OA OA' AA
Or OA' et AA' sont entre elles dans le même rapport que les triangles OBC, ABC ^ les aires des triangles OBC, OCA, OAB sont proportionnelles aux forces P, Q, R.
Cette proposition permet de décomposer une force en trois autres qui lui soient parallèles et dont les rapports ou les points d'application sont connus. Par exemple, si trois hommes soutiennent par les sommets une planche triangulaire homogène, ils auront des charges égales^ car les actions de la pesanteur sur la planche se composent en une force appliquée au centre de gravité ; les triangles ayant pour sommet ce point, pour bases les côtés du triangle, sont équivalents, et les forces dont la résultante détruit le poids de la planche sont égales.
Etant donné un disque circulaire soutenu en son centre, placer sur sa circonférence ti^ois poids P, Q, R, de maniere que le disque soit en équilibre.
Désignant par A, B, C les points où Ton attache les poids, O le centre, on aura
aireBOC aire CO A aireAOB sin BOC sin CO A sin AOB P "^ Q "" R ' P "" Q ~" R
Les trois angles en O ont pour somme 2 7: -, ils seront les suppléments des angles d'un triangle ayant pour côtés P,
21. Théorème de Leibnitz généralisé. — Soient O une origine , quelconque. Ai, Ag,. . . des points fixes auxquels on applique des forces parallèles Pi, Ptv*-? ^ '^ centre
3o B.ECUEIL d'exercices
de ces forces parallèles; si l'on considère les forces OAi X Pi, OAj X Psi • • • dirigées suii^ant OAj, OA,, . . ., leur résultante sera dirigée suii^ant OG et égale à OG(PiH-Ps-l-...).
En effet, considérons trois plans coordonnés rectangulaires passant en O, et écrivons que la somme des moments des forces parallèles par rapport à chacun de ces plans est égale au moment de leur résultante \ on a trois équations de la forme
(a) 2PXOAcosAOX= (P,-f- P,-h. . .)OGcosGOX
Ces équations expriment précisément que les forces concourantes P X OA ont pour résultante OGSP. En particulier, si le point O était en G, les forces P.OA se feraient équilibre.
Remarque. — Si Ton ajoute les trois équations (a), après les avoir élevées au carré, on trouve la relation numérique
(p) OG (2P)' = 2P'0A -h22P,P,0A,x0A,cosA|0A,. Si au second membre on ajoute et Ton retranche
2(ôâ,Vôa/)p,p,,
on a une relation utile dans l'étude du mouvement des systèmes :
OG (2P)^=2P2P0A — 22P,PaXA,A2 .
22. jiux quatre sommets d'un tétraèdre OABC on applique des forces parallèles proportionnelles chacune à l'aire de la face opposée; déterminer le point d' application G de leur résultante.
Soient a, (3, y, &) les aires des quatre faces ^ x^^ Xi^ x%<^
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3l
Xs, X les distances de O, A, B, C, G à un plan (P); on aura
tùor^ -4- a J-, -f- B.î^2 -+- 7. 7*3 x =. ' .
Faisons coïncider le plan (P) avec ABC, x^^x^^ x^ seront nuls, (àXo deviendra six fois le volume du tétraèdre, et x=^ 6\ l (w -4- a -h P H- 7) sera le rayon de la sphère inscrite; le centre des forces parallèles n'est autre que le centre de cette sphère, et la valeur générale de x permet de déterminer les coordonnées de ce point géométrique.
La formule (|3) du paragraphe précédent donne, pour la distance du centre de la sphère inscrite à un sommet quelconque O,
— 2__ OX pB OC f2sin=B0C-4-22sinA0BsinA0CcosB0C).
On trouve par la même méthode le centre de trois forces parallèles appliquées aux sommets d'un triangle et proportionnelles aux côtés opposés.
23. Un vase hémisphérique très-mince , de poids R, repose par sa partie convexe sur un plan horizontal et porte deux poids P, Q aux extrémités A, B de deux rayons perpendiculaires : position d'équitihi^e.
Les poids P, Q se composent en un poids P H- Q appliqué en un point G facile à déterminer sur AB ; le poids du vase est appliqué à son centre de gravité, au milieu M du rayon perpendiculaire à la base 5 la résultante des trois forces devant être détruite par la réaction du plan fixe sera dirigée suivant le rayon OH qui passe au point d'appui, le planMOG sera vertical, en sorte que OG sera la ligne de plus grande pente de OAB. Soit a l'angle qu'elle fait avec le plan horizontal \ les moments de R et de P 4- Q par rap-
port au plan passant par OH et perpendiculaire à MOG se détruisent^ donc
OG P -4- OMxRsina — OG(P-4-Q)cosaz=o, tanga = ^
