Trois points A, B, C, assujettis à rester sur un

De S.-G. — Rec. 33

5l4 RECUEIL d'exercices

cercle, se repoussent avec une intensité proportionnelle à la distance : positions d^ équilibre.

Soient a, p, y les trois masses, R le rajon ; on a

BC = aRsinA;

pour une variation SBC, le travail virtuel des forces exercées , par les masses B et C Tune sur l'autre sera

a/PyRsinA x o(2RsinA) = a/R'^Ysin^A oA;

l'équation du travail est, en divisant par ayn^a^y?

(i) ôA H 5 — oB H ôG = o;

mais A -H B -h C = ?:, 3G = SA + oB ; donc

sinsA __ sin^B __ sinaC

2 A + 2B+2C=27:; construisons un triangle dont leî côtés soient a, p, y : ses angles seront les suppléments de 2 A, 2B, 2C; mais cette solution n'est possible que si

a<p-hY, p<Y j-a, Y<a-f-p.

L'équation (i) peut toujours être satisfaite en posac^^t sin 2A = sin 2B = sin2G = o, deux des angles 2 A et 2 ^ étant égaux à 7:, et le troisième à zéro ; on a une dispos 'ktion d'équilibre qui convient dans tous les cas.

234. Condition d^ équilibre du genou. (Paris, 1860.J Le genou se compose essentiellement de deux barres OA, AB articulées en A ; l'extrémité O est articulée en un point d'une droite fixe OX, tandis que l'autre extrémité B est assujettie à glisser sur OX. Une force F dans le plan OAB agit sur un point G de OA, tandis qu'une autre force R pousse le point B dans le sens XO ; étant donné l'angle cp de F avec OA, il s'agit de trouver la force R qui peut lui faire équilibre.

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 5l5

Soient 6 l'angle AOX, et OB = :r ; si l'on donne à x l'accroissement 8^, à 6 l'accroissement 80, l'équation du travail devient

— F X OC sinçt^ô — R ^x = o.

D'ailleurs on a, par la Géométrie,

AB = OA -i- .r» — ixOk COS0, x^x — OA(cosô^^ — ^sinG^O) = o;

éliminons ^x et o0 entre cette équation et celle du travail virtuel, et nous aurons

R OC(.r— OAcos0)sin<p

F ~ xyc^ OAsinô '

la machine est d'autant plus puissante que Q est plus petit;

dans les appareils à frapper les monnaies OA = AB =— OC,

9 = ô ; alors R = - cotô.

235. On imagine une pile triangulaire de boulets sphériques parfaitement polis, dont la base serait retenue par trois murs verticaux formant prisme triangulaire; déterminer la pression exercée contre chaque mur.

Soient n le nombre des boulets qui forment un côté de la tranche inférieure, a leur rayon; écartons virtuellement tous les boulets de la tranche inférieure de manière que la distance des centres de deux globes contigus deviennent a (a -7- e), et que le centre O du triangle circonscrit à la base ne bouge pas. Les côtés du triangle formé par les centres des boulets qui sont au périmètre de la tranche inférieure augmentent de 2(72 — i)e, et chacun de ses côtés doit s*a-

>rancer à Tencontre du mur de — =1— e : si donc on remplace

la fixité des appuis par l'adjonction d'une force F qui produise le même effet, au recul des parois correspondra un

5l6 RECUEIL d'exercices

travail virtuel — (?i — ijeFy/S. D'autre part, soîent Die centre d'un boulet de la deuxième tranche reposant sur trois de la première dont les centres sont A, B, C^ I le centre de ABC ^ la hauteur de D au-dessus du plan ABC

était d'abord y 4^* — AI •, AI augmentant de JA1=:~t-5 la distance de D à ABC diminue de

ÂÏ^ÂÏ 9 e

telle est la quantité dont chaque tranche se rapproche de celle qui la supporte. En tenant compte de l'abaissement des diverses tranches et du nombre de leurs boulets, eu appelant P le poids de l'un d'eux, on a le travail virtuel de la pesanteur

En égalant ce travail au travail résistant des parois, on en tire

Pour une pile à base carrée, on a, dans des circonstances analogues.

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Sl^

236. Un point pesant M est attiré vers deux points A et ^proportionnellement à la distance; il est porté par une tige sans masse qui peut tourner autour du point O, milieu de AB '.positions d'équilibre; reconnaître si l'équilibre est stable ou instable.

Pour décider de la stabilité de Téquilibre d'un système, on peut supposer les divers points légèrement écartés de leurs positions d'équilibre, chercher les forces auxquelles ils sont alors soumis et la nature de leurs mouvements, en se bornant aux termes principaux des équations que l'on obtient; on voit si les points tendent à osciller autour de leurs positions d'équilibre ou à s'en écarter de plus en plus. Mais Lagrange a établi une règle qui suffît souvent : supposons que le travail correspondant à un déplacement virtuel quelconque du système soit la variation exacte 8V d'une fonction dite fonction des forces : quand V passe par un maximum, il y a équilibre stable; quand il est minimum, l'équilibre est instable.

Dans le cas proposé, nous admettrons que, pour l'équilibre, M doit être dans le plan vertical qui contient AB. Appelons 9 l'angle dont OM a tourné en partant de la direction OA et commençant par passer en dessous; a les distances OA, OB; c la longueur OM, X et (jiles attractions de A et de B sur M à l'unité de distance, P le poids de M; on a pour expression générale du travail virtuel

^V=-- XAM^AM -^ pBM^BM -f- P^(csine) = PccosBSB — -o().lMVfiiBM');

mais AM =ra*-hc' — aaccosô, BIM =a'-+-c'-}-2rtccos0-,

donc

fîV = [a[ii—'\) sine -\- P cos9]c(î9;

p ÔY s'annule pour tango = —rr : ; on a deux valeurs de 9,

a et t: + a. Pour savoir si l'équilibre est stable, comme la fonction V existe et ne dépend que d'une variable, prenons

. o«V = [a(fx--X)cosO — Psin.ôjc5ôî = [a(fx— X)cot6 — P]csinô8e«;

la parenthèse se réduit à ^{\t. — A)' — P pour les valeurs de 6 répondant à l'équilibre. Si donc on prend B = a << 71, S^V est <[ G, V maximum, équilibre stable; pour 0 = 7î 4- a, V minimum, équilibre instable.

Principe de d'Âlembert.

237. Dans tout système en mouvement, il y a à chaque instant équilibre, en vertu des liaisons, entre les forces qui agissent sur les différents points du système et les forces d'inertie. On peut donc appliquer l'équation du travail vir- — tuel à l'ensemble de ces deux espèces de forces et l'on a

la somme s'étend à tous les points du système, pour plusieurs desquels X, Y, Z peuvent être nuls; Sa:, 8^, ^z soat les composantes rectangulaires d'un déplacement virtue7 quelconque compatibles avec les liaisons telles qu'elles existent à V instant indivisible t; si donc Pune de ces liaisons est exprimée par une équation de la forme

on devra traiter t comme une constante quand on la différentiera pour en déduire la relation qu'elle établit entre les variations

on opérera ensuite comme au n® 231 .

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. SlQ

L'équation (i) contient implicitement toute la Dynamique et fournit une méthode générale pour la solution des divers problèmes : le lecteur pourra l'appliquer à plusieurs des questions traitées dans les Chapitres précédents ; je me bornerai ici à trois exemples nouveaux.

238. Un point matériel M est renfermé dans un tube circulaire horizontal dont le centre reste fixe et dont le rayon augmente proportionnellement au temps; le point ayant une vitesse initiale donnée, déterminer sa trajectoire et sa pression sur le tube.

- Le rayon du tube peut être représenté par r =: a^ bt] la pesanteur est la seule force extérieure qui agisse, et l'équation de d'Alembert devient, en prenant l'axe du cercle pour axe des z^

Les coordonnées du mobile sont assujetties aux relations

Prenons les variations, en regardant t comme constant :

X Sa? -^ y %y = 0, 8^ = o.

Ajoutons à l'équation (i) ces équations multipliées respectivement par \ et V, et égalons à zéro le coefficient de chaque variation : on aura

(3) lx = m^, ^y^m — , \=mg+m^

520 IlECUEIL D^EXERCICES

Eliminant X entre les deux premières, on obtient

d^Y d'*x dy dx

dt^ ^ dO ' dt ' dt

On remplace x, j par les coordonnées polaires /*, S, et l'équation précédente devient

dt ^ ' dt

Intégrant et faisant 0 = o pour i = o, on trouve '

b \a a-\'btl a-\-bt r c'

la trajectoire est une spirale hyperbolique dont l'asymptote

fait l'angle -r avec Taxe polaire, et le pôle est à l'origine.

Les équations (3) font connaître l'action du tube sur le mobile. Comme ^ = o, on a d'abord X'=: nig\ puis, en combinant les deux premières,

, / dx dr\ f dx d^x dy d^r\ dix

\ dt ^ dt I \dt dt^ dt dC^ I dt\i

OU, en tenant compte de ce qui précède.

^ dr d \ /. c*\ m&

dt dt 1 \ r'i ) v^

dr mc^

dt^ """"" /'*

La pression exercée sur le cercle sera égale et de sens contraire à la force qu'on vient de calculer ; elle a une composante verticale égale au poids de M, et une composante

dirigée suivant le prolongement de OM.

239. On donne deux petits poids égaux y A, B, assujettis à rester^ le premier sur un plan incliné P, le second sur une verticale D, et s^ attirant proportionnellement à

la distance; déterminer leurs mouvements sans tenir compte du frottement. Cas particulier : V angle i de P

avec V horizon a pour sinus - ? les positions initiales de A

et B sont celles qui conviendraient à V équilibre, et la vitesse initiale de A est telle que ses projections sur une horizontale et sur une ligne de pente deV soient égales chacune à la vitesse initiale c de B. (Paris, 1874-)

Je prends pour origine le point d'intersection de D et de P, pour axe des x la ligne de plus grande pente qui y passe, pour axe des j^ une horizontale de P, et pour axe des z une normale au plan dirigée en dessous; je suppose les masses de A et de B égales à l'unité, et j'appelle /ul* leur attraction à l'unité de distance ; les coordonnées de A sont x^y^ o, celles de B x'^ o, z^. Il est facile d'écrire Téquation de d'Alembert, où manquent ^z et ^j' ^ qui sont nuls;

dt' \

Qu: —

' dt'

sin/ —

d^œ' dO

onfii —

. fi.'i'-

dH'

Au lieu de prendre la relation z' = .r'coti, que la figure rendrait évidente, il vaut mieux considérer la distance OB = r, qui donne j:'=/'sini, z^= rcosi^ âx^=smidr^ $z'= cosiâr. Egalons à zéro les coefficients de $x^ Sj- et âr dans l'équation (i), et nous aurons les équations générales du mouvement

— = p'(/-sm/ — .r) -4- g'sin^ =~ ;x»j,

Soient a, P, p les valeurs de x^y^ r qui conviendraient à l'équilibre; on peut les calculer à Taide de réquationdu travail virtuel, qui n'est autre que Téquation (i), où Ton

aurait supprimé -ry» • • • i on en conclut un système d'équations correspondant au système (a) :

(3) fx*(psin/ — a) H-g-sin/rzio, p^=o, p'(asiD/ — pj-f-g^^o.

Ces équations donnent a, |3 ei p. Posons

Cl retranchons les équations (3) des équations (2);

-^r=fx^(r,sm/-^,)' '7;T = -f*^>'•' ■^=rfx»(^.sin/-r,).

On remplace la première et la dernière par celles qu'on obtient en les ajoutant ou en les retranchant membre à membre,

__±__ r:r-^»(l-.sm£)(ar,4-r,),

^2(jr, — r,) .

— ^-, ■ == — fx'(i-f.sm^)(.r,— r.).

Toutes nos équations s'intègrent séparément, et donnent pour les inconnues qu'elles renferment des valeurs périodiques. Dans notre cas particulier, Xi, j^i, r^ sont nuls à l'instant initial; leurs dérivées par rapport à t ont alors la

valeur commune c, et, comme 1 — sini = j> on trouve que les intégrales générales se réduisent à la forme

L'équation de la trajectoire de A s'obtient en éliminant [jl/ entre les valeurs de x^ et de 7, : [J^^^J = 4^^ (^J — jj).

Prenons des coordonnées polaires u et 9 avec le point a, ^ pour pôle : on a