HC

en faisant l'angle COE égal à CHO; d'ailleurs CO est parallèle à la normale en M; donc la perpendiculaire DE sur EC coupera CO en un point D tel, que CD sera égale au diamètre du cercle osculateur en M. En B, la valeur de 7

est ^ — 5 et 1 on trouve p = - Od.

ia8

La quadratrice n'est pas rectifiable, mais Faire de AOB peut se calculer au moyen d'intégrations par parties :

TT

83. Un point parcourt ai^ec une vitesse constante une lemniscate de Bernoulli; troui^er son accélération et en déduire le centre de courbure en chaque point de la courbe.

Etant donnés (fig* 8) deux foyers F, Fj dont la distance est 2 a, la lemniscate est le lieu des points M tels que

Fig. 8.

MF.MFi = a*. Prenons pour axe des x et des y FFi et la perpendiculaire en son milieu O ^ l'équation de la courbe sera

Je désignerai par des lettres accentuées les dérivées par rapport au temps. Comme on a p'* = o/* -i- j^'*, il vient

y y y' + xx'

On est conduit à calculer xx^ -^-yy' eljx' — xy*] si Ton

sua LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. 1 29

difierentie Féquation (i), on en conclut

X y yf !!±ZL

xx -^jrf __ jr .rf — xy ^

Je suppose le sens du mouvement tel que le radical doive être précédé du signe -f-, et je tire de ces formules

yx^ ^ X/ =1 — [x^ ^ f)\

Les premières équations en a:'', j^' donnent alors

On en conclut

Mais, si Ton remplace a:' et j^' par leurs valeurs (2), et si f on observe qu'en faisant MF = r, MFi = ri, on a

jr"=r ^ (a2 a;a ya):^ r/a=^— 2f^'+ r' 4- 1»0-^1

3 /a — ar a-f-,r\

L'accélération totale peut se décomposer en deux autres 7 - > y - ? suivant MF et MFi \ faisons un parallélogramme Db S.-G. — Btc, Q

i3o RECUEIL d'exercices

sur MA = MF et MB = MFi ; la diagonale MC est dirigée

suivant la normale, puisque l'accélération est centripète.

3 v^ On a vu y = OM; le rayon de courbure est donc

= ôOE,