CL
petit.
n me semble possible de rendre satisfaisante la méthode qui conduit de ce résultat à Tégalité
Soient toujours x^ y^ z le point attiré, x^^y^^ z^ un point de la masse attirante, non homogène ; en faisant
JT, =:x-|- wcosô, 7i=r^ •+• asin9 cos^, z, = z-h wsin9sin4», on aura
' 1 / c sinO cos6^u</9^/i{/,
Y = ffft sin* ô cos^ dudBd^, . .,
A, V est toujours égal à — — [-■-- — h -j- ^ les intégrales précédentes dépendent de a:,j^, z^ à cause de 6 et de M| à la surface, lequel varie avec x, j^, z pour chaque valeur de«6 et ^, Les limites de et de ^ ne dépendant pas de Xjjr^ z, on peut diflerentier, sous le signe ffdOd^^
X[co89— 1 f û?tt + sm 9 cos'«|*— I «û?tt4-««-J-
Soient Co? Si la densité pour u = o et m = Ui ^ la parenthèse peut se développer :
I du'XcosB- — hsmOcos\|/-T — hsm9smJ<--| Jo \ dx ^ djr ^ dzj
/ du\ . du\ \
, ( cosO -T h 8in9 cosip !-•••);
SUE LA MÉCANIQUE RATIOlflfKLLE. I I9
mais, si
g = F(a:,,jr„ 2,) = F(jr -j-a cosô, j +ifsin9cos>{>,. . ),
on a
di dY dg d¥ iLv dxi djr djr^'
d% dY . dY
-— = cosô — h sinô COS+ H • • • ;
du or, dyx
le coefficient de du^ sous le signe J^ est par conséquent égal
à — > et l'intégrale à «i — Cq- Pour former le coefficient de ej
dans la partie tout intégrée, écrivons l'équation de la surface
y (-=^11 JTii 2i) = ç(j:H- «iCosô, y -^Ux sinOcos-»!*. . .) =o. On a, par la règle des fonctions implicites,
dx cosôtp^ 4- sinô cos\pf>^ -h . . . dy cos9f ^ H- . . . '
il en résulte, en substituant, que le coefficient de e^ est — I , et il reste
79. Composer les attractions exercées par un anneau homogène A sur un anneau très ~ petit B ajyant même centre, et dont le plan fait ai^ec celui du grand l'angle a.
Il est facile de voir, par des raisons de symétrie, que les forces appliquées aux divers points du petit anneau se ré* duisent à un couple dont Taxe est l'intersection des deux plans. Prenons pour axe des x la partie de cette droite qui est dirigée vers le nœud ascendant, l'axe des j^ étant dans le plan du grand anneau. Soient a:, j^, z les coordonnées d'un élément dm de B, 7* le rayon de B, e la densité de A;
I20 KEGUEIL d'eXERGICES
son potentiel par rapport à dm est
fidm'R.ido
\/R^ — 2R(.rcos(p+^sinç)-l-r^
= 27rgfA</m I I H ^— ^- . . . J ,
iritedm it^iidni otTt^iidm
Si dm:=rî'd(!fx'i on trouve, pour Je moment du couple cherché,
L = 2(rz — zy)=: — 3-i: — -^
= tulM/w— -sinacosa.
Le plan de B est sollicité de manière à se rapprocher de celui de A.
80. Déterminer le potentiel d'une masse sphérique indéfinie, la densité étant e"^ à la distance r du centre,
V est fonction de r seul, en sorte que d\ dV dr .T dY d^Y /i .r^X d\ x^ d^Y
dx dr dx r dr d.x^ \r r^ j dr a*' dr
d^Y d^Y d'Y 2 dY d^Y
dx^ dy' dz^ r dr dr^
On multiplie par r', et le premier membre devient la dédY^ dr
dY
dY
rivée de r' — > qui doit être nul pour /- = o :
dr
Telle est la valeur de l'attraction dirigée vers le centre.
Sun LA MÉCANIQUE nATIOlflCELLE . 121
Intégrons encore
V=4«(-c-'-He-'+?+c);
pour r = o, on a directement
on en conclut que c est nul, et Ton a le potentiel pour un point quelconque.
En supposant l'attraction newtonienne, calculer Tattraction de l'aire comprise entre la lemniscate r=.a y^cos 2 9 et le cercle de rayon
a sino, sur le point double de la lemniscate : p ( L cot - ^ — cos^ j *
Attraction d'une lame rectangulaire sur un point quelconque.
Déterminer la forme d'un solide de masse donnée, de manière qu'il exerce sur un point une attraction maximum. La composante de l'action d'une molécule dm de la surÊice estimée suivant une direction fixe doit être constante, quelle que soit la position de dm.
Relation entre les potentiels d'une couche sphérique sur un point extérieur et intérieur.
CINÉMATIQUE.
