MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL
Vitesse et accélération.
Je me bornerai à quelques remarques sur la vitesse et
raccélératîon. Un mouvement qui ne peut être défini par
des formules analytiques connues peut être utilement re-
{H^senté par certaines courbes : prenons des abscisses
X = at^ des ordonnées j-=: cs^s étant le chemin parcouru
au temps t, a la longueur qui représente l'unité de temps,
cle rapport par lequel sont multipliés les espaces, on a la
courbe représentative des espaces; la vitesse est égale à
^'(r i> ^1^ . -11 ^'* a^ dW d*r
- -f-; 1 accélération tanfi[entielle -r- = -^: or -r4- est
c dx^ ° dt^ c da^ ' da^
l'inverse du paramètre de la parabole osculatrice à la courbe figurative et dont l'axe est parallèle à OY. Dans le procédé de M. Morin pour étudier la chute des corps, la courbe est elle-même une parabole, a = Ra>, c=:i,et l'accélération
est .
V accélération totale y est égale au carré de la vitesse
divisé par la demi-corde quelle-même intercepte dans le
cercle osculateur de la trajectoire.
On sait qu'elle est dirigée dans le plan osculateur et que
124 AECVEIL d'exercices
sa projection sur la normale principale est - ] soit i Tangle
P de y avec la normale, on a
— =zy COSl, 7= • C. Q. F. D.
p pcos/
Considérons la parabole décrite par un projectile dont la vitesse horizontale est a] la vitesse à un moment quelconque est — -.9 puisque son angle avec Thorizontale est
égal à celui de la normale et de l'accélération, toujours verticale : la corde interceptée dans le cercle osculateur en chaque point par la direction de la pesanteur, c'est-à-dire
par le diamètre correspondant, est donc : -: • Au sommet
*■ ^ gcos^i
cette corde est 2z; = — : donc elle est, en général, — ^ y
quatre fois la distance du foyer au point d'où elle part : le centre de courbuf e en un point d'une parabole se projette sur le diamètre correspondant à une distance double de la distance focale. (Màclauriit.)
Dans le mouvement d'un point libre, la force qui agit et l'accélération dépendent si simplement l'une de l'autre que la plupart des questions se rattachent aussi bien à la Dyna* mique qu'à la Cinématique. Je traiterai ici les problèmes où l'on étudie un mouvement connu a priori^ ^^ j® renverrai à la Dynamique la recherche du mouvement produit par une force donnée, ou, ce qui est la même chose, répondant à une accélération connue. Rappelons les formules qui donnent les composantes de la vitesse et de l'accélération en coordonnées polaires.
Soient, dans le plan, r le rayon vecteur, 9 son angle avec Taxe polaire^ les projections de la vitesse sur le rayon vecteur et sur une perpendiculaire sont — et r — ^ on les
appelle vitesses de glissement et de circulation : leur résultante est la vitesse. Les projections de Faccélération totale sont, sur le rayon vecteur,
Ir
sur la perpendiculaire,
i d [ dB\
Dans l'espace, appelons r le rayon vecteur, 6 son angle avec une droite fixe OZ, ^ l'angle du plan méridien mené par OZ et le point avec un plan méridien fixe, et projetons : I® sur le rayon vecteur 5 2** sur la normale extérieure au cône droit d'angle 65 3° sur la perpendiculaire élevée au plan méridien du côté où ^ augmente ; nous aurons, pour les projections de la vitesse,
dr dB . d^
pour les projections de l'accélération,
d'r dB^ . , d^'
'' dt\ dt* dt^
' r dt\ dt) dt^
' ^smO dt \ . dt )
Ces projections ont pour résultante soit la vitesse, soit l'accélération .
82. Etant donnés (fig^ 7) deux axes rectangulaires y un point M situé d'abord sur l'axe des x se meut de telle sorte que son ordonnée et l^ angle de son rayon vecteur
aEGTTEIL D EXERCICES
sur OX croissent proportionnellement au temps, et que le mobile vienne sur OY à la distance a de l'origine; tr ouvrer la trajectoire, la vitesse en chaque point, l'accélération et le rayon de courbure.
L'équation de la trajectoire en coordonnées polaires
Fig.
