AM PP' AM
MM' =: -— — — — = r PP';
AP cosMAP ^'
l'attraction de MM' est égale à celle de l'arc élémentaire PP' supposé de même densité que la droite donnée. L'attraction totale est dirigée suivant la bissectrice de l'angle HAH'= 2 a et égale à
2/ — cos0c?ô= — ^sina.
Si la droite était de longueur infinie, son attraction serait dirigée suivant AP et égale à — ^
Cherchons la position d'équilibre d'un point M dans le
2 us a
IIO RECUEIL D EXERCICES
plan d'un triangle ABC dont les côtés sont homogènes et attirent suivant la loi de Newton. Soient 2 a, 2(3, 2 y les angles BMC, CMA, AMB^ ;?, ^, r les distances de M aux
côtés: l'attraction du côté BC est de la forme -sîna, et
fait avec l'attraction de CA l'angle a -h |3 5 écrivons que chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres :
sina sinp siny
7?sin(p-+-7) ^sm(7-4-a) rsin(a-f-6)'
comme a -h (3 H- y = tt, on aura
73. Une droite rigide a ses extrémités A, B engagées dans des colliers fixes qui empêchent tout moui^ement; un point C attire chacune des parties de la droite suii^ant la loi newtonienne; déterminer le point ou la barre tend à se rompre. (Université de Cambridge^ i854.)
Soient H le poînt demandé, CO = c la perpendiculaire de C sur AB 5 x l'abscisse d'un point de la droite à partir de O-, a, — t, h les abscisses de A, B, H*, P, Q les composantes normales des réactions qui s'exercent en A et B. La somme des moments de P, Q et des attractions par rapport au point H est nulle 5 mais, si l'on considère seulement les forces qui agissent sur la partie HA, ce sont elles qui tendent à rompre la droite en H, et cela avec une énergie proportionnelle à la somme de leurs moments. Cette somme est évidemment de la forme
SUB LA MÉCAiriQUE RATIONNELLE. II J
Si Ton suppose que H coïneide avec B ou si l'on fait A= — ft, S doit être nul, parce qu'il comprendra les moments de toutes les forces qui agissent sur A6 :
Tirons P, et nous aurons pour la valeur générale de S
pt r , r- c^-h ah a — h / ,- c* — «^ M
n faut avoir la valeur de h qui rend S maximum; on
égale à zéro -77 et Ton trouve, en réduisant, an
h ^a'-hc^—s/b'^-hc^ CA — CB
^c^-h h^ a-\'b AB
coscHo=^'°t;t-;i.
sml(A-f-B)
Le point H est entre les pieds de la médiane et de la bissectrice menées du sommet C dans le triangle ABC*, en effet leurs distances au point O sont respectivement
^^^ csin-î(A — B) csinfA — B) i,. ^,
..^ cet CHO = — 7— - ^ — . , . ' > ctang-(A — B), — --^ ... v^sinAsinB asmAsmB ^2' '
et la première expression est comprise entre les deux autres.
74. attraction d^un ellipsoïde homogène sur un point intérieur, V attraction étant im^ersement proportionnelle à la quatrième puissance de la distance.
Soient x^y^ z les coordonnées du point attiré A, et
Téquation de rellipsoïde. Posons
a?i=nar -4- ttcosO, j^", = / H- w sin cos ^I; , z = Zt -f- 2/ sînO sin^f ;
on peut écrire, pour les points à la surface de Tellipsoïde,
Ix cosô r sinô cos^[; z cosô sin^/X i La composante de l'attraction suivant OX est
TT
X=fA I r/^I; I rfO I — sinôcosO;
6 ne variant que de zéro à - > on doit, pour chaque valeur de
6 et de vj;, faire varier u depuis zéro jusqu'à la racine positive m' de l'équation (i), et Ton retranche le résultat obtenu en faisant varier u de zéro à la racine négative u" prise positivement. Pour éviter l'infini qui répondrait à a = o, on intégrera entre une valeur très-petite t et m' ou — u'' ; on retire ainsi de l'ellipsoïde une sphère, évidemment sans action, ayant A pour centre et e pour rayon, et cette sphère peut être tout entière dans l'ellipsoïde quand A est intérieur \ l'intégrale relative à u sera
on a la somme des racines de l'équation (i), et, en substituant, il vient
r r [xco^^ rsin9cos^^ \ . • « .* ,.
= 211. j I I — h' T5 --h. . ,\ smBœsBdQd^i
SUR LA MÉCANIQUE BAXIONNELLE. Il3
Y et Z s'obtiennent par analogie. C'est Lejeune-Dirichlet qui a remarqué la possibilité d'exprimer en quantités finies l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur quand l'attraction est réciproque à une puissance a m de la distance, 772 ^ I . L'attraction sur un point de la surface est infinie, et, pour les points extérieurs, on la déduit du point intérieur à l'aide du théorème d'Ivory, généralisé par Poisson.
Calcul à Taide du potentiel.
75. On sait que les trois composantes de l'attraction exercée sur un point sont les dérivées d'une même intégrale, qu'on appelle fonction potentielle, tant que du moins le point ne fait pas partie de la masse attirante. Soient F(u) une fonction dont la dérivée f{u) exprime la loi d'attraction, et U = — fffF{u) dm 5 on démontre qu'on a
dx djr dz
Si, par le point attiré, on mène un arc infiniment petit ds^ dont les projections soient dx^ dj^ dz^ la composante de l'attraction suivant la direction ds sera
d\5 dx d\5 dx dVi dz dU
dx ds dy ds dz ds ds
le dernier quotient n'est pas une dérivée partielle, mais le rapport à ds de la différentielle de U répondant à ce déplacement du point x, j", z.
Les surfaces sur lesquelles U est constant sont dites sur- Jaces de nii^eau; l'attraction en un de leurs points leur est normale.
76. Calculer l'action d'un anneau sur un autre situé dans le plan et à l'intérieur du premier et passant par Db s.-g. — Rec, 8
Il4 RECUEIL d'exercices
son centre ; l'attraction est en raison im^erse du cube de la distance. {WjLtuoTH,)
Soient O et A les deux centres, R et a les rayons, e, e' les densités, M un élément de l'anneau attiré, 6 Tangle MOA, en sorte que la masse de M soit nat'dO] je pose
OM = 2a cosO = r,
et je cherche la fonction potentielle de l'anneau attirant; ici Fftt) = ^: donc
H- r^ — 2Rrcosy R^ — H
L'attraction est dirigée suivant OM, et sa valeur -j- se
calcule sans difficulté, car U varie seulement avec r. Faisant la somme de toutes ces attractions multipliées respectivement par cosO, on a pour leur résultante, dirigée suivant OA,
^ Jq (R*— 4a^cos'ey
mais
R»-4a»cos»Ô 2Rv/R^-4a^
Il suffit de différentier cette équation par rapport à 4^', considéré comme un simple paramètre, pour avoir l'intégrale qui figure dans F :
