riicosç, y z=z b s\n
Taire élémentaire décrite par la projection du rayon vecteur - (xdy — ydx) étant proportionnelle à dt^ on doit avoir cp = co^, w étant constant. Alors
dx , a dy h
dt ^ b ^ dt ^ a
Soient M la position du mobile, m sa projection sur le plan xy^ p la distance du centre de Tellipse à la tangente en m\ la projection horizontale de la vitesse est
Comme la trajectoire doit couper les génératrices sous un angle constant i, on a
dz aboi ab u
-— =^ cet/ et V z=z
dt p p sin /
z ne peut s'exprimer en fonction du temps qu*à l'aide d'une intégrale elliptique, ce qui était évident a priori.
l3a RECUEIL D'£XB:ftCIGES
Les projections de l'accélération sur les axes sont
Taccélération rencontre Taxe du cylindre, et sa projection horizontale est proportionnelle à la distance du mobile à l'axe. Soient a, P, z les angles de la tangente avec les axes, X, jtx, V ceux de la normale principale^ on a
d^x dv v^ . d^y dv ^ v^
__ = cosa + - cosi, = cosp4--cosp,....
Or
b^ ^ à} dt a^h^^mi
On peut tirer des équations précédentes cos>
cos^ p'ysm'i cosv
"7""" IFbT-' "T"""'
d'où
à^b^ ^ px py
p = ——;—-> cosA = -1 coSfA = — —-) cosv = G.
En supposant i = -> la trajectoire devient l'ellipse de
base, dont on trouve ainsi le rayon de courbure 5 il a avec le rayon de courbure de l'hélice une relation analogue à celle qui lie le rayon d'un cercle au rayon de courbure d'une hélice qui se projette suivant ce cercle. La normale principale de l'hélice elliptique est parallèle à la normale correspondante de l'ellipse de base.
86. Démontrer qu'on peut régler la loi du mouvement d'un point sur une hyperbole de manière que l'accéléra^
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIOZfNELLE. l33
tion totale soit la résultante de deux accélérations dirigées suivant les rayons vecteurs et ins^ersement proportionnelles aux carrés de ces rayons; étudier le moui^ement.
Soit rhyperbole
en différentiant par rapport au temps, on a deux relations entre les composantes de la vitesse et de raccëlération suivant les axes :
. . xx' yy' ^ œ!^ y'* xx" yy"
Supposons que le mobile soit sur la branche de droite, et nommons e rexcentricité de Thyperbole, r, r^ les rayons vecteurs \ on a
r=iex — Uy 11= ex -\- a;
on doit avoir aussi, par hypothèse,
,, X — ae X -h ae
X Z=. [i. r- fX ; r- 5
[ex — aY [ex-\- af
n faut que ces équations soient compatibles avec Téquation (i) et avec ses conséquences [i)\ or, si, dans la seconde équation (2), on remplace y' et y par leurs valeurs (i) et (2), puis x" ely" par leurs valeurs (3), on trouve
x'^ x^x^ lix r X — ae x -^ ae ~\
fl» a^(x^ — a^) a* \^{ex — a)* (^•^'^ "+" ^)* J
l34 RECUEIL d'exercices
OU
Cette équation doit être compatible avec la première du groupe (3) : on s'en assure en diflerentiant la valeur de x" par rapport au temps, et, divisant les deux membres par naf^ on retombe sur l'équation (3).
La loi des positions du mobile sur la courbe sera donnée par l'équation (4)
On en conclut
* Au sommet, la vitesse est 2 i / —7 — - — r 9 en sorte qu'un
point animé de cette vitesse initiale et soumis à des forces produisant l'accélération donnée décrira l'hyperbole. La valeur de t s'obtient à l'aide d'une quadrature
)dx
Intégrant — par parties et réduisant, on trouve
= îy/îv'.(x»-«.).-..f-Jj]
dx
On a une intégrale elliptique de première espèce, mais elle disparait pour e = y/3 5 alors
SUR LÀ MÉGÀIVIQTJE RATIONNELLE. l35
87. Étudier le mouvement d'un point qui décrit avec une 'vitesse cojistante une loxodrome, c'est-à-dire une courbe tracée sur une sphère et coupant tous les méridiens sous un angle constant A.
Cherchons l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires. Soient a le rayon de la sphère, M, M' deux points infiniment voisins sur la loxodrome, P le point de rencontre du parallèle de M avec le méridien de M'^ MPM' peut être assimilé à un triangle rectiligne rectangle j or M'P = a dd^ MP = asinÔrf^, MM'=: ds^ angle MM'P == X; on a donc
MP sïnBM d9 , ,.
tangA = —7 -r = r — i , ___ z=r cet Arf^I;.
^ M'P dB sind ^
Intégrant et désignant par a la valeur de 9 pour ^ == o, on a pour la loxodrome
tang - ô =: tang - a^'î'*^*»*^.
La courbe forme sur la sphère une infinité de spires qui s'approchent indéfiniment du pôle et du point diamétralement opposé. Comme dscosl = adO, d'après le triangle MM'P, on voit que la courbe est rectifiable, et sa longueur
d'un point asymptote à l'autre est finie et égale à — r-»
La vitesse (^ est constante et a une direction connue^ elle donne
dQ PCOsX . ^d'h PsinX
-7- = 5 smO--!- —
dt a dt a
Si Ton se reporte aux valeurs des composantes de T accélération rappelées au commencement de ce Chapitre, on trouve qu'elles sont ici
7y=i » 7„ = cotôsin'X, 7;„:= - cotÔ sinX cosX,
l36 RECITEIL d'exercices
7 = - V I + cot*0 sin*X.
L'accélération devient infîtiie quand le mobile s'approche d'un de ses points asymptotiques. Dans toutes les positions elle est centripète \ soient donc O le centre de la sphère, C le centre de courbure, P le pôle, A le point où OC coupe la sphère, et y la mesure de l'arc MA. Le théorème de Meunier prouve que OCM est droit. Or
^„^ . — 7r I tangO
cosOMC 1= smep r= — = 1 tang© = . \ •
7 \/i ■+-c^t"Osin'X siïi^
L'angle AMP = X ; donc le triangle AMP est rectangle
en P, et l'on a la règle suivante pour construire le rayon de courbure en un point M de la loxodrome :
On mène le méridien PA perpendiculaire au méridien du point M, et on le prolonge jusqu'à sa rencontre en A avec l'arc MA normal à la courbe : le centre de courbure est au pied de la perpendiculaire abaissée de M sur OA.
Accélération centrale.
88. Quand un mobile parcourt une trajectoire plane, il peut arriver que l'aire décrite par les rayons vecteurs issus d'un point O du plan croisse proportionnellement au temps; c'est un cas particulier très-important; l'accélération totale est toujours dirigée vers le point O, et la réciproque est vraie. En voici une démonstration géométrique assez précise : il est clair que la vitesse aréolaîre est - pp, p étant la
distance du pôle à la tangente à la trajectoire :
Soient ^fig- 9) deux tangentes infiniment voisines CP, CQ, sur lesquelles je prends CA, CB égales aux vitesses
ST}a LÀ MÉCA1IIQT3E RATIO» N ELLE . lij
correspondantes*, abaissons les perpendiculaires OP, OQ,
on a
CAxOP = CBxOQ;
les triangles CBA, OPQ sont semblables :
angle CBA = OPQ = OCQ,
les points O, Q, P, G étant sur un cercle^ AB est parallèle
à CO. Or à la limite AB prend la direction de Taccélération totale, GO celle du rayon vecteur du point où }a tangente est CP.
Pour la réciproque, on suppose que AB fasse un angle infiniment petit avec GO; ABC, QPO seront semblables, parce que leurs angles sont infiniment près d'être égaux, et Ton aura, en négligeant des infiniment petits du second
ordre,
