OM R
D'ailleurs, par la formule (P),
OG (P + Q)=^ = OA XP^-f-OB XQ'; si Ton fait OA =. OB = «, OM = -, il vient
tanga= - y^p + Q2 .
MX
24. Quand on considère un corps parfaitement rigide s'appuyant sur un plan par plus de trois points, la Statique laisse indéterminées les pressions aux points d'appui ^ cette anomalie disparait si Ton tient compte des déformations légères éprouvées par le solide et des actions moléculaires qui en résultent : il y a des cas simples où le problème peut se résoudre aisément 5 en voici un exemple :
Une table horizontale qui reste parfaitement plane est soutenue par n pieds ^verticaux AA', BB',. . i d'égale longueur, reposant sur un plan horizontal rigide; la table est chargée de poids qui, a^ec son propre poids, ont une résultante verticale P appliquée en un point connu : trouver les charges des appuis, en admettant qu'ils se raccourcissent de quantités très - petites proportionnelles à leurs* charges respecti\^es ,
Prenons pour plan des xj le plan de la table quand les pieds sont dans leur longueur naturelle, et pour axe des z une verticale quelconque dirigée de haut en bas. Je détermine la position des points d'appui par leurs coordonnées primitives Xi, ji,..., Xn-iYn- Quand on charge la table et qu'on laisse les pieds se raccourcir, les x et lesj^ des points
d'appui ne changent pas sensiblement, mais leurs ordonnées deviennent ^i,. . . , z„. Soient Qd Qiv • • 1^^ pressions qu'ils supportent; on a, par hypothèse,
mais, par hypothèse, la table reste plane et coïncide avec un plan z = ax -h h y -f- c ; on aura donc
Soit a:, y le point où est appliquée la force P \ elle est égale à la somme des Q^, et son moment par rapport à OXZ etOYZ est la somme des moments de ces réactions; donc
P = X2(aa:,-I- hyi'\' c) z=z a\I..Ti-{- 6).2j',H- n\c, Pa?= a\2iacl -h 6X2*1/,- -4- c>2j:,-, P/- r= al^^iXi-^ b'kl.jrf -4- cX2/,-.
Nous avons trois équations pour déterminer a, J, c, et par suite les Q^. On peut choisir l'origine et les axes, de manière à annuler Ex., Sj^„ Hx^jiy l'origine étant le centre des moyennes distances des points A, B,..., et les axes étant ce qu'on appelle les axes principaux du système. Il vient alors
S'il s'agit d'une table rectangulaire soutenue aux coins et dont les côtés soient. 2 a, 26, les axes seront les médianes, et l'on aura
De S.-G. — Rec. 3
34 RECUEIL d'eXE&CICES
Pour que les quatre pressions soient positives ou qu'aucun pied ne soit soulevé, il faut que le point jr, y soit à Tintérieur du losange dont les sommets sont au milieu des côtés de la table et dont les côtés ont pour équations
Supposons encore que la table soit un polygone régulier de n côtés, soutenu à ses sommets et inscrit dans un cercle de rayon a \ l'origine est au centre et son sommet sur Taxe des X, On aura
a/TT .lit: ^ci * ^^^ x? •> ^^^
QP /^x iiu ar . iir \ / = - ( — ces i sin h i ) .
Il est aisé de voir que toutes les charges seront positives si le point x^y est à l'intérieur d'un polygone régulier dont les côtés touchent le cercle concentrique à la table et de
rayon - aux points situés sur les prolongements des rayons
qui aboutissent aux angles de la table.
Dans le cas général, si Ton trouve les pressions supportées par quelques pieds négatives, et si l'on suppose l'extrémité de ces pieds fixée au sol, ils doivent s'allonger^ mais, s'ils peuvent quitter le sol, ils ne soutiendront plus rien 5 on devra reprendre le problème en répartîssant la charge sur les autres pieds, et tenant compte du poids des appuis qui sont soulevés.
Un parallélogramme homogène est porté par trois hommes, dont un le tient en un sommet : en quels points du périmètre les deux
SUR LA MECANIQUE RATIONlTELLE . 35
autres doivent-ils soutenir la plaque pour que tous trois soient également chargés? (Jullixn.)
Etant donné un polygone ABCD.. ., divisons les côtés AB, BC, . . . dans un rapport donné, et, aux points de division, appliquons des forces parallèles égales ; leur centre ne dépend pas du rapport adopté. (Jullien.)
On a un système de masses toutes fixes, à l'exception d'une seule, qui parcourt une certaine courbe ; prouver que le centre de gravité décrit une courbe homothétique. Soit, par exemple, une aiguille mobile autour d'un point O, et une masse qui tourne uniformément autour d'un autre point de raiguillt^. Le centre de gravité du système décrira un cercle, et, avec un rapport convenable entre le poids de l'aiguille et du corps qui tourne sur elle, le cercle aura son centre en O, et Taiguille pourra tourner uniformément dans un plan vertical : c'est l'horloge magiqne.
Déduire de la composition de trois forces parallèles appliquées aux sommets d'un triangle la relation entre les six segments déterminés sur les côtés par des droites issues des sommets et concourantes.
36 RECUEIL D^EXEKCIGES
