CA X OP = CB X OQ
Soit - c' Taire décrite dans l'unité de temps 5 en prenant des coordonnées polaires, on aura
d'où
dQ __ c" ^ dr^ d^^
di"'?' ^'~'dF*'^^dP
l38 RECUEIL d'exercices
Eu prenant 6 pour variable indépendante, remplaçant dans yr dt par — — » et comptant comme positive raccélératîon dirigée vers le pôle, on a
dr
Cette dernière expression se retrouvera comme cas particulier du théorème des forces vives. Soit (x l'angle de la tangente avec le rayon vecteur, l'accélération centripète est
— =7 sma; P
or c* = ;?i^ = i^r sin/jt -, donc
p sinp /7^p sin fi /^p sin'fA
Cette expression a été donnée par Newton \ en la rapprochant de la précédente, on a l'expression générale du rayon de courbure
On voit que dans une conique p sin^p = — •
89. Un mobile parcourt une ellipse de manière que l'aire décrite par le rayon vecteur issu d'un point O croisse proportionnellement au temps ; exprimer l'accélération du mobile.
Considérons le cercle dont la projection est l'ellipse donnée; o est la projection d'un point O du cercle, la posi-
ST7U LA MÉCÀiriQUE RATIONNELLE. iSg
tion m du mobile est la projection d'un point M du cercle. Soient M' le second point de rencontre du cercle avec OM,
DD' le diamètre parallèle à OM, i C* l'aire décrite par OIM
dans l'unité de temps, F l'accélération de M; on trouve, a et 6 étant les demi-axes de l'ellipse,
C^ %Oa^ C^ DD'
Soient i l'angle de MM' avec sa projection mm\ dd'lai projection de Diy, -c' la vitesse aréolaire de m; on a
dd' om mm! C^ a
y = Tcosi, = = = cos., - = -,
d'où
__ c* dd'
om mm'
Cette expression, donnée par M. Withworth [Cambridge and Dublin Messenger, 187 1), se simplifie dans des cas particuliers. Prenons o au centre, dd'=mni!r=i^om^
om»
Prenons o au foyer; soit 6 l'angle de mm' avec l'axe focal, on a
mm =■ —, ;; r-TT ^ dd := ;; — 9 7 =: "yt r^Tj '
a(i — ^'cos'ô) I— .<?2cos'9 ' b^ ^^^
Enfin, quand o est sur l'ellipse,
c* dd^
om
I40 RECUEIL d'exercices
90. Un point décrit la podaire, lieu des projections du centre d'une ellipse sur ses tangentes, de manière que la vitesse aréolaire par rapport au centre soit constante,
-c*; exprimer pour chaque position la vitesse et l'accé-
Ja
lération du mobile : rayon de courbure.
En prenant pour axe le grand axe de l'ellipse, l'équation de la podaire sera
/-^zrrû^cos^ô -f- ^'sin^ô.
L'expression du carré de la vitesse dans cette espèce de mouvement donne
a*cos'ô-f- i>*sin'ô (fl'cos>ô-f-^>*sin»ôy»'
en ajoutant au numérateur a* J* sin*6 -f- a*b* cos*6 — a'ft*, il vient
^ ^ (û'4-«'')(a^cos'ô-l-^*sin^ô)— û'^2__ /a'H-fe^ ___ à" b' \ ^^ "" ^ (fl^cos^e-f-^^sin-e)» ~" \~~H • 7^) '
La formule qui donne le plus vite l'accélération est
Gomme il est évident que, croissant de zéro à -9 r*= a* — (a* — i') sin*6 décroit de a* à ft*, pour croître ensuite, y varie de (2a' — i') ~ à (2J* — ^*)lî*' ®^^^ ®*^
d'abord positive, et la courbe concave vers le pôle; mais, si a*^2ft', y devient négative et la courbe tourne sa convexité vers le pôle : il y a une inflexion, et la podaire a une partie rentrante. Pour calculer le rayon de courbure, nous
ST7R LÀ MÉGliriQrE RATIONNELLE. l4l
prendrons
1 dB c' f» [(a*-t-è»)r»— fl'ôn'
sinu= — r-— 1= — ) p= — : — = -2 — j— r'-T—;, :ï-.»,t*
'^ i^ de vr '^ YSUifA r[2(a»-hfc')/^— 3a««>»]
91. 2772 point se meut de manière que sa vitesse soit proportionnelle à la puissance n — i du rayon vecteur, et que la vitesse aréolaire de ce rayon soit constante : déterminer la trajectoire et l'accélération.
On a, par hj^othèse,
Taccélération est
' n dr ^ '
L'équation diûerentielle de la trajectoire est fournie par la valeur de i^*
dO = — nr= 5 ndB = =z d - .
Intégrant,
^ ' \r" 5icos/i(0--a)
Ces courbes dérivent de la droite par une transformation spéciale. M. Roberts a remarqué que, si Ton change a en P, les courbes se coupent sous P angle (3 — a 5 si Ton suppose n=a, -> » — i,ona une hyperbole équilatère,
une parabole, une cardioïde, un cercle passant au pôle -,
Vaccélération est proportionnelle respectivement aux puîs-
sances i , — 2, — 4? — 5 du rayon vecteur. Pour /i = ->
l42 RECUEIL d'exercices
y est constant, et la trajectoire est une courbe du sixième ordre, avec trois asymptotes se coupant au pôle sous des angles de 120 degrés.
Le cas de w = o, la vitesse étant réciproque à r, donne une intégrale différente \ on a
c^dr 9
£fô= — . r^=zr.e v^i«-c*.
rslV — c'
La trajectoire est une spirale logarithmique, et Taccélération réciproque au cube de la distance au pôle.
La position du mobile sur sa trajectoire est donnée dans tous les cas par la formule
j^d^ =z c'dt, qu'on intègre en remplaçant r par sa valeur en 6.
Un point A parcourt uniformément une droite ; un autre mobile M se meut de manière que la tangente à sa trajectoire rencontre toujours le point A et que MA soit de longueur constante. Trouver la trajectoire du point M, sa vitesse, son accélération, le rayon de courbure de la trajectoire. La trajectoire se nomme trac» trice; en appelant a la longueur AM, c la vitesse de A, et prenant la droite que suit ce mobile pour axe des x^ on trouve
c I c^jr a ,
a a} ^ jr ^
la développée de la tractrice est une chaînette.
Trajectoire d'un mobile qui se meut uniformément, de manière que la tangente rencontre toujours un autre point qui parcourt une droite avec une vitesse constante, accélération, rayon de courbure. La courbe décrite est appelée courbe du chien ^ l'animal étant supposé se diriger vers son maître ; l'équation est algébrique, sauf le cas où les deux vitesses sont égales, n étant le rapport de la
sua LA MÉGAiriQUE RATIOIf lîELLE . l43
Vitesse du chien à celle du maître, a l'angle de sa direction avec la droite suivie par le maître, x sa distance à cette droite, on a
p = /ijrcoséc*a.
Un mobile parcourt uniformément un cercle pendant que le plan de ce cercle tourne autour d'un de ses diamètres avec une vitesse angulaire égale à celle du point sur le cercle ; étudier le mouvement résultant dans l'espace.
Déterminer la loi du mouvement rectiligne d'un point, sachant qu'on a
ç =^ ate
a étant une constante; accélération.
Un point parcourt une hyperbole de manière que la vitesse aréolaire par rapport à un des foyers soit constante. Déterminer l'accélération et la loi de mouvement. Prouver que si^ par un point fixe, on mène des droites égales et parallèles aux vitesses, le lieu de leurs extrémités est un cercle.
Si l'on pose
on aura, en supposant f = o pour tt = i, et appelant e F excentricité,
— \u I — Ltt=: >
équation analogue à celle de Kepler.
Mouvement d'un point sur le limaçon de Pascal, en supposant que le rayon vecteur issu du point double tourne imiformément : tangente, rayon de courbure.
Accélération des divers ordres.
92. Si par ua point fixe on mène des droites égales et parallèles à raccélération d'un mobile aux époques t et t-f- ûf, OA et OA', raccélération du second ordre ou sur-
l44 UEGUEIL d'eXEHCIGES
accélération est représentée en grandeur par la limite de
» et en direction par la direction limite de A A'. On passe
de la même manière aux accélérations des ordres suivants. U est aisé de démontrer que la projection de Taccélération d'un ordre quelconque sur un axe ou sur un plan est égale à l'accélération de même ordre dans le mouvement de la projection du mobile 5 d'autre part, il est visible que les accélérations successives dans un mouvement rectiligne sont égales aux dérivées successives de l'espace par rapport au temps. Si donc on rapporte un mobile à trois axes coordonnés, l'accélération du n^^"^ ordre a pour composantes
dt"-^^ df^^ df^^
On en conclut par exemple que, dans le mouvement elliptique représenté par les équations
X =z a costùt, ^ = è sinw^, ■
les accélérations d'ordre impair sont dirigées suivant le rayon vecteur et proportionnelles à ce rayon ^ celles d'ordre pair seront parallèles et proportionnelles au diamètre conjugué^ il est facile de compléter l'énoncé.
Soit à calculer les projections de l'accélération d'ordre /i, y^^ sur la tangente à la trajectoire, sur sa normale principale et sur l'axe du plan osculateur ou binormale (de Saimt- Venakt). On y arrive à l'aide des formules de M. Serret^ mais on peut employer une méthode géométrique régulière que j'exposerai, parce que son point de départ peut être utilisé dans d'autres questions sur les lignes à double courbure.
Menons en un point O d'une courbe la tangente OT, la normale principale ON et la binormale OB : prenons un arc infiniment petit OM = ds dans le sens de OT, et suppo-
SUR LA MÉGAIÎIQUE RATIONNELLE. l45
sons que M soit par rapport au plan osculateur en O du côté opposé à OB.
Considérons la tangente, la normale principale et la binormale en M, et clierchons, à moins d^nfiniment petits du second ordre, les cosinus des angles que ces droites font avec OT, ON, OB5 pour cela je leur mène en O les parallèles OT^ ON', OB'i si Ton prend 0B= BBS BB' sera dans le sens de la normale principale. En négligeant 10^ infiniment petits du second ordre, on peut' regarder OT' comme situé dans le plan TON, et il est facile de déduire de la figure le tableau des neuf cosinus :
