TT

translation parallèle à U et d'une rotation co = ,^ au-

tour de la bissectrice de ZOX; la force vive H est égale à — a^(o'^ et l'axe G du couple résultant des quantités de

mouvement à a^co 1/ — ; il est dans le plan OXZ et fait

avec OZ un angle ^ dont la tangente est 4» Le mouvement ultérieur de S est celui d'un solide abandonné à luimême : le centre de gravité O possède un mouvement rectiligne et uniforme et S prend autour de ce centre un mouvement de Poinsot. Menons par ce point trois axes de direction constante, OZ^ parallèle à l'axe G, OX^ parallèle à la direction primitive de OY, 0Y« perpendiculaire aux deux autres; désignons par OX', OY', OZMes axes principaux d'abord confondus avec OX, OY, OZ et par

p^ y, /• les composantes de la rotation suivant OX', OY', OZ'. On aura, en passant en revue les formules du mouvement de Poinsot,

20/?* -i- 1 7 gr2 -+- 5 /«s = , 400/?^ -;- 289 ^2 | 25 r2 = ,

dq __ -i'ipr dt ~ \^

On est dans le cas particulier de BH — G^ = o et si Ton

pose, pour abréger, [jl r^ -^=j on aura

Les formules propres à déterminer les trois angles d'Euler sont bien connues et deviennent ici

costJ = — , tango —

L'intégration de cette différentielle n'est pas bien difficile et donne

^ :- S [Lt -\- arc tanfî -: : , •

Les composantes /> et r sont toujours égales et tendent vers zéro ; l'axe instantané est toujours dans le plan bissecteur des plans OY'Z', OX'Y' et tend à se confondre

ivec OY'^ 6 part de Ç pour arriver à - et cp varie de — ^

\ zéro 5 donc OZ' et OX' se rapprochent indéfiniment du

plan OXjYj et OY^ de OZ^ ; ^ croît indéfiniment et ^

tend vers 5 [jl ; le mouvement de S se rapprochera de plus en plus d'une rotation uniforme autour de OZ, qui tend à coïncider avec l'axe moyen; c'est le mouvement qu'on ob-

5o8 RECUEIL d'exercices

tiendrait en faisant rouler le plan qui contient la polhodie sur le cône qui a pour base Therpolliodie et qui admet 0Z| comme génératrice asymptote.

1. Un secteur sphérique à une base, de densité e, a son demiangle au sommet égal à 6 : moments d'inertie principaux au centre de la sphère.

^ •?. — 3 cos6 H- cos^ô ^-4 ~ 3 cos6 — cos^Q aiteR^ , tteR^ •

^. Une lentille homogène, d'épaisseur ia^ de diamètre 26, est limitée par deux calottes sphériques égales : calculer les rayons principaux de gyration au centre. (W. Walton.)

io(a-^ -4-3^^2^ ' 2o(a2-h3ô2)

3. Un pendule est formé d'une tige rigide, de masse négligeable, dont un point 0 est le point de suspension, et de deux sphères : l'une, de rayon a, a son centre à une distance donnée c du point 0; l'autre, de rayon 6, a son centre à une distance inconnue ardu point fixe. Déterminer x de manière à rendre minima la longueur

du pendule synchrone, les deux sphères ayant la même densité.

^h^ x'^ -\- 10 a^ c X — ^à^c'^ — icv' — 26^ = o.

4. Déterminer, en partant des formules d'Euler, le mouvement d'une tige très mince dont un point est fixe; retrouver les résultats connus relatifs au pendule conique.

o. Mouvement d'une sphère pesante et homogène à l'intérieur d'un cylindre droit dont les génératrices sont horizontales et la surface dépolie, en négligeant la résistance au roulement et supposant que la sphère parte du repos. Soient a, R les rayons de la sphère et du cylindre, a l'inclinaison du plan tangent commun au

point de départ : si tanga < ^ /, il y a roulement et le centre fc

meut comme un pendule de rayon 7 — - — ; sinon, la sphère glisse

et le centre se meut comme un point sur uril cercle dépoli.

SUR LA. MÉCANIQUE RATIONNELLE. Sog

6. Détermmer.le mouvement d'un treuil horizontal soumis à l'action de deux poids P, P', en tenant compte du frottement des tourillons, mais négligeant le poids et la roideur des cordes.

R, R' rayons des roues sur lesquelles agissent les cordes portant P et P', p rayon des tourillons, p poids du treuil, k son rayon de gyration autour de l'axe, <p angle de frottement :

PR'-4-P^R^«-f-/?A-'-+-(P^R^— PR)psin(p djx^

g dt

== PR — P' R' — (P -i- P' -t-/?) p sin cp.

7. Un cube homogène, soustrait à l'action de toute force extérieure et d'abord en repos, peut tourner autour de son sommet 0 qui est fixe : une sphère S, animée d'une vitesse u perpendiculaire à l'une des faces qui se coupent en 0, vient choquer cette face en son milieu G. Trouver le mouvement que vont prendre les deux corps, supposés parfaitement élastiques. (Caen, i883.)

Soient M et m les masses du cube et de S, ia l'une des arêtes :

, , , , , , . ^mu\pi après le choc, le cube tourne avec la vitesse ,-; .-, autour

d'une droite menée perpendiculairement à OC dans la face choquée; c'est un axe permanent de rotation. S prend la vitesse 6/n — iiM 6/n H- II M

8. Un solide homogène S, de masse i, est limité par une surface de révolution autour d'un axe OM : le point O est fixe et, seul parmi tous les points de S, M est sollicité par une force extérieure; cette force, perpendiculaire à une droite donnée OZ, tend

à en éloigner le point M et a pour valeur "=— fïTTTy^ les moments

d'inertie de S autour de OP et d'une perpendiculaire passant en O

sont égaux à OM et à 3 0M . Trouver le mouvement du point M sachant qu'à l'instant initial MOZ est égal à 6o% M en repos et S animé d'une vitesse angulaire 20) autour de OM. (Caen, i885.)

Les angles 6 et i}' d'Euler peuvent définir la position de M et l'on a

. I iùt sfi cosO = - cos — - — i

2 îj; = v/3 arc tang f 4/| tang ^^^-y— ] — arc tang f v/'^ tang

5lO RECUEIL d'exercices

9. Une barre homogène et très mince AB est. en repos sur un plan horizontal poli, lorsqu'une petite sphère, parfaitement élastique, animée d'une vitesse a, perpendiculaire sur AB, vient la choquer à une distance x de son milieu G. Mouvement du système après le choc. (Gacn, 1880.)

m et M étant les masses de la sphère et de la barre, AB = 2a, la sphère et le point G auront, dans la direction de m, les vitesses constantes v^ V, et AB tournera autour de G avec la vitesse w :

arn^r* — (M-i-m)a* imà^u 3V^

^"^ 3ma72-h(MH-m)a2'^' "" 3/na72-h(M-hm)a2' ^~~^"

10. Déterminer le mouvement que peut prendre sur un plan horizontal une plaque mince dont chaque élément dm est attiré vers une droite OX du plan par une force égale au produit de X* dm par la distance de l'élément à OX. (Paris, 1886.)

Les coordonnées du. centre de gravité G seront de la forme

xy:=at-^b^ j^i =/? cosX^ -i- y sinX#;

soient A, B les moments d'inertie de la plaque autour des axes principaux menés par G dans son plan, 6 l'angle du premier de ces axes avec OX :

(A-+-B)^ =— X2/7(jc— ri)6/m=X2(A — B)sinÔcose.

11. Mouvement d'une sphère homogène qui glisse sur un plan horizontal dépoli. (Goriolis, Théorie mathématique du jeu de billard.)

On se reportera au n° 224 et à ses notations : X, Y sont les composantes de la force de frottement fmg\ leur rapport est

doc dv

égal à celui de -7 aq k -^ ^ ap et l'on trouvera qu'il est constant; X et Y le sont eux-mêmes et le centre de la sphère décrit une parabole jusqu'à ce qu'il n'y ait plus qu'un roulement simple.

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 5ll