ATTRACTION DES SYSTÈMES

Calcul direct de rattraction.

70. Pour calculer l'attraotion d'une masse quelconque sur un point A, on n'a qu'à décomposer la masse attirante en éléments et à chercher la résultante de leurs actions par les règles de composition des forces concourantes. Soient j:, y, z les coordonnées rectangulaires de A; x^^y^^z^ celles d'un élément attractif dm à la distance u de A 5 y ( u) dm la grandeur de son attraction ^ on a, pour les projections de la force qui sollicite A,

f[u)dm, Y=:...,

les intégrations s'étendant à toutes les molécules attirantes.

Je rappelle un résultat très-simple à établir, mais utile dans beaucoup de problèmes : quand l'attraction varie en raison directe de la distance, deux corps quelconques agissent l'un sur l'autre exactement comme si leurs masses étaient concentrées en leurs centres de gravité respectifs.

71. attraction d'une couche sphérique homogène sur un point matériel.

Newton a démontré que, lorsque l'attraction est inversement proportionnelle au carré de la distance, une couche de densité constante, comprise entre deux sphères concen-

SUR LA MÉCANIQUE RATIOlflVELLE. IO7

triques, est sans action sur un point intérieur, et attire un point extérieur A, comme si sa masse était concentrée en son centre O. M. Thomson a donné de cette seconde propriété une démonstration très-simple.

Par raison de symétrie, Tattraction doit être dirigée suivant AO [fig- 5), et, si nous partageons la couche en élé-

Fig. 5.

ments, tels que dm au point M, l'attraction sera de la forme

A=rr J ( C^cosMAO.

AJVÏ

ïï=

Pour former nos éléments d'une façon avantageuse, considérons le point B, conjugué de OA, tel que OA xOB = R', et imaginons des cônes infiniment étroits dont le sommet est en B^ l'un d'eux, dirigé suivant BM, intercepte, dans une sphère de rayon i, la surface rfco, et par suite dans une sphère ayant aussi pour centre B, mais pour rayon BM, l'aire

BM rfw, mais cette sphère coupe la sphère donnée sous Tangle BMO, et, comme elle est orthogonale au cône considéré, celui-ci intercepte dans la sphère donnée un élément

BM rfcùsécBMO. Si donc e est la densité de la couche, il

vient

/>/. , — * , ^ cosMAO A^TJptecfwBM sëcBMO— izi=ï— 5

AM mais MOB, MOA sont semblables comme ayant l'angle O

io8 hecxjeil d^exercices

commun compris entre côtés proportionnels ; il en résulte

angle BMO = MAO, ^ = ^,

. ^^ OM , ^nR^iu mu.