EQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE
Principes des travaux virtuels.
231. Nous allons étudier très rapidement certaines équations générales auxquelles les géomètres ont ramené la résolution de tous les problèmes de Mécanique ; c'est une méthode moins directe que Temploi des considérations mécaniques proprement dites, mais elle est remarquable par sa généralité et sa puissance. On peut dire que toute la Statique est comprise dans le principe des travaux virtuels, énoncé par Bernoulli : dans un système en équilibre, la somme des travaux des forces qui y sont appliquées est nulle pour tout déplacement virtuel des points du système, compatible avec les liaisons. Toutefois, lorsque quelques points du système sont simplement posés sur des surfaces, et qu'on leur donne un déplacement virtuel du côté où ils sont libres, la somme des travaux virtuels devient négative. On emploie indifféremment dans cet énoncé les mots de travail virtuel, moment virtuel, vitesse virtuelle.
Soient 8^, S)/", hz les projections rectangulaires du déplacement virtuel infiniment petit donné à l'un des points du système ; X, Y, Z les composantes de la force qui sollicite ce point : on a
(i) 2(Xûa7-i-Yoj^-t-Zo^) = o,
la somme s'étendant aux n points qui forment le système donné et 8x, 8^, 8^ étant tels que les liaisons soient respectées.
)ia RECUEIL dV.xercices
Quand celles-ci s'expriment par des équations
Fi(a:,>', <5, arj, ...; = o, F, ^ o, F^- = o,
on a, i prenant toutes les valeurs depuis i jusqu'à kj
. ^ d¥i^ dlF/. d¥i^ dVi^
^ ' ôx dy -^ Oz éxi
On peut tirer de là A* variations en fonction des autres, et, les substituant dans (i), on égale à zéro les coefficients de celles qui restent, en nombre 3/i — A*. Il revient au même d'ajouter à (1) les équations (2) multipliées respectivement par des indéterminées ).,, X2, . . ., et d'annulei les coefficients de toutes les variations ; on a le méra( résultat que si on rendait tous les points libres en appli — . quant au point x, y, :;, par exemple, A' forces dont le;^^^
composantes soient de la forme ^^/ -r-^> ^''T^' ^'' T^'
Quand la position du système est déterminée par d— ^^^ variables Çt^ q2, . . . , ^/rj on peut transformer (1) en foi^ ^. tion de ces variables, et annuler le coefficient de chaq^ ^^ variation indépendante. Enfin, en donnant des déplaci^?menls virtuels convenablement choisis, on peut ohienir des équations particulières d'équilibre contenues daxïs Téquation (1), et faciles à former.
232. Position d^ équilibre d^ un point M placé sur un plan incliné P, et attiré vers un point O proportionnellement à la distance ; pression sur le plan.
Prenons O pour origine, avec un axe des z vertical; soit Téquation du plan P
X cos 7.-\- z sin a — /> =^ o ;
l'équation des travaux virtuels est évidemment
— \l'^x}x — \x^y Zy — {]x-z --■ mg) oz = o.
J'ajoute )»( cos a Sa: -h sin a 0^) au premier membre, etj'a
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 5l3
nule le coefficient de chaque variation :
— [x* 57 -4- X cos a = o, [l'y = o, — (jl^ 2 — mg -h X sin a = o.
Ces équations avec celle de P donnent les coordonnées de la position d'équilibre et la valeur X de la pression , qui est normale au plan,
. . . Xcosa Xsina — ms" l = iL^p-hmg sina; x= , 7 = 0, z = — ^.
233. Une tige AB de poids P repose sur une cheville horizontale C et s'appuie par son extrémité inférieure A contre un mur vertical; il n'y a pas de frottements. Déterminer la position d'équilibre et les réactions.
On connaît la distance OC = c de la cheville au mur, et la distance AM = a du centre de gravité de la barre à son extrémité inférieure ; il s'agit de trouver l'angle 0 de AB avec la verticale. Le plan vertical qui contient la lige doit être perpendiculaire au mur : faisons remonter A le long de ce mur; la seule force qui donne un travail virtuel est la pesanteur qui agit en M ; la hauteur de M au-dessus de OC, acosO — ccotO, ne doit pas changer ;
— asinO = 0, sinQ = 4 / — •
sin^e
Pour avoir la réaction R de la cheville, supprimons cet appui, introduisons la force R et faisons tourner AB de 89 autour de A ;
aP sinÔ 8e - -5^ 80 = o, R = — sin»0 = P i/- = -i^.
sin0 c y c sinO
La réaction N du mur s'obtient à l'aide d'une translation virtuelle horizontale ;
N Sa? — R cosO 8jf = o, N = R cosO = P cot6.
