atteint un maximum - mw (a + y/a^ -| K^j pour

Si l'on avait supposé la barre parfaitement élastique, il aurait fallu adjoindre à l'équation (i) la condition que la force vive reste constante :

et l'on aurait pu calculer v^ et co', qui, dans les deux cas, restent invariables après le choc.

229. Etant donné un système en équilibre grâce à certaines liaisons, on suppose que quelques-unes de ces liaisons viennent à être détruites instantanément, et l'on propose de calculer les réactions qui représentent les liaisons restantes aussitôt après la rupture de V équilibre.

Ces questions se rattachent aux forces instantanées. M. W. Besant en a traité plusieurs dans le tome IV du Journal de Cambtidge; il prend les équations du mouvement du système aussitôt après la rupture des liaisons, en y négligeant les termes de l'ordre du carré des vitesses; ainsi, pour le mouvement dans un plan, on réduit les composantes de l'accélération suivant le rayon vecteur et sa

normale a ,. et a r-,— ; on traite comme nulle lacceléat^ at^

ration centripète, etc.

Considérons une planche elliptique dont le plan est vertical et dont les foyers, situés à la même hauteur, sont soutenus par deux chevilles ; on en retire une, et l'on demande la pression P supportée par l'autre immédiatement après. Soit (0 la vitesse angulaire du disque après un temps très court; l'accélération du centre peut être regardée comme simplement tangentielle et dirigée vers le bas;

dv doi .

dt dt *

Prenons le moment de la quantité de mouvement autour du point fixe :

dt k dt*

éliminant -r-> nous aurons dt

P = -— r mg.

Elle est inférieure ou supérieure à la charge d'équilibre mg^ selon que ^^ < 7 •

Soit encore un fil dont les extrémités A et D sont fixes, et qui porte deux masses m, m! attachées en B et C, de manière que BC soit horizontal; on coupe la partie CD, et l'on demande les tensions initiales T, ï' des cordons AB et BG. Le point B décrit un arc de cercle normal à AB; on peut regarder d'abord son accélération suivant AB comme nulle, et Taccéléralion totale y comme perpendiculaire à ce rayon. Si donc 8 est l'angle de AB avec la verticale, on a

T — T'sinO — m^cosO = o, m y — m^sinO — T'cosS.

L'accélération relative de C par rapport à B est tout entière perpendiculaire à CB; son accélération totale, qui est la résultante de la précédente et de l'accélération de B, aura vcosO pour projection sur CB; T'= m'y cos8. On tire de cette relation et des deux premières

rp m{m -r- m')g cos^ , mm'ff sinB cos6 m -h m' cos*ô ' ~ 1)1 -- m'cos"^b '

la vitesse initiale de C sera dirigée suivant la résultante de T' et de m' g.

230. Un parallélépipède rectangle homogène S, dont la masse est égale à 3, les arêtes à ia^ 4^7 8a, peut se mouvoir librement, mais il est soustrait à l'action de toute force extérieure et d'abord en repos : une sphère S, de masse i, animée d^une vitesse de translation U parallèle aux arêtes moyennes de S, vient choquer en M une face F perpendiculaire à ces arêtes. Trouver le mouvement que prennent, aussitôt après le choc, S e^ S supposés parfaitement élastiques : mouvement ultérieur de S quand M coïncide avec un sommet de F.

(Agrégation, 1886.)

Par le centre de S avant le choc menons trois axes, OX parallèle aux petites arêtes, OY aux arêtes moyennes, OZ aux grandes arêtes. Les déplacements des deux solides pendant le choc étant négligeables, F doit être considérée comme restant normale à OY et les forces élastiques qui agissent sur S ne changeront point la direction de sa vitesse, mais après le choc la grandeur de cette vitesse deviendra u\ le centre de gravité du parallélépipède prendra une vitesse v aussi parallèle à OY, tandis que S lui-même sera animé d'une rotation dont les composantes suivant OX, OY, OZ seront P, Q, R.

OX, OY, OZ sont les axes principaux de S en O et les moments d'inertie correspondants sont 20a'-, l'ja^, 5a-; Soient x^ — 2a cl z les coordonnées du point M.

Pour déterminer les cinq inconnues propres à définir le nouvement après le choc, exprimons que ce phénomène l'altère ni la somme des projections des quantités de mouvement sur OY, ni la somme de leurs moments par "apport à OX, OY, OZ, ni la force vive :

loa^r — uz = — U^, i7a*Q=o, 5a*R-h wa; = Ux,

5o6 RECUEIL d'exercices

Des quatre premières équations on tire

Substituant ces valeurs dans la cinquième équation, on peut tout diviser par U — u et Ton trouve

8oa2 4- 12 372+ 3^2'

de cette valeur, on déduit immédiatement celles de m, (», P, R et il est facile de les discuter. Dans le cas particulier proposé, faisons x ^^a, z = — 4<^ ^t nous aurons

7 7 3aa 35a

la quantité de mouvement de la sphère diminue de — ;

c'est la mesure de la percussion.

Le mouvement initial de S résulte d'un mouvement de